Ecuación de Gibbons-Tsarev

La ecuación de Gibbons-Tsarev es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden integrable . ^[1] En su forma más simple, en dos dimensiones, puede escribirse de la siguiente manera:

${\displaystyle u_{t}u_{xt}-u_{x}u_{tt}+u_{xx}+1=0\qquad (1)}$

La ecuación surge en la teoría de sistemas integrables sin dispersión , como la condición de que las soluciones de las ecuaciones del momento de Benney pueden ser parametrizadas por solo un número finito de sus variables dependientes, en este caso 2 de ellas. Fue introducida por primera vez por John Gibbons y Serguei Tsarev en 1996, ^[2] Este sistema también fue derivado, ^{[3] [4]} como una condición de que dos hamiltonianos cuadráticos deberían tener corchete de Poisson que se desvanece .

Relación con familias de mapas de rendijas

La teoría de esta ecuación fue desarrollada posteriormente por Gibbons y Tsarev. ^[5] En variables independientes, se buscan soluciones de la jerarquía de Benney en las que sólo de los momentos sean independientes. El sistema resultante siempre se puede poner en forma invariante de Riemann . Tomando las velocidades características como y los invariantes de Riemann correspondientes como , se relacionan con el momento cero por: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A^{n}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A^{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial p_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=-{\frac {\frac {\partial A^{0}}{\partial \lambda _{j}}}{p_{i}-p_{j}}},\qquad (2a)}$

${\displaystyle {\frac {\partial A^{0}}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}=2{\frac {{\frac {\partial A^{0}}{\partial \lambda _{i}}}{\frac {\partial A^{0}}{\lambda _{j}}}}{(p_{i}-p_{j})^{2}}}.\qquad (2b)}$

Ambas ecuaciones son válidas para todos los pares . ${\displaystyle i\neq j}$

Este sistema tiene soluciones parametrizadas por N funciones de una sola variable. Una clase de estas puede construirse en términos de familias de N parámetros de aplicaciones conformes desde un dominio fijo D, normalmente el semiplano complejo , hasta un dominio similar en el plano pero con N rendijas. Cada rendija se toma a lo largo de una curva fija con un extremo fijado en el límite de y un punto final variable ; la preimagen de es . El sistema puede entonces entenderse como la condición de consistencia entre el conjunto de N ecuaciones de Loewner que describen el crecimiento de cada rendija: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial \lambda _{i}}}=-{\frac {\frac {\partial A^{0}}{\partial \lambda _{j}}}{p-p_{i}}}.\qquad (3)}$

Solución analítica

Se puede derivar una familia elemental de soluciones al problema N-dimensional estableciendo:

${\displaystyle \lambda ^{N+1}=\prod _{i=0}^{N}(p-q_{i}),}$

donde los parámetros reales satisfacen: ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}q_{i}=0.}$

El polinomio del lado derecho tiene N puntos de inflexión, , con . ${\displaystyle p=p_{i}}$ ${\displaystyle \lambda =\lambda _{i}}$

${\displaystyle A^{0}={\frac {1}{N+1}}\sum \sum _{i>j}q_{i}q_{j},}$

y satisfacen las ecuaciones de Gibbons-Tsarev N-dimensionales. ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle A^{0}}$

Referencias

1. Andrei D. Polyanin, Valentin F. Zaitsev, Manual de ecuaciones diferenciales parciales no lineales , segunda edición, pág. 764 CRC PRESS
2. J. Gibbons y SP Tsarev, Reducciones de las ecuaciones de Benney, Physics Letters A, vol. 211, número 1, páginas 19-24, 1996.
3. E. Ferapontov, AP Fordy, J. Geom. Phys., 21 (1997), pág. 169
4. EV Ferapontov, AP Fordy, Física D 108 (1997) 350-364
5. J. Gibbons y SP Tsarev, Mapas conformes y reducción de ecuaciones de Benney, Phys Letters A, vol 258, No4-6, pp 263–271, 1999.