Concepto matemático
En matemáticas , la función exponencial se puede caracterizar de muchas formas. Este artículo presenta algunas caracterizaciones comunes, analiza por qué cada una tiene sentido y demuestra que todas son equivalentes .
La función exponencial ocurre naturalmente en muchas ramas de las matemáticas. Walter Rudin la llamó "la función más importante de las matemáticas". [1]
Por lo tanto, es útil tener múltiples formas de definirlo (o caracterizarlo). Cada una de las caracterizaciones siguientes puede ser más o menos útil según el contexto. La caracterización de "límite de producto" de la función exponencial fue descubierta por Leonhard Euler . [2]
Caracterizaciones
Las seis definiciones más comunes de la función exponencial para valores reales son las siguientes.![{\displaystyle \exp(x)=e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in \mathbb {R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Límite de producto. Definir por el límite :
![{\displaystyle e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Serie de potencia. Defina e x como el valor de la serie infinita (aquí n ! denota el factorial de n . Una prueba de que e es irracional utiliza un caso especial de esta fórmula).
![{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2! }}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Inversa de la integral de logaritmo. Definir como el número único y > 0 tal que Es decir, es la inversa de la función logaritmo natural , que está definida por esta integral.
![{\displaystyle e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=\ln(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Ecuación diferencial. Definir como la solución única de la ecuación diferencial con valor inicial : donde denota la derivada de y .
![{\displaystyle y(x)=e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y'={\tfrac {dy}{dx}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Ecuación funcional. La función exponencial es la función única f con para todos y . La condición se puede sustituir junto con cualquiera de las siguientes condiciones de regularidad:
![{\displaystyle e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x,y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f'(0)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f'(0)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para la unicidad, se debe imponer alguna condición de regularidad, ya que se pueden construir otras funciones que satisfagan utilizando una base para los números reales sobre los racionales , como lo describen Hewitt y Stromberg.![{\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Definición elemental por potencias. Defina la función exponencial con base como la función continua cuyo valor en números enteros está dado por la multiplicación o división repetida de , y cuyo valor en números racionales está dado por . Luego defina como la función exponencial cuya base es el único número real positivo que satisface:
![{\displaystyle a>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=n/m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{n/m}=\ \ {\sqrt[{m}]{{\vphantom {A^{2}}}a^{n}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a=e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dominios más grandes
Una forma de definir la función exponencial sobre números complejos es definirla primero para el dominio de los números reales usando una de las caracterizaciones anteriores y luego extenderla como una función analítica , que se caracteriza por sus valores en cualquier conjunto de dominio infinito.
Además, las caracterizaciones (1), (2) y (4) se aplican directamente a un número complejo. La definición (3) presenta un problema porque existen caminos no equivalentes a lo largo de los cuales uno podría integrarse; pero la ecuación de (3) debería ser válida para cualquier módulo de trayectoria de este tipo . En cuanto a la definición (5), la propiedad aditiva junto con la derivada compleja son suficientes para garantizar . Sin embargo, la condición del valor inicial junto con las demás condiciones de regularidad no son suficientes. Por ejemplo, para x e y reales , la función satisface las tres condiciones de regularidad enumeradas en (5) pero no es igual a . Una condición suficiente es que sea un mapa conforme en algún momento; o bien los dos valores iniciales y junto con las demás condiciones de regularidad. ![{\displaystyle e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f'(0)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)=e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(1)=e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \exp(x+iy)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(1)=e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(1)=e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle f(i)=\cos(1)+i\sin(1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
También se puede definir la exponencial en otros dominios, como matrices y otras álgebras . Las definiciones (1), (2) y (4) tienen sentido para álgebras de Banach arbitrarias .
Prueba de que cada caracterización tiene sentido
Algunas de estas definiciones requieren justificación para demostrar que están bien definidas . Por ejemplo, cuando el valor de la función se define como el resultado de un proceso limitante (es decir, una secuencia o serie infinita ), se debe demostrar que dicho límite siempre existe.
Caracterización 1
El error de la expresión límite del producto se describe mediante:
donde el grado del polinomio (en x ) en el término con denominador n k es 2 k .![{\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}} +{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 2
Dado que
se deduce de la prueba de razón que converge para todo x .![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|= \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 3
Dado que el integrando es una función integrable de t , la expresión integral está bien definida. Se debe demostrar que la función de a definida por
es una biyección . Dado que 1/ t es positivo para t positivo , esta función es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva . Si las dos integrales se cumplen, entonces también
es sobreyectiva . De hecho, estas integrales se mantienen ; se derivan de la prueba integral y de la divergencia de la serie armónica .![{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\mapsto \int _ {1}^{x}{\frac {dt}{t}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}&=\infty \\[8pt]\int _{1}^{0}{ \frac {dt}{t}}&=-\infty \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 6
La definición depende del número real positivo único que satisfaga: Se puede demostrar que este límite existe para cualquiera y define una función creciente continua con y , por lo que el teorema del valor intermedio garantiza la existencia de dicho valor .![{\displaystyle a=e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(a)=\ln(a)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(1)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }f(a)=\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a=e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Equivalencia de las caracterizaciones.
