Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili

Olas cruzadas , formadas por trenes de olas casi cnoidales. Fotografía tomada desde el faro de las ballenas, en el extremo occidental de la isla de Ré (Francia), en el océano Atlántico . La interacción de estos solitones en aguas poco profundas puede modelarse mediante la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili.

En matemáticas y física , la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili (a menudo abreviada como ecuación KP ) es una ecuación diferencial parcial para describir el movimiento ondulatorio no lineal . Nombrada en honor a Boris Borisovich Kadomtsev y Vladimir Iosifovich Petviashvili , la ecuación KP se escribe habitualmente como donde . La forma anterior muestra que la ecuación KP es una generalización a dos dimensiones espaciales , x e y , de la ecuación unidimensional de Korteweg–de Vries (KdV) . Para que sea físicamente significativa, la dirección de propagación de la onda no debe estar demasiado alejada de la dirección x , es decir, con solo variaciones lentas de soluciones en la dirección y . $${\displaystyle \displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0}$$ ${\displaystyle \lambda =\pm 1}$

Al igual que la ecuación KdV, la ecuación KP es completamente integrable. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} También se puede resolver utilizando la transformada de dispersión inversa, de forma muy similar a la ecuación no lineal de Schrödinger . ^[6]

En 2002, la versión regularizada de la ecuación KP, naturalmente denominada ecuación de Benjamin – Bona –Mahony– Kadomtsev – Petviashvili (o simplemente ecuación BBM-KP ), se introdujo como modelo alternativo para olas largas de pequeña amplitud en aguas poco profundas que se mueven principalmente en la dirección x en el espacio 2+1. ^[7]

${\displaystyle \displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxt}u)+\lambda \partial _{yy}u=0}$

donde . La ecuación BBM-KP proporciona una alternativa a la ecuación KP habitual, de manera similar a que la ecuación de Benjamin–Bona–Mahony está relacionada con la ecuación clásica de Korteweg–de Vries , ya que la relación de dispersión linealizada de la BBM-KP es una buena aproximación a la de la KP pero no exhibe el comportamiento limitante no deseado a medida que la variable de Fourier dual a x se acerca a . La ecuación BBM-KP puede verse como una perturbación transversal débil de la ecuación de Benjamin–Bona–Mahony . Como resultado, las soluciones de sus problemas de Cauchy correspondientes comparten una relación matemática intrigante y compleja. Aguilar et al. demostraron que la solución del problema de Cauchy para la ecuación del modelo BBM-KP converge a la solución del problema de Cauchy asociado a la ecuación de Benjamin–Bona–Mahony en el espacio de Sobolev basado en para todos , siempre que sus datos iniciales correspondientes estén cerca en como la variable transversal . ^[8] ${\displaystyle \lambda =\pm 1}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle H_{x}^{k}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle H_{x}^{k}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle y\rightarrow \pm \infty }$

Historia

Borís Kadomtsev.

La ecuación KP fue escrita por primera vez en 1970 por los físicos soviéticos Boris B. Kadomtsev (1928-1998) y Vladimir I. Petviashvili (1936-1993); surgió como una generalización natural de la ecuación KdV (derivada por Korteweg y De Vries en 1895). Mientras que en la ecuación KdV las ondas son estrictamente unidimensionales, en la ecuación KP esta restricción se relaja. Aun así, tanto en la ecuación KdV como en la KP, las ondas tienen que viajar en la dirección x positiva .

Conexiones con la física

La ecuación KP se puede utilizar para modelar ondas de agua de longitud de onda larga con fuerzas de restauración débilmente no lineales y dispersión de frecuencia . Si la tensión superficial es débil en comparación con las fuerzas gravitacionales , se utiliza ; si la tensión superficial es fuerte, entonces . Debido a la asimetría en la forma en que los términos x e y entran en la ecuación, las ondas descritas por la ecuación KP se comportan de manera diferente en la dirección de propagación ( dirección x ) y la dirección transversal ( y ); las oscilaciones en la dirección y tienden a ser más suaves (ser de pequeña desviación). ${\displaystyle \lambda =+1}$ ${\displaystyle \lambda =-1}$

La ecuación KP también se puede utilizar para modelar ondas en medios ferromagnéticos , ^[9] así como pulsos de ondas de materia bidimensionales en condensados ​​de Bose-Einstein .

Comportamiento limitante

Para , las oscilaciones típicas dependientes de x tienen una longitud de onda de dando un régimen límite singular como . El límite se llama límite sin dispersión . ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$ ${\displaystyle O(1/\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

Si también suponemos que las soluciones son independientes de y como , entonces también satisfacen la ecuación de Burgers no viscosa : ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=0.}$

Supongamos que la amplitud de las oscilaciones de una solución es asintóticamente pequeña — — en el límite sin dispersión. Entonces la amplitud satisface una ecuación de campo medio del tipo Davey–Stewartson . ${\displaystyle O(\epsilon )}$

Véase también

• Ecuación de Novikov-Veselov
• Problema de Schottky
• Ecuación KP sin dispersión

