El criterio de Chebychev –Grübler–Kutzbach determina el número de grados de libertad de una cadena cinemática , es decir, un acoplamiento de cuerpos rígidos mediante restricciones mecánicas. [1] Estos dispositivos también se denominan enlaces .
El criterio de Kutzbach también se llama fórmula de movilidad , porque calcula el número de parámetros que definen la configuración de un vínculo a partir del número de vínculos y uniones y el grado de libertad en cada articulación.
Se han diseñado vínculos interesantes y útiles que violan la fórmula de movilidad al utilizar características y dimensiones geométricas especiales para proporcionar más movilidad de la predicha por esta fórmula. Estos dispositivos se denominan mecanismos sobrerestringidos .
La fórmula de movilidad cuenta el número de parámetros que definen las posiciones de un conjunto de cuerpos rígidos y luego reduce este número por las restricciones impuestas por las uniones que conectan estos cuerpos. [2] [3]
Imagina una gaviota esférica. Un solo cuerpo sin restricciones que se eleva en 3 espacios tiene 6 grados de libertad: 3 traslacionales (digamos, x , y , z ); y 3 rotacionales (digamos, balanceo, cabeceo, guiñada).
Entonces, un sistema de cuerpos rígidos desconectados que se mueven en el espacio (una bandada de gaviotas volando) tiene grados de libertad medidos en relación con un marco fijo (sistema de coordenadas). El marco fijo se puede elegir arbitrariamente (un observador en cualquier lugar de la playa). Y el encuadre puede incluso ser local o subjetivo: desde el punto de vista de una de las gaviotas, el mundo se mueve a su alrededor, mientras ella permanece fija. Por lo tanto, este cuadro puede incluirse en el recuento de cuerpos (la bandada de gaviotas vista desde la gaviota A elegida; tal vez A esté parada en la playa, tal vez A esté volando, pero mirando la bandada desde el punto de vista local fijo de A) , y por tanto la movilidad es independiente de la elección del vínculo que formará el marco fijo. Entonces el grado de libertad de este sistema es donde está el número de cuerpos en movimiento más el cuerpo fijo.
Las articulaciones que conectan cuerpos en este sistema eliminan grados de libertad y reducen la movilidad. Específicamente, las bisagras y los controles deslizantes imponen cada uno cinco restricciones y, por lo tanto, eliminan cinco grados de libertad. Es conveniente definir el número de restricciones que impone una junta en términos de la libertad de la junta donde, en el caso de una bisagra o una corredera, que son juntas de un grado de libertad, tienen y por lo tanto
El resultado es que la movilidad de un sistema formado por eslabones y articulaciones en movimiento, cada uno con libertad , está dada por
Recordemos que incluye el enlace fijo.
Hay dos casos especiales importantes: (i) una cadena abierta simple y (ii) una cadena cerrada simple. Una cadena abierta simple consta de eslabones móviles conectados de extremo a extremo mediante uniones, con un extremo conectado a un eslabón de tierra. Así, en este caso y la movilidad de la cadena es
Para una cadena cerrada simple, los eslabones móviles están conectados de extremo a extremo mediante uniones de modo que los dos extremos estén conectados al eslabón de tierra formando un bucle. En este caso tenemos y la movilidad de la cadena es
Un ejemplo de una cadena abierta simple es un robot manipulador en serie. Estos sistemas robóticos se construyen a partir de una serie de enlaces conectados por seis juntas prismáticas o de revolución de un grado de libertad, por lo que el sistema tiene seis grados de libertad.
Un ejemplo de una cadena cerrada simple es el enlace espacial de cuatro barras RSSR. La suma de las libertades de estas uniones es ocho, por lo que la movilidad del varillaje es dos, donde uno de los grados de libertad es la rotación del acoplador alrededor de la línea que une las dos uniones en S.
Es una práctica común diseñar el sistema de vínculos de modo que el movimiento de todos los cuerpos se vea obligado a reposar en planos paralelos, para formar lo que se conoce como vínculo plano . También es posible construir el sistema de vínculos de modo que todos los cuerpos se muevan en esferas concéntricas, formando un vínculo esférico . En ambos casos, los grados de libertad de los vínculos en cada sistema ahora son tres en lugar de seis, y las restricciones impuestas por los nodos ahora son c = 3 − f .
En este caso, la fórmula de movilidad viene dada por
y los casos especiales se vuelven
Un ejemplo de una cadena cerrada simple plana es el eslabón plano de cuatro barras , que es un bucle de cuatro barras con cuatro uniones de un grado de libertad y, por lo tanto, tiene movilidad M = 1.