Los siguientes argumentos demuestran la equivalencia de las caracterizaciones anteriores para la función exponencial.
Caracterización 1 ⇔ caracterización 2
El siguiente argumento está adaptado de Rudin, teorema 3.31, p. 63–65.
Sea un número real fijo no negativo. Definir![{\displaystyle x\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\qquad s_{n}=\sum _{k=0}^{n} {\frac {x^{k}}{k!}},\qquad e^{x}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por el teorema del binomio ,
(usando x ≥ 0 para obtener la desigualdad final) de modo que:
Se debe usar lim sup porque no se sabe si t n converge . ![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}} }=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{ k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n} }\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{ n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n }}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para la otra desigualdad, por la expresión anterior para t n , si 2 ≤ m ≤ n , tenemos: ![{\displaystyle 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{ m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1 -{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Arregla m y deja que n se acerque al infinito. Entonces
(nuevamente, se debe usar lim inf porque no se sabe si t n converge). Ahora, tome la desigualdad anterior, haga que m tienda a infinito y únala con la otra desigualdad para obtener:
de modo que![{\displaystyle s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _ {n\to \infty }\ t_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta equivalencia se puede extender a los números reales negativos observando y tomando el límite cuando n tiende al infinito.![{\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left (1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 1 ⇔ caracterización 3
Aquí, la función logaritmo natural se define en términos de una integral definida como se indicó anteriormente. Por la primera parte del teorema fundamental del cálculo ,![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt ={\frac {1}{x}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además,![{\textstyle \ln 1=\int _ {1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora, sea x cualquier número real fijo y sea![{\displaystyle y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ln( y ) = x , lo que implica que y = e x , donde e x es en el sentido de la definición 3. Tenemos![{\displaystyle \ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \ infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí se utiliza la continuidad de ln( y ), que se deriva de la continuidad de 1/ t :![{\displaystyle \ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{ \frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí se ha utilizado el resultado ln a n = n ln a . Este resultado se puede establecer para n un número natural por inducción o mediante integración por sustitución. (La extensión a potencias reales debe esperar hasta que ln y exp se hayan establecido como inversas entre sí, de modo que a b pueda definirse para b real como e b ln a .)![{\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}}\quad {\text{ donde }}h={\frac {x}{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle =x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \!\,=x.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 1 ⇔ caracterización 4
Denotemos la solución al problema de valor inicial . La aplicación de la forma más simple del método de Euler con incrementos y puntos muestrales da la fórmula recursiva:![{\displaystyle y(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y'=y,\ y(0)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta t={\frac {x}{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t\ =\ 0,\ \Delta t,\ 2\Delta t,\ldots ,\ n\Delta t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y(t+\Delta t)\ \approx \ y(t)+y'(t)\Delta t\ =\ y(t)+y(t)\Delta t\ =\ y(t)\ ,(1+\Delta t).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta recursividad se resuelve inmediatamente para dar el valor aproximado , y como se sabe que el método de Euler converge a la solución exacta, tenemos:![{\displaystyle y(x)=y(n\Delta t)\aprox (1+\Delta t)^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 1 ⇔ caracterización 5
La siguiente prueba es una versión simplificada de la de Hewitt y Stromberg, ejercicio 18.46. Primero, se demuestra que la mensurabilidad (o aquí, integrabilidad de Lebesgue) implica continuidad para una función distinta de cero que satisface , y luego se demuestra que la continuidad implica para algún k , y finalmente implica k = 1 .![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)=e^{kx}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(1)=e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En primer lugar, se demuestran algunas propiedades elementales de la satisfacción y la suposición de que no es idénticamente cero:![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si es distinto de cero en cualquier parte (digamos en x = y ), entonces es distinto de cero en todas partes. Prueba: implica .
![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(y)=f(x)f(yx)\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. Prueba: y es distinto de cero.![{\displaystyle f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. Prueba: .![{\displaystyle 1=f(0)=f(xx)=f(x)f(-x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si es continua en cualquier parte (digamos en x = y ), entonces es continua en todas partes. Prueba: como por continuidad en y .
