Ecuación de Cahn-Hilliard

Descripción de la separación de fases

La ecuación de Cahn-Hilliard (en honor a John W. Cahn y John E. Hilliard) ^[1] es una ecuación de física matemática que describe el proceso de separación de fases , descomposición espinodal , por el cual los dos componentes de un fluido binario se separan espontáneamente y forman dominios puros en cada componente. Si es la concentración del fluido, con dominios indicadores, entonces la ecuación se escribe como ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=\pm 1}$

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\left(c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c\right),}$

donde es un coeficiente de difusión con unidades de y da la longitud de las regiones de transición entre los dominios. Aquí está la derivada parcial del tiempo y es el laplaciano en dimensiones. Además, la cantidad se identifica como un potencial químico . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\text{Length}}^{2}/{\text{Time}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\gamma }}}$ ${\displaystyle \partial /{\partial t}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu =c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c}$

Relacionada con ella está la ecuación de Allen-Cahn , así como las ecuaciones estocásticas de Allen-Cahn y de Cahn-Hilliard.

Características y aplicaciones

De interés para los matemáticos es la existencia de una solución única de la ecuación de Cahn-Hilliard, dada por datos iniciales suaves. La prueba se basa esencialmente en la existencia de una funcional de Lyapunov . En concreto, si identificamos

${\displaystyle F[c]=\int d^{n}x\left[{\frac {1}{4}}\left(c^{2}-1\right)^{2}+{\frac {\gamma }{2}}\left|\nabla c\right|^{2}\right],}$

como una energía libre funcional, entonces

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=-\int d^{n}x\left|\nabla \mu \right|^{2},}$

De modo que la energía libre no crece con el tiempo. Esto también indica que la segregación en dominios es el resultado asintótico de la evolución de esta ecuación.

En experimentos reales se observa la segregación de un fluido binario inicialmente mezclado en dominios. La segregación se caracteriza por los siguientes hechos:

Evolución de datos iniciales aleatorios bajo la ecuación de Cahn-Hilliard con y (cantidades iguales de cada fase), lo que demuestra la separación de fases. ${\displaystyle \gamma =0.5}$ ${\displaystyle C=0}$

• Hay una capa de transición entre los dominios segregados, con un perfil dado por la función y, por lo tanto, un ancho típico porque esta función es una solución de equilibrio de la ecuación de Cahn-Hilliard. ${\displaystyle c(x)=\tanh \left({\frac {x}{\sqrt {2\gamma }}}\right),}$ ${\displaystyle {\sqrt {\gamma }}}$
• También es interesante el hecho de que los dominios segregados crecen en el tiempo como una ley de potencia. Es decir, si es un tamaño de dominio típico, entonces . Esta es la ley de Lifshitz-Slyozov, y ha sido probada rigurosamente para la ecuación de Cahn-Hilliard y observada en simulaciones numéricas y experimentos reales en fluidos binarios. ${\displaystyle L(t)}$ ${\displaystyle L(t)\propto t^{1/3}}$
• La ecuación de Cahn-Hilliard tiene la forma de una ley de conservación, con . Por lo tanto, el proceso de separación de fases conserva la concentración total , de modo que . ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} (x),}$ ${\displaystyle \mathbf {j} (x)=-D\nabla \mu }$ ${\displaystyle C=\int d^{n}xc\left(x,t\right)}$ ${\displaystyle {\frac {dC}{dt}}=0}$

• 

  Evolución de datos iniciales aleatorios con y (mezcla 60/40 de las fases azul y roja, respectivamente), que demuestran la maduración de Ostwald ${\displaystyle \gamma =0.5}$ ${\displaystyle C=-0.2}$

  Cuando una fase es significativamente más abundante, la ecuación de Cahn-Hilliard puede mostrar el fenómeno conocido como maduración de Ostwald , donde la fase minoritaria forma gotitas esféricas y las gotitas más pequeñas son absorbidas por difusión hacia las más grandes.