Referencias

1. Wazwaz, AM (2007). "Soluciones de múltiples solitones para la ecuación KP mediante el método bilineal de Hirota y el método tanh–coth". Matemáticas Aplicadas y Computación . 190 (1): 633–640. doi :10.1016/j.amc.2007.01.056.
2. Cheng, Y.; Li, YS (1991). "La restricción de la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili y sus soluciones especiales". Physics Letters A . 157 (1): 22–26. Código Bibliográfico :1991PhLA..157...22C. doi :10.1016/0375-9601(91)90403-U.
3. Ma, WX (2015). "Soluciones globales para la ecuación de Kadomtsev–Petviashvili". Physics Letters A . 379 (36): 1975–1978. Código Bibliográfico :2015PhLA..379.1975M. doi :10.1016/j.physleta.2015.06.061.
4. Kodama, Y. (2004). "Diagramas de Young y soluciones de N-solitones de la ecuación KP". Journal of Physics A: Mathematical and General . 37 (46): 11169–11190. arXiv : nlin/0406033 . Código Bibliográfico :2004JPhA...3711169K. doi :10.1088/0305-4470/37/46/006. S2CID  2071043.
5. Deng, SF; Chen, DY; Zhang, DJ (2003). "Las soluciones multisolitón de la ecuación KP con fuentes autoconsistentes". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 72 (9): 2184–2192. Código Bibliográfico :2003JPSJ...72.2184D. doi :10.1143/JPSJ.72.2184.
6. Ablowitz, MJ; Segur, H. (1981). Solitones y la transformada de dispersión inversa . SIAM.
7. Bona, JL ; Liu, Y.; Tom, MM (2002). "El problema de Cauchy y la estabilidad de soluciones de ondas solitarias para ecuaciones de tipo RLW-KP". Journal of Differential Equations . 185 (2): 437–482. Bibcode :2002JDE...185..437B. doi : 10.1006/jdeq.2002.4171 .
8. Aguilar, JB; Tom, MM (2024). "Convergencia de soluciones de las ecuaciones de los modelos BBM y BBM-KP". Ecuaciones diferenciales e integrales . 37 (3/4): 187–206. arXiv : 2204.06016 . doi : 10.57262/die037-0304-187 .
9. Leblond, H. (2002). "KP bultos en ferroimanes: un modelo tridimensional KdV–Burgers". Journal of Physics A: Mathematical and General . 35 (47): 10149–10161. Bibcode :2002JPhA...3510149L. doi :10.1088/0305-4470/35/47/313.
10. Zakharov, VE (1994). "Límite sin dispersión de sistemas integrables en 2+1 dimensiones". Límites singulares de ondas dispersivas . Boston: Springer. pp. 165–174. ISBN 0-306-44628-6.
11. Strachan, IA (1995). "El corchete de Moyal y el límite sin dispersión de la jerarquía KP". Journal of Physics A: Mathematical and General . 28 (7): 1967. arXiv : hep-th/9410048 . Bibcode :1995JPhA...28.1967S. doi :10.1088/0305-4470/28/7/018. S2CID  15334780.
12. Takasaki, K.; Takebe, T. (1995). "Jerarquías integrables y límite sin dispersión". Reseñas en Física Matemática . 7 (5): 743–808. arXiv : hep-th/9405096 . Código Bibliográfico :1995RvMaP...7..743T. doi :10.1142/S0129055X9500030X. S2CID  17351327.

Lectura adicional

• Kadomtsev, BB; Petviashvili, VI (1970). "Sobre la estabilidad de ondas solitarias en medios débilmente dispersivos". Sov. Phys. Dokl . 15 : 539–541. Código Bibliográfico :1970SPhD...15..539K.. Traducción de "Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах". Doklady Akademii Nauk SSSR . 192 : 753–756.
• Kodama, Y. (2017). Solitones KP y Grassmannianos: combinatoria y geometría de patrones de ondas bidimensionales . Springer. ISBN 978-981-10-4093-1.
• Lou, SY; Hu, XB (1997). "Infinitos pares Lax y restricciones de simetría de la ecuación KP". Journal of Mathematical Physics . 38 (12): 6401–6427. Bibcode :1997JMP....38.6401L. doi :10.1063/1.532219.
• Minzoni, AA; Smyth, NF (1996). "Evolución de soluciones globales para la ecuación KP". Wave Motion . 24 (3): 291–305. Bibcode :1996WaMot..24..291M. CiteSeerX  10.1.1.585.6470 . doi :10.1016/S0165-2125(96)00023-6.
• Nakamura, A. (1989). "Una fórmula bilineal de N-solitones para la ecuación KP". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 58 (2): 412–422. Código Bibliográfico :1989JPSJ...58..412N. doi :10.1143/JPSJ.58.412.
• Previato, Emma (2001) [1994], "Ecuación KP", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Xiao, T.; Zeng, Y. (2004). "Transformaciones de Darboux generalizadas para la ecuación KP con fuentes autoconsistentes". Journal of Physics A: Mathematical and General . 37 (28): 7143. arXiv : nlin/0412070 . Bibcode :2004JPhA...37.7143X. doi :10.1088/0305-4470/37/28/006. S2CID  18500877.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili". MathWorld .
• Gioni Biondini y Dmitri Pelinovsky (ed.). "Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili". Scholarpedia .
• Bernard Deconinck. "La página de KP". Universidad de Washington , Departamento de Matemáticas Aplicadas. Archivado desde el original el 6 de febrero de 2006. Consultado el 27 de febrero de 2006 .