Ecuación de Tait

Ecuación en mecánica de fluidos que relaciona densidad y presión

En mecánica de fluidos , la ecuación de Tait es una ecuación de estado que se utiliza para relacionar la densidad de un líquido con la presión hidrostática . La ecuación fue publicada originalmente por Peter Guthrie Tait en 1888 en la forma ^[1]

${\displaystyle {\frac {V_{0}-V}{PV_{0}}}={\frac {A}{\Pi +P}}}$

donde es la presión hidrostática además de la atmosférica, es el volumen a presión atmosférica, es el volumen bajo presión adicional y son parámetros determinados experimentalmente. En la referencia se ofrece un estudio histórico muy detallado sobre la ecuación de Tait con la interpretación física de los dos parámetros y . ^[2] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A,\Pi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Pi }$

Ecuación de estado de Tait-Tammann

En 1895, ^{[3] [4]} la ecuación isotérmica original de Tait fue reemplazada por Tammann con una ecuación de la forma

${\displaystyle {K}=-{V_{0}}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}={V_{0}}{\frac {(B+P)}{C}}}$

donde es el módulo volumétrico mixto isotérmico. La ecuación anterior se conoce popularmente como ecuación de Tait . La forma integrada se escribe comúnmente ${\displaystyle K}$

${\displaystyle V=V_{0}-C\log \left({\frac {B+P}{B+P_{0}}}\right)}$

dónde

• ${\displaystyle V\ }$es el volumen específico de la sustancia (en unidades de ml / g o m3 ^/ kg)
• ${\displaystyle V_{0}}$es el volumen específico en ${\displaystyle P=P_{0}}$
• ${\displaystyle B\ }$(mismas unidades que ) y (mismas unidades que ) son funciones de la temperatura ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle C\ }$ ${\displaystyle V_{0}}$

Fórmula de presión

La expresión para la presión en términos del volumen específico es

${\displaystyle P=(B+P_{0})\exp \left(-{\frac {V-V_{0}}{C}}\right)-B\,.}$

En el capítulo 3 de la referencia se ofrece un estudio muy detallado de la ecuación de estado de Tait-Tammann con la interpretación física de los dos parámetros empíricos y ^[2] . Se ofrecen expresiones en función de la temperatura para los dos parámetros empíricos y para el agua, el agua de mar, el helio-4 y el helio-3 en toda la fase líquida hasta la temperatura crítica . El caso especial de la fase superenfriada del agua se analiza en el Apéndice D de la referencia. ^[5] El caso del argón líquido entre la temperatura del punto triple y 148 K se trata en detalle en la sección 6 de la referencia. ^[6] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T_{c}}$

Ecuación de estado de Tait-Murnaghan

Volumen específico en función de la presión predicha por la ecuación de estado de Tait-Murnaghan.

Otra ecuación de estado isotérmica popular que se conoce con el nombre de "ecuación de Tait" ^{[7] [8]} es el modelo de Murnaghan ^[9] que a veces se expresa como

${\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left[1+{\frac {n}{K_{0}}}\,(P-P_{0})\right]^{-1/n}}$

donde es el volumen específico a presión , es el volumen específico a presión , es el módulo volumétrico a y es un parámetro del material. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle n}$

Fórmula de presión

Esta ecuación, en forma de presión, se puede escribir como

${\displaystyle P={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}.}$

donde son las densidades de masa en , respectivamente. Para el agua pura, los parámetros típicos son = 101,325 Pa, = 1000 kg/m3, = 2.15 GPa, y = 7.15. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \rho ,\rho _{0}}$ ${\displaystyle P,P_{0}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle n}$

Nótese que esta forma de la ecuación de estado de Tate es idéntica a la de la ecuación de estado de Murnaghan .

Fórmula del módulo volumétrico

El módulo volumétrico tangente predicho por el modelo MacDonald-Tait es

${\displaystyle K=K_{0}\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}\,.}$

Ecuación de estado de Tumlirz-Tammann-Tait

Ecuación de estado de Tumlirz-Tammann-Tait basada en ajustes a datos experimentales sobre agua pura.

Una ecuación de estado relacionada que se puede utilizar para modelar líquidos es la ecuación de Tumlirz (a veces llamada ecuación de Tammann y propuesta originalmente por Tumlirz en 1909 y Tammann en 1911 para agua pura). ^{[4] [10]} Esta relación tiene la forma

${\displaystyle V(P,S,T)=V_{\infty }-K_{1}S+{\frac {\lambda }{P_{0}+K_{2}S+P}}}$

donde es el volumen específico, es la presión, es la salinidad, es la temperatura y es el volumen específico cuando y son parámetros que se pueden ajustar a los datos experimentales. ${\displaystyle V(P,S,T)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle P=\infty }$ ${\displaystyle K_{1},K_{2},P_{0}}$

La versión de Tumlirz-Tammann de la ecuación de Tait para agua dulce, es decir, cuando , es ${\displaystyle S=0}$

${\displaystyle V=V_{\infty }+{\frac {\lambda }{P_{0}+P}}\,.}$

Para el agua pura, la dependencia de la temperatura de son: ^[10] ${\displaystyle V_{\infty },\lambda ,P_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=1788.316+21.55053\,T-0.4695911\,T^{2}+3.096363\times 10^{-3}\,T^{3}-0.7341182\times 10^{-5}\,T^{4}\\P_{0}&=5918.499+58.05267\,T-1.1253317\,T^{2}+6.6123869\times 10^{-3}\,T^{3}-1.4661625\times 10^{-5}\,T^{4}\\V_{\infty }&=0.6980547-0.7435626\times 10^{-3}\,T+0.3704258\times 10^{-4}\,T^{2}-0.6315724\times 10^{-6}\,T^{3}\\&+0.9829576\times 10^{-8}\,T^{4}-0.1197269\times 10^{-9}\,T^{5}+0.1005461\times 10^{-11}\,T^{6}\\&-0.5437898\times 10^{-14}\,T^{7}+0.169946\times 10^{-16}\,T^{8}-0.2295063\times 10^{-19}\,T^{9}\end{aligned}}}$

