La ecuación de Cole-Cole es un modelo de relajación que se utiliza a menudo para describir la relajación dieléctrica en polímeros .
viene dada por la ecuación
![{\displaystyle \varepsilon ^{*}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+{\frac {\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}{1+(i\omega \tau )^{1-\alpha }}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es la constante dieléctrica compleja , y son las constantes dieléctricas "estática" y de "frecuencia infinita", es la frecuencia angular y es una constante de tiempo de relajación dieléctrica .![{\displaystyle \varepsilon ^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon _ {s}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon _{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \tau}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El parámetro exponente , que toma un valor entre 0 y 1, permite describir diferentes formas espectrales. Cuando , el modelo Cole-Cole se reduce al modelo Debye . Cuando , la relajación se estira . Es decir, se extiende en un rango más amplio en escala logarítmica que la relajación de Debye.![{\displaystyle \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La separación de la constante dieléctrica compleja fue informada en el artículo original de Kenneth Stewart Cole y Robert Hugh Cole [1] de la siguiente manera:![{\displaystyle \varepsilon (\omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }){\frac {1+(\omega \tau )^{1-\alpha } \sin \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha ) }}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon ''={\frac {(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty })(\omega \tau )^{1-\alpha }\cos \alpha \pi /2} {1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha )}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tras la introducción de funciones hiperbólicas, las expresiones anteriores se reducen a:
![{\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty })\left[1-{\frac { \sinh((1-\alpha )x)}{\cosh((1-\alpha )x)+\sin(\alpha \pi /2)}}\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon ''={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty }){\frac {\cos(\alpha \pi /2)}{ \cosh((1-\alpha )x)+\sin(\alpha \pi /2)}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí .![{\displaystyle x=\ln(\omega \tau)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Estas ecuaciones se reducen a la expresión de Debye cuando .![{\displaystyle \alpha =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La respuesta de corriente en el dominio del tiempo de la ecuación de Cole-Cole corresponde a la ley de Curie-von Schweidler y la respuesta de carga corresponde a la función exponencial extendida o la función de Kohlrausch-Williams-Watts (KWW), para argumentos de tiempo pequeño. [2]
La relajación de Cole-Cole constituye un caso especial de relajación de Havriliak-Negami cuando el parámetro de simetría , es decir, cuando los picos de relajación son simétricos. Otro caso especial de relajación Havriliak-Negami donde y se conoce como relajación Cole-Davidson . Para obtener una revisión abreviada y actualizada de la relajación dieléctrica anómala en sistemas desordenados, consulte Kalmykov.![{\displaystyle \beta =1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\beta <1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha =1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ Cole, Kenneth Stewart ; Cole, Robert Hugh (1941). "Dispersión y absorción en dieléctricos I. Características de la corriente alterna". Revista de Física Química . 9 (4): 341–351. Código bibliográfico : 1941JChPh...9..341C. doi :10.1063/1.1750906.
- ^ Holm, Sverre (2020). "Caracterización en el dominio del tiempo del modelo dieléctrico de Cole-Cole". Revista de Bioimpedancia Eléctrica . 11 (1): 101–105. doi : 10.2478/joeb-2020-0015. PMC 7851980 . PMID 33584910.
Otras lecturas
- Cole, Kenneth Stewart ; Cole, Robert Hugh (1942). "Dispersión y Absorción en Dieléctricos II. Características de la Corriente Continua". Revista de Física Química . 10 (2): 98-105. Código bibliográfico : 1942JChPh..10...98C. doi : 10.1063/1.1723677.
- Kalmykov, YP; Coffey, WT; Crothers, DSF; Titov, SV (2004). "Modelos microscópicos de relajación dieléctrica en sistemas desordenados". Revisión física E. 70 (4): 041103. Código bibliográfico : 2004PhRvE..70d1103K. doi :10.1103/PhysRevE.70.041103. PMID 15600393.