![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=f(xy)[f(y+\delta )-f(y)]\to 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta \to 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La segunda y tercera propiedades significan que es suficiente probar x positivo .![{\displaystyle f(x)=e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si es una función integrable de Lebesgue , entonces![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(x)=\int _ {0}^{x}f(x')\,dx'.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Luego se deduce que![{\displaystyle g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(x')\,dx'=\int _{0}^{y}f(x +x')\,dx'=f(x)g(y).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como es distinto de cero, se puede elegir algo de tal que y se resuelva en la expresión anterior. Por lo tanto:![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(y)\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y) )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g (x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}= g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La expresión final debe llegar a cero ya que desde y es continua. Se deduce que es continuo.![{\displaystyle \delta \to 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(0)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora bien, se puede demostrar, para algunos k , para todos los números racionales positivos q . Sea q = n / m para números enteros positivos n y m . Luego
por inducción elemental sobre n . Por lo tanto, y así
para . Si se restringe al valor real , entonces es positivo en todas partes y, por lo tanto, k es real.![{\displaystyle f(q)=e^{kq}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}+\cdots +{\frac {1}{m}}\ derecha)=f\izquierda({\frac {1}{m}}\derecha)^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(1/m)^{m}=f(1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k=\ln[f(1)]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)=f(x/2)^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Finalmente, por continuidad, ya que para todo x racional , debe ser cierto para todo x real ya que la clausura de los racionales son los reales (es decir, cualquier x real puede escribirse como el límite de una secuencia de racionales). Si entonces k = 1. Esto es equivalente a la caracterización 1 (o 2, o 3), dependiendo de qué definición equivalente de e se use.![{\displaystyle f(x)=e^{kx}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(1)=e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 2 ⇔ caracterización 4
Sea n un número entero no negativo. En el sentido de la definición 4 y por inducción, .![{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto![{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Usando la serie de Taylor , esto muestra que la definición 4 implica la definición 2.![{\displaystyle y=\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}=\sum _ n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n} }{¡norte!}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En el sentido de la definición 2,![{\displaystyle {\begin{alineado}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^ {\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n !}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k =0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ donde }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end {alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además, esto muestra que la definición 2 implica la definición 4.![{\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1. }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 2 ⇒ caracterización 5
En el sentido de la definición 2, la ecuación se deriva de la manipulación término por término de series de potencias justificadas por la convergencia uniforme , y la igualdad resultante de coeficientes es simplemente el teorema del binomio . Además: [3]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\exp '(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}\\&=\lim _{ h\a 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}} {3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(1+ {\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)\ =\ 1.\\\end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 3 ⇔ caracterización 4
La caracterización 3 implica definir el logaritmo natural antes de definir la función exponencial. Primero,
esto significa que el logaritmo natural de es igual al área (con signo) bajo la gráfica de entre y . Si , entonces esta área se considera negativa. Entonces, se define como la inversa de , es decir,
por la definición de una función inversa. Si es un número real positivo entonces se define como . Finalmente, se define como el número tal que . Entonces se puede demostrar que :
Según el teorema fundamental del cálculo , la derivada de . Ahora estamos en condiciones de demostrar que , satisfaciendo la primera parte del problema del valor inicial dado en la caracterización 4:
Entonces, simplemente tenemos que notar que , y listo. Por supuesto, es mucho más fácil demostrar que la caracterización 4 implica la caracterización 3. Si la función única satisface , y , entonces puede definirse como su inversa. La derivada de se puede encontrar de la siguiente manera:
Si derivamos ambos lados con respecto a , obtenemos
Por lo tanto,![{\displaystyle \log x:=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1/t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t=x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x<1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\exp}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\log}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \exp(\log(x))=x{\text{ y }}\log(\exp(x))=x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \exp(x\log(a))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\log(a)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{x}=\exp(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{x}=\exp(x\log(e))=\exp(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de texto \log x={\frac {1}{x}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de texto {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Let }}y&=e^{x}=\exp(x)\\\log(y)&=\log(\exp(x))=x\ \{\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}&=1\\{\frac {dy}{dx}}&=y=e^{x}\end{aligned} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{0}=\exp(0)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f'(x)=e^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(0)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\log}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\log}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y=\log x\implica x=e^{y}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dy}}&=e^{y}\\{\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{e^{ y}}}={\frac {1}{x}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt=\left[\log t\right]_{1}^{x}=\log x-\log 1 =\log x-0=\log x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 5 ⇒ caracterización 4
Las condiciones f' (0) = 1 y f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) implican ambas condiciones en la caracterización 4. De hecho, se obtiene la condición inicial f (0) = 1 dividiendo ambos lados de la ecuación
por f (0) y la condición de que f′ ( x ) = f ( x ) se deriva de la condición de que f′ (0) = 1 y la definición de la derivada de la siguiente manera:![{\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}f'(x)&=&\lim \limits _ {h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h} }&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0 }f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\[1em]&=&f(x)\lim \limits _ {h\to 0}{\frac {f(h) -1}{h}}&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}&=&f(x) f'(0)=f(x).\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 5 ⇒ caracterización 4
En el sentido de la definición 5, la propiedad multiplicativa junto con la condición inicial implican que:![{\displaystyle\exp '(0)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {d}{dx}}\exp(x)&=&\lim _ {h\to 0}{\frac {\exp(x{+} h)-\exp(x)}{h}}\\&=&\exp(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\exp(h)-1}{h}} \\&=&\exp(x)\exp '(0)=\exp(x).\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterización 5 ⇔ caracterización 6
La propiedad multiplicativa de la definición 5 implica que , y que de acuerdo con la definición de multiplicación/división y raíz de exponenciación para racional en la definición 6, donde . Entonces la condición significa eso . Además, cualquiera de las condiciones de la definición 5 implica que es continuo en absoluto real . Lo contrario es similar.![{\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(0)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)=a^{x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=n/m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a=f(1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f'(0)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\tfrac {a^{h}-1}{h}}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- Walter Rudin , Principios de análisis matemático , 3.ª edición (McGraw–Hill, 1976), capítulo 8.
- Edwin Hewitt y Karl Stromberg, Análisis real y abstracto (Springer, 1965).