En los ajustes anteriores, la temperatura está en grados Celsius, está en bares, está en cc/g y está en bares-cc/g. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Fórmula de presión

La relación inversa de Tumlirz-Tammann-Tait para la presión en función del volumen específico es

${\displaystyle P={\frac {\lambda }{V-V_{\infty }}}-P_{0}\,.}$

Fórmula del módulo volumétrico

La fórmula de Tumlirz-Tammann-Tait para el módulo volumétrico tangente instantáneo del agua pura es una función cuadrática de (para una alternativa, consulte ^[4] ) ${\displaystyle P}$

${\displaystyle K=-V\,{\frac {\partial P}{\partial V}}={\frac {V\,\lambda }{(V-V_{\infty })^{2}}}=(P_{0}+P)+{\frac {V_{\infty }}{\lambda }}(P_{0}+P)^{2}\,.}$

Ecuación de estado de Tait modificada

Siguiendo en particular el estudio de las explosiones submarinas y más precisamente de las ondas de choque emitidas, JG Kirkwood propuso en 1965 ^[11] una forma más apropiada de ecuación de estado para describir altas presiones (>1 kbar) expresando el coeficiente de compresibilidad isentrópica como

${\displaystyle -{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}={\frac {1}{n(B+P)}}}$

donde representa aquí la entropía. Los dos parámetros empíricos y son ahora función de la entropía tal que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B}$

• ${\displaystyle n\ }$es adimensional
• ${\displaystyle B\ }$tiene las mismas unidades que ${\displaystyle P}$

La integración conduce a la siguiente expresión para el volumen a lo largo de la línea isentrópica. ${\displaystyle V(P,S)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left(1+{\frac {P_{0}}{B}}\right)^{1/n}\left(1+{\frac {P}{B}}\right)^{-1/n}}$

dónde . ${\displaystyle V_{0}=V(P_{0},S)}$

Fórmula de presión

La expresión para la presión en términos del volumen específico a lo largo de la isentrópica es ${\displaystyle P(V,S)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P=(B+P_{0})\,\left({\cfrac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-B\,.}$

En el capítulo 4 de referencia se presenta un estudio muy detallado de la ecuación de estado de Tait modificada con la interpretación física de los dos parámetros empíricos y ^[2] . Se dan expresiones en función de la entropía para los dos parámetros empíricos y para el agua, el helio-3 y el helio-4. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B}$

Véase también

• Ecuación de estado

Referencias

1. Tait, PG (1888). "Informe sobre algunas de las propiedades físicas del agua dulce y del agua de mar". Física y química del viaje del HMS Challenger . Vol. II, parte IV.
2. Aitken, Frederic; Foulc, Jean-Numa (2019). De las profundidades marinas al laboratorio 3: del trabajo de Tait sobre la compresibilidad del agua de mar a las ecuaciones de estado para líquidos. Londres, Reino Unido: ISTE - WILEY. ISBN 9781786303769.
3. Tammann, G. (1895). "Über die Abhängigkeit der volumina von Lösungen vom druck". Zeitschrift für Physikalische Chemie . 17 : 620–636.
4. Hayward, ATJ (1967). Ecuaciones de compresibilidad para líquidos: un estudio comparativo. British Journal of Applied Physics, 18(7), 965. http://mitran-lab.amath.unc.edu:8081/subversion/Lithotripsy/MultiphysicsFocusing/biblio/TaitEquationOfState/Hayward_CompressEqnsLiquidsComparative1967.pdf
5. Aitken, F.; Volino, F. (noviembre de 2021). "Una nueva ecuación de estado única para describir la viscosidad dinámica y el coeficiente de autodifusión para todas las fases fluidas del agua de 200 a 1800 K basada en un nuevo modelo microscópico original". Física de fluidos . 33 (11): 117112. arXiv : 2108.10666 . Código Bibliográfico :2021PhFl...33k7112A. doi :10.1063/5.0069488. S2CID  237278734.
6. Aitken, Frédéric; Denat, André; Volino, Ferdinand (24 de abril de 2024). "Una nueva ecuación de estado no extensiva para las fases fluidas del argón, incluidos los estados metaestables, desde la línea de fusión hasta 2300 K y 50 GPa". Fluidos . 9 (5): 102. arXiv : 1504.00633 . doi : 10.3390/fluids9050102 .
7. Thompson, PA y Beavers, GS (1972). Dinámica de fluidos compresibles. Journal of Applied Mechanics, 39, 366.
8. Kedrinskiy, VK (2006). Hidrodinámica de explosiones: experimentos y modelos. Springer Science & Business Media.
9. Macdonald, JR (1966). Algunas ecuaciones de estado isotérmicas simples. Reseñas de física moderna, 38(4), 669.
10. Fisher, FH y OE Dial Jr. Ecuación de estado del agua pura y del agua de mar. N.º MPL-U-99/67. SCRIPPS INSTITUTION OF OCEANOGRAPHY LA JOLLA CA MARINE PHYSICAL LAB, 1975. http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a017775.pdf
11. Cole, RH (1965). Explosiones submarinas . Nueva York: Dover Publications.