ecuación g

En combustión , la ecuación G es una ecuación de campo escalar que describe la posición instantánea de la llama, introducida por Forman A. Williams en 1985 ^{[1] [2]} en el estudio de la combustión turbulenta premezclada. La ecuación se deriva con base en el método Level-set . La ecuación fue estudiada por primera vez por George H. Markstein , en una forma restrictiva para la velocidad de combustión. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)}$

Descripción matemática

La ecuación G se lee como ^{[6] [7]}

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla G=S_{T}|\nabla G|}$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$es el campo de velocidad de flujo
• ${\displaystyle S_{T}}$es la velocidad de combustión local

La ubicación de la llama se determina mediante la cual se puede definir arbitrariamente de modo que sea la región del gas quemado y sea la región del gas no quemado. El vector normal a la llama es . ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)=G_{o}}$ ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)>G_{o}}$ ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)<G_{o}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =-\nabla G/|\nabla G|}$

Velocidad de combustión local

Según la teoría de Matalon–Matkowsky–Clavin–Joulin , la velocidad de combustión de la llama estirada , para una pequeña curvatura y una pequeña deformación, está dada por

${\displaystyle {\frac {S_{T}}{S_{L}}}=1+{\mathcal {M}}_{c}\delta _{L}\nabla \cdot \mathbf {n} +{\mathcal {M}}_{s}\tau _{L}\mathbf {n} \cdot \nabla \mathbf {v} \cdot \mathbf {n} }$

dónde

• ${\displaystyle S_{L}}$es la velocidad de combustión de la llama sin estirar
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{c}}$y son los dos números de Markstein , asociados con el término de curvatura y el término correspondiente a la tensión de flujo impuesta a la llama. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{s}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \nabla \mathbf {v} \cdot \mathbf {n} }$
• ${\displaystyle \delta _{L}}$son la velocidad de combustión laminar y el espesor de una llama plana
• ${\displaystyle \tau _{L}=D_{T,u}/S_{L}^{2}}$es el tiempo de residencia de la llama plana que representa la difusividad térmica en la mezcla de gases no quemados. ${\displaystyle D_{T,u}}$

Un ejemplo sencillo: quemador de ranuras

La ecuación G tiene una expresión exacta para un quemador de ranura simple. Considere un quemador de ranura plano bidimensional con un ancho de ranura . La mezcla de reactivos premezclada se alimenta a través de la ranura desde la parte inferior con una velocidad constante , donde la coordenada se elige de manera que se encuentre en el centro de la ranura y se encuentre en la ubicación de la boca de la ranura. Cuando se enciende la mezcla, se desarrolla una llama premezclada desde la boca de la ranura hasta una cierta altura en forma de una forma de cuña bidimensional con un ángulo de cuña . Para simplificar, supongamos , que es una buena aproximación excepto cerca de la esquina de la cuña donde los efectos de curvatura se vuelven importantes. En el caso estable, la ecuación G se reduce a ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(0,U)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S_{T}=S_{L}}$

${\displaystyle U{\frac {\partial G}{\partial y}}=S_{L}{\sqrt {\left({\frac {\partial G}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial G}{\partial y}}\right)^{2}}}}$

Si se introduce una separación de la forma , entonces la ecuación se convierte en ${\displaystyle G(x,y)=y+f(x)}$

${\displaystyle U=S_{L}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}}},\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\sqrt {U^{2}-S_{L}^{2}}}{S_{L}}}}$

que al integrarse da

${\displaystyle f(x)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}|x|+C,\quad \Rightarrow \quad G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}|x|+y+C}$

Sin pérdida de generalidad, elija la ubicación de la llama en . Dado que la llama está unida a la boca de la ranura , la condición de contorno es , que se puede utilizar para evaluar la constante . Por lo tanto, el campo escalar es ${\displaystyle G(x,y)=G_{o}=0}$ ${\displaystyle |x|=b/2,\ y=0}$ ${\displaystyle G(b/2,0)=0}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}\left(|x|-{\frac {b}{2}}\right)+y}$

En la punta de la llama, tenemos , que nos permiten determinar la altura de la llama. ${\displaystyle x=0,\ y=L,\ G=0}$

${\displaystyle L={\frac {b\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{2S_{L}}}}$

y el ángulo de la llama , ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {b/2}{L}}={\frac {S_{T}}{\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}}}$

Utilizando la identidad trigonométrica , tenemos ${\displaystyle \tan ^{2}\alpha =\sin ^{2}\alpha /\left(1-\sin ^{2}\alpha \right)}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {S_{L}}{U}}.}$

De hecho, la fórmula anterior se utiliza a menudo para determinar la velocidad de combustión planar , midiendo el ángulo de cuña. ${\displaystyle S_{L}}$

Referencias

1. Williams, FA (1985). Combustión turbulenta. En Matemáticas de la combustión (pp. 97-131). Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas.
2. Kerstein, Alan R., William T. Ashurst y Forman A. Williams. "Ecuación de campo para la propagación de la interfaz en un campo de flujo homogéneo inestable". Physical Review A 37.7 (1988): 2728.
3. GH Markstein. (1951). Interacción de las pulsaciones de flujo y propagación de la llama. Revista de Ciencias Aeronáuticas, 18(6), 428-429.
4. Markstein, GH (Ed.). (2014). Propagación de llama no constante: AGARDograph (Vol. 75). Elsevier.
5. Markstein, GH y Squire, W. (1955). Sobre la estabilidad de un frente de llama plano en flujo oscilante. The Journal of the Acoustical Society of America, 27(3), 416-424.
6. Peters, Norbert. Combustión turbulenta. Cambridge University Press, 2000.
7. Williams, Forman A. "Teoría de la combustión". (1985).