El polígono de Petrie del
dodecaedro es un
decágono oblicuo . Visto desde el eje de simetría quíntuple del sólido, parece un decágono regular. Cada par de lados consecutivos pertenece a un pentágono (pero ningún triple lo hace).
En la teoría de grafos topológicos , el dual de Petrie de un grafo incrustado (en una variedad de 2 con todas las caras como discos) es otro grafo incrustado que tiene los polígonos de Petrie de la primera incrustación como sus caras. [1]
El dual de Petrie también se denomina Petrial y el dual de Petrie de un gráfico incrustado puede denotarse como . [2]
Se puede obtener a partir de un sistema de rotación con signo o una representación gráfica de cinta de la incrustación girando cada borde de la incrustación.
Propiedades
Al igual que el gráfico dual habitual, al repetir la operación dual de Petrie dos veces se vuelve a la incrustación de la superficie original. A diferencia del gráfico dual habitual (que es una incrustación de un gráfico generalmente diferente en la misma superficie), el dual de Petrie es una incrustación del mismo gráfico en una superficie generalmente diferente. [1]
La dualidad de superficie y la dualidad de Petrie son dos de las seis operaciones de Wilson y juntas generan el grupo de estas operaciones. [3]
Poliedros regulares
La aplicación del dual de Petrie a un poliedro regular produce una función regular . [2] El número de caras h -gonales sesgadas es g /2 h , donde g es el orden del grupo y h es el número de Coxeter del grupo.
Por ejemplo, el dual de Petrie de un cubo (un grafo bipartito con ocho vértices y doce aristas, incrustado en una esfera con seis caras cuadradas) tiene cuatro [4] caras hexagonales, los ecuadores del cubo. Topológicamente, forma una incrustación del mismo grafo en un toro. [1]
Los mapas regulares obtenidos de esta manera son los siguientes.
- El tetraedro petrial , {3,3} π , tiene 4 vértices, 6 aristas y 3 caras cuadradas oblicuas. Con una característica de Euler , χ , de 1, es topológicamente idéntico al hemicube , {4,3}/2.
- El cubo petrificado , {4,3} π , tiene 8 vértices, 12 aristas y 4 hexágonos oblicuos, coloreados aquí en rojo, verde, azul y naranja. Con una característica de Euler de 0, también se puede ver en las cuatro caras hexagonales del mosaico hexagonal como tipo {6,3} (2,0) .
- El octaedro petrial , {3,4} π , tiene 6 vértices, 12 aristas y 4 caras hexagonales oblicuas. Tiene una característica de Euler de −2 y una aplicación al teselado hexagonal hiperbólico de orden 4 , como tipo {6,4} 3 .
- El dodecaedro petrificado , {5,3} π , tiene 20 vértices, 30 aristas y 6 caras decagonales oblicuas, y una característica de Euler de −4, relacionada con la teselación hiperbólica como tipo {10,3} 5 .
- El icosaedro petrial , {3,5} π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 6 caras decagonales oblicuas, y una característica de Euler de −12, relacionada con la teselación hiperbólica como tipo {10,5} 3 .
También hay 4 petriales de los poliedros de Kepler-Poinsot :
- El gran dodecaedro petrial , {5,5/2} π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 10 caras hexagonales oblicuas con una característica de Euler , χ , de -8.
- El pequeño dodecaedro estrellado petrial , {5/2,5} π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 10 caras hexagonales oblicuas con χ de -8.
- El gran icosaedro petrial , {3,5/2} π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 6 caras de decagramo oblicuas con χ de -12.
- El gran dodecaedro estrellado petrial , {5/2,3} π , tiene 20 vértices, 30 aristas y 6 caras de decagramo oblicuas con χ de -4.
Referencias
- ^ abc Pisanski, Tomaž ; Randić, Milan (2000), "Puentes entre la geometría y la teoría de grafos", en Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at work , MAA Notes, vol. 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, págs. 174–194, MR 1782654. Véase en particular la pág. 181.
- ^ ab McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002), Politopos regulares abstractos, Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 92, Cambridge University Press, pág. 192, ISBN 9780521814966
- ^ Jones, GA; Thornton, JS (1983), "Operaciones sobre mapas y automorfismos externos", Journal of Combinatorial Theory , Serie B, 35 (2): 93–103, doi : 10.1016/0095-8956(83)90065-5 , MR 0733017
- ^ La simetría octaédrica es de orden 48, el número de Coxeter es 6, 48/(2×6)=4
