Función doblemente periódica

En matemáticas , una función doblemente periódica es una función definida en el plano complejo y que tiene dos "periodos", que son números complejos u y v que son linealmente independientes como vectores sobre el cuerpo de números reales . Que u y v sean periodos de una función ƒ significa que

${\displaystyle f(z+u)=f(z+v)=f(z)\,}$

para todos los valores del número complejo  z . ^{[1] [2]}

La función doblemente periódica es, por tanto, una extensión bidimensional de la función más simple, de periodicidad simple , que se repite en una única dimensión. Ejemplos conocidos de funciones con un único período en la línea de números reales incluyen las funciones trigonométricas como coseno y seno . En el plano complejo, la función exponencial e ^z es una función de periodicidad simple, con un período de 2 πi .

Ejemplos

Como una aplicación arbitraria de pares de números reales (o números complejos) a números reales, se puede construir una función doblemente periódica con poco esfuerzo. Por ejemplo, supongamos que los períodos son 1 e  i , de modo que la red repetitiva es el conjunto de cuadrados unitarios con vértices en los enteros gaussianos . Los valores en el cuadrado prototipo (es decir, x  +  iy donde 0 ≤  x  < 1 y 0 ≤  y  < 1) se pueden asignar de manera bastante arbitraria y luego "copiarlos" a los cuadrados adyacentes. Esta función será entonces necesariamente doblemente periódica.

Si en este ejemplo los vectores 1 e i se sustituyen por los vectores linealmente independientes u y v , el prototipo de cuadrado se convierte en un prototipo de paralelogramo que sigue formando mosaicos en el plano . El "origen" de la red de paralelogramos no tiene por qué ser el punto 0: la red puede empezar desde cualquier punto. En otras palabras, podemos pensar en el plano y sus valores funcionales asociados como si permanecieran fijos y traducir mentalmente la red para comprender mejor las características de la función.

Uso de análisis complejo

Si una función doblemente periódica es también una función compleja que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann y proporciona una función analítica alejada de algún conjunto de polos aislados –en otras palabras, una función meromórfica– entonces se puede obtener mucha información sobre dicha función aplicando algunos teoremas básicos del análisis complejo.

• Una función meromórfica doblemente periódica no constante no puede estar acotada en el paralelogramo prototipo, pues si lo estuviera estaría acotada en todas partes y, por lo tanto, sería constante según el teorema de Liouville .
• Como la función es meromórfica, no tiene singularidades esenciales y sus polos están aislados. Por lo tanto, se puede construir una red trasladada que no pase por ningún polo. La integral de contorno alrededor de cualquier paralelogramo en la red debe anularse, porque los valores asumidos por la función doblemente periódica a lo largo de los dos pares de lados paralelos son idénticos, y los dos pares de lados se recorren en direcciones opuestas a medida que nos movemos alrededor del contorno. Por lo tanto, por el teorema del residuo , la función no puede tener un solo polo simple dentro de cada paralelogramo; debe tener al menos dos polos simples dentro de cada paralelogramo (caso jacobiano), o debe tener al menos un polo de orden mayor que uno (caso weierstrassiano).
• Un argumento similar se puede aplicar a la función g = 1/ ƒ donde ƒ es meromórfica y doblemente periódica. Bajo esta inversión los ceros de ƒ se convierten en los polos de g , y viceversa . Por lo tanto, la función meromórfica doblemente periódica ƒ no puede tener un cero simple dentro de cada paralelogramo en la red: debe tener al menos dos ceros simples, o debe tener al menos un cero de multiplicidad mayor que uno. De ello se deduce que ƒ no puede alcanzar ningún valor solo una vez, ya que ƒ menos ese valor sería en sí mismo una función meromórfica doblemente periódica con solo un cero.

Véase también

• Función elíptica
  • Funciones elípticas de Abel
  • Funciones elípticas de Jacobi
  • Funciones elípticas de Weierstrass
  • Funciones elípticas lemniscatas
  • Funciones elípticas de Dixon
• Par fundamental de periodos
• Mapeo de períodos

Literatura

• Jacobi, CGJ (1835). "De functionibus duarum variabilium quadrupliciter periodis, quibus theoria trascendentium Abelianarum innititur". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en latín). 13 . AL Crelle. Reimer, Berlín: 55–56 . Consultado el 3 de octubre de 2022 .Reimpreso en Gesammelte Werke, vol. 2, 2.ª ed. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, págs. 25-26, 1969.
• Whittaker, ET y Watson, GN: A Course in Modern Analysis , 4.ª ed., reimpreso en Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1963, págs. 429-535. Capítulos XX-XXI sobre funciones elípticas, teoremas generales y funciones elípticas de Weierstrass, funciones theta y funciones elípticas jacobianas.

Referencias

1. "Función doblemente periódica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994], adaptado de un artículo original de ED Solomentsev.
2. Weisstein, Eric W. "Función doblemente periódica". mathworld.wolfram.com . Wolfram Mathworld . Consultado el 3 de octubre de 2022 .