La ecuación de Cahn-Hilliard se aplica en diversos campos: en fluidos complejos y materia blanda (flujo de fluidos interfaciales, ciencia de polímeros y en aplicaciones industriales). La solución de la ecuación de Cahn-Hilliard para una mezcla binaria demostró coincidir bien con la solución de un problema de Stefan y el modelo de Thomas y Windle. ^[2] De interés para los investigadores en la actualidad es el acoplamiento de la separación de fases de la ecuación de Cahn-Hilliard a las ecuaciones de Navier-Stokes del flujo de fluidos.

Véase también

• Ecuación de Allen-Cahn
• Ecuación de Kuramoto-Sivashinsky

Lectura adicional

• Cahn, John W.; Hilliard, John E. (1958). "Energía libre de un sistema no uniforme. I. Energía libre interfacial". Revista de Física Química . 28 (2). AIP Publishing: 258–267. Bibcode :1958JChPh..28..258C. doi :10.1063/1.1744102. ISSN  0021-9606.
• Bray, AJ (1994). "Teoría de la cinética de ordenamiento de fases". Avances en Física . 43 (3): 357–459. arXiv : cond-mat/9501089 . Código Bibliográfico :1994AdPhy..43..357B. doi :10.1080/00018739400101505. ISSN  0001-8732. S2CID  83182.
• Zhu, Jingzhi; Chen, Long-Qing; Shen, Jie; Tikare, Veena (1999-10-01). "Cinética de engrosamiento a partir de una ecuación de Cahn-Hilliard de movilidad variable: aplicación de un método espectral de Fourier semiimplícito". Physical Review E . 60 (4). American Physical Society (APS): 3564–3572. Bibcode :1999PhRvE..60.3564Z. doi :10.1103/physreve.60.3564. ISSN  1063-651X. PMID  11970189.
• Elliott, Charles M.; Songmu, Zheng (1986). "Sobre la ecuación de Cahn-Hilliard". Archivo de Mecánica Racional y Análisis . 96 (4). Springer Nature: 339–357. Bibcode :1986ArRMA..96..339E. doi :10.1007/bf00251803. ISSN  0003-9527. S2CID  56206640.
• Areias, P.; Samaniego, E.; Rabczuk, T. (17 de diciembre de 2015). "Un enfoque escalonado para el acoplamiento de la difusión de tipo Cahn-Hilliard y la elasticidad de deformación finita". Mecánica Computacional . 57 (2). Springer Science and Business Media LLC: 339–351. doi :10.1007/s00466-015-1235-1. ISSN  0178-7675. S2CID  123982946.
• Hashimoto, Takeji; Matsuzaka, Katsuo; Moses, Elisha; Onuki, Akira (2 de enero de 1995). "Fase de cuerda en fluidos de separación de fases bajo flujo de cizallamiento". Physical Review Letters . 74 (1). American Physical Society (APS): 126–129. Bibcode :1995PhRvL..74..126H. doi :10.1103/physrevlett.74.126. ISSN  0031-9007. PMID  10057715.
• T. Ursell, “Cinética de Cahn-Hilliard y descomposición espinodal en un sistema difuso”, Instituto Tecnológico de California (2007).

Referencias

1. Cahn, John W.; Hilliard, John E. (febrero de 1958). "Energía libre de un sistema no uniforme. I. Energía libre interfacial". Revista de Física Química . 28 (2): 258–267. Bibcode :1958JChPh..28..258C. doi :10.1063/1.1744102. ISSN  0021-9606.
2. Vermolen, FJ; Gharasoo, MG; Zitha, PLJ; Bruining, J. (2009). "Soluciones numéricas de algunos problemas de interfaz difusa: la ecuación de Cahn-Hilliard y el modelo de Thomas y Windle". Revista internacional de ingeniería computacional multiescala . 7 (6): 523–543. doi :10.1615/IntJMultCompEng.v7.i6.40.