Dualidad Kramers-Wannier

La dualidad Kramers-Wannier es una simetría en física estadística . Relaciona la energía libre de un modelo de Ising de red cuadrada bidimensional a baja temperatura con la de otro modelo de Ising a alta temperatura. Fue descubierto por Hendrik Kramers y Gregory Wannier en 1941. Con la ayuda de esta dualidad, Kramers y Wannier encontraron la ubicación exacta del punto crítico del modelo de Ising en la red cuadrada.

Dualidades similares establecen relaciones entre energías libres de otros modelos estadísticos. Por ejemplo, en 3 dimensiones, el modelo Ising es dual a un modelo de calibre Ising.

idea intuitiva

El modelo bidimensional de Ising existe sobre una celosía, que es una colección de cuadrados en un patrón de tablero de ajedrez. Con la red finita, los bordes se pueden conectar para formar un toroide. En teorías de este tipo, se construye una transformada involutiva . Por ejemplo, Lars Onsager sugirió que la transformación Estrella-Triángulo podría usarse para la red triangular. ^[1] Ahora el dual del toro discreto es él mismo . Además, el dual de un sistema altamente desordenado (alta temperatura) es un sistema bien ordenado (baja temperatura). Esto se debe a que la transformada de Fourier toma una señal de ancho de banda alto (más desviación estándar ) a una señal baja (menos desviación estándar). Entonces se tiene esencialmente la misma teoría con una temperatura inversa.

Cuando uno eleva la temperatura en una teoría, baja la temperatura en la otra. Si solo hay una transición de fase , será en el punto en el que se cruzan, en el que la temperatura es igual. Debido a que el modelo 2D de Ising pasa de un estado desordenado a un estado ordenado, existe un mapeo casi uno a uno entre las fases desordenada y ordenada.

La teoría se ha generalizado y ahora se combina con muchas otras ideas. Por ejemplo, la red cuadrada se reemplaza por un círculo, ^[2] red aleatoria, ^[3] toro no homogéneo, ^[4] red triangular, ^[5] laberinto, ^[6] red con límites retorcidos, ^[7] modelo quiral de Potts, ^[8] y muchos otros.

Una de las consecuencias de la dualidad Kramers-Wannier es una correspondencia exacta en el espectro de excitaciones a cada lado del punto crítico. Esto se demostró recientemente mediante espectroscopía THz en cadenas de espín 1D. ^[9]

Derivación

Defina estas variables. La expansión a baja temperatura para (K ^* ,L ^* ) es

${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2e^{N(K^{*}+L^{*})}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}(e^{-2L^{*}})^{r}(e^{-2K^{*}})^{s}}$

que mediante el uso de la transformación

${\displaystyle \tanh K=e^{-2L^{*}},\ \tanh L=e^{-2K^{*}}}$

da

${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2(\tanh K\;\tanh L)^{-N/2}\sum _{P}v^{r}w^{s}}$

${\displaystyle =2(\sinh 2K\;\sinh 2L)^{-N/2}Z_{N}(K,L)}$

donde v = tanh K y w = tanh L . Esto produce una relación con la expansión a alta temperatura. Las relaciones se pueden escribir de forma más simétrica como

${\displaystyle \,\sinh 2K^{*}\sinh 2L=1}$

${\displaystyle \,\sinh 2L^{*}\sinh 2K=1}$

Con la energía libre por sitio en el límite termodinámico

${\displaystyle f(K,L)=\lim _{N\rightarrow \infty }f_{N}(K,L)=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}(K,L)}$

la dualidad Kramers-Wannier da

${\displaystyle f(K^{*},L^{*})=f(K,L)+{\frac {1}{2}}kT\log(\sinh 2K\sinh 2L)}$

En el caso isotrópico donde K = L , si hay un punto crítico en K = K _c entonces hay otro en K = K ^* _c . Por lo tanto, en el caso de que exista un punto crítico único, se ubicaría en K = K ^* = K ^* _c , lo que implica sinh 2K _c = 1 , lo que produce kT _c = 2,2692J .

Ver también

• modelo ising
• S-dualidad
• modelo ZN

Referencias

1. Somendra M. Bhattacharjee y Avinash Khare, Cincuenta años de la solución exacta del modelo bidimensional de Ising por Onsager (1995) , arXiv :cond-mat/9511003
2. arXiv : cond-mat/9805301, Propiedad autodual del modelo de Potts en una dimensión , FY Wu
3. arXiv : hep-lat/0110063, operador Dirac y modelo de Ising en una red aleatoria 2D compacta , L.Bogacz, Z.Burda, J.Jurkiewicz, A.Krzywicki, C.Petersen, B.Petersson
4. arXiv : hep-th/9703037, Dualidad del modelo Ising no homogéneo 2D en el toro , AI Bugrij, VN Shadura
5. arXiv :cond-mat/0402420, Selfduality para modelos de Potts acoplados en la red triangular , Jean-Francois Richard, Jesper Lykke Jacobsen, Marco Picco
6. arXiv : solv-int/9902009, Un modelo crítico de Ising sobre el laberinto , M. Baake, U. Grimm , RJ Baxter
7. arXiv : hep-th/0209048, Dualidad y límites retorcidos conformes en el modelo de Ising , Uwe Grimm
8. arXiv : 0905.1924, Dualidad y simetría en el modelo quiral de Potts , Shi-shyr Roan
9. Morris, CM y col. "Dualidad y dinámica del muro de dominio en una cadena retorcida de Kitaev". Física de la Naturaleza 17.7 (2021): 832-836.

enlaces externos

• HA Kramers y GH Wannier (1941). "Estadísticas del ferroimán bidimensional". Revisión física . 60 (3): 252–262. Código Bib : 1941PhRv...60..252K. doi : 10.1103/PhysRev.60.252.
• JB Kogut (1979). "Una introducción a la teoría del calibre de red y los sistemas de espín". Reseñas de Física Moderna . 51 (4): 659–713. Código Bib : 1979RvMP...51..659K. doi :10.1103/RevModPhys.51.659.