Distribución de Metalog

Distribuciones de metálogos de tres términos

Distribución metalógica de cuatro términos cuando ${\displaystyle a_{3}=0}$

La distribución metalog es una distribución de probabilidad continua flexible diseñada para facilitar su uso en la práctica. Junto con sus transformaciones, la familia metalog de distribuciones continuas es única porque incorpora todas las siguientes propiedades: flexibilidad de forma prácticamente ilimitada; una elección entre distribuciones ilimitadas, semi-limitadas y acotadas; facilidad de ajuste a los datos con mínimos cuadrados lineales; ecuaciones de función cuantil simple y de forma cerrada ( FDC inversa ) que facilitan la simulación ; una PDF simple y de forma cerrada ; y actualización bayesiana en forma cerrada a la luz de nuevos datos. Además, al igual que una serie de Taylor , las distribuciones metalog pueden tener cualquier número de términos, dependiendo del grado de flexibilidad de forma deseado y otras necesidades de aplicación.

Las aplicaciones en las que las distribuciones metalógicas pueden ser útiles suelen implicar el ajuste de datos empíricos, datos simulados o cuantiles obtenidos por expertos para suavizar las distribuciones de probabilidad continuas. Los campos de aplicación son muy variados e incluyen la economía, la ciencia, la ingeniería y muchos otros campos. Las distribuciones metalógicas, también conocidas como distribuciones de Keelin, fueron publicadas por primera vez en 2016 ^[1] por Tom Keelin. ^[2]

Historia

La historia de las distribuciones de probabilidad puede verse, en parte, como una progresión de desarrollos hacia una mayor flexibilidad en la forma y los límites al ajustar los datos . La distribución normal se publicó por primera vez en 1756, ^[3] y el teorema de Bayes en 1763. ^[4] La distribución normal sentó las bases para gran parte del desarrollo de las estadísticas clásicas. En contraste, el teorema de Bayes sentó las bases para las representaciones de probabilidad basadas en creencias y en el estado de la información . Debido a que las probabilidades basadas en creencias pueden adoptar cualquier forma y pueden tener límites naturales, se necesitaban distribuciones de probabilidad lo suficientemente flexibles para adaptarse a ambas. Además, muchos conjuntos de datos empíricos y experimentales exhibían formas que no podían coincidir bien con la distribución normal u otras distribuciones continuas . Así comenzó la búsqueda de distribuciones de probabilidad continuas con formas y límites flexibles.

A principios del siglo XX, la familia de distribuciones Pearson ^[5] , que incluye la normal , beta , uniforme , gamma , t de Student , chi-cuadrado , F y otras cinco, ^[6] surgió como un avance importante en la flexibilidad de forma. Estas fueron seguidas por las distribuciones Johnson ^{[7] [8] . Ambas familias pueden representar los primeros cuatro momentos de los datos (} media , varianza , asimetría y curtosis ) con curvas continuas suaves. Sin embargo, no tienen la capacidad de coincidir con los momentos de quinto orden o de orden superior. Además, para una asimetría y curtosis dadas, no hay elección de límites. Por ejemplo, coincidir con los primeros cuatro momentos de un conjunto de datos puede producir una distribución con un límite inferior negativo, aunque se sepa que la cantidad en cuestión no puede ser negativa. Finalmente, sus ecuaciones incluyen integrales intratables y funciones estadísticas complejas, de modo que el ajuste a los datos generalmente requiere métodos iterativos.

A principios del siglo XXI, los analistas de decisiones comenzaron a trabajar para desarrollar distribuciones de probabilidad continuas que se ajustaran exactamente a tres puntos específicos en la función de distribución acumulativa para una cantidad incierta (por ejemplo, obtenida por expertos y cuantiles). Las distribuciones de la familia Pearson y Johnson generalmente eran inadecuadas para este propósito. Además, los analistas de decisiones también buscaban distribuciones de probabilidad que fueran fáciles de parametrizar con datos (por ejemplo, mediante el uso de mínimos cuadrados lineales o, equivalentemente, regresión lineal múltiple ). Introducida en 2011, la clase de distribuciones parametrizadas por cuantiles (QPD) logró ambos objetivos. Si bien fue un avance significativo por esta razón, la QPD originalmente utilizada para ilustrar esta clase de distribuciones, la distribución Q-Normal Simple, ^[9] tenía menos flexibilidad de forma que las familias Pearson y Johnson, y carecía de la capacidad de representar distribuciones semiacotadas y acotadas. Poco después, Keelin ^[1] desarrolló la familia de distribuciones metalog, otra instancia de la clase QPD, que es más flexible en cuanto a forma que las familias de Pearson y Johnson, ofrece una opción de acotación, tiene ecuaciones de forma cerrada que se pueden ajustar a datos con mínimos cuadrados lineales y tiene funciones cuantiles de forma cerrada , que facilitan la simulación de Monte Carlo . ${\displaystyle 0.10,0.50}$ ${\displaystyle 0.90}$

Definición y función cuantil

La distribución metalog es una generalización de la distribución logística , donde el término "metalog" es la abreviatura de "metalogística". A partir de la función cuantil logística , Keelin sustituyó las expansiones de series de potencias en la probabilidad acumulada por los parámetros y , que controlan la ubicación y la escala, respectivamente. ^[10] ${\displaystyle x=Q(y)=\mu +s{\mbox{ }}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}}$ ${\displaystyle y=F(x)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \mu =a_{1}+a_{4}(y-0.5)+a_{5}(y-0.5)^{2}+a_{7}(y-0.5)^{3}+a_{9}(y-0.5)^{4}+\dots }$

${\displaystyle s=a_{2}+a_{3}(y-0.5)+a_{6}(y-0.5)^{2}+a_{8}(y-0.5)^{3}+a_{10}(y-0.5)^{4}+\dots }$

La justificación de Keelin para esta sustitución fue quíntuple. ^[10] En primer lugar, la función cuantil resultante tendría una flexibilidad de forma significativa, gobernada por los coeficientes . En segundo lugar, tendría una forma cerrada simple que es lineal en estos coeficientes, lo que implica que podrían determinarse fácilmente a partir de datos CDF por mínimos cuadrados lineales . En tercer lugar, la función cuantil resultante sería suave, diferenciable y analítica , lo que garantiza que estaría disponible una PDF suave y de forma cerrada . En cuarto lugar, la simulación se vería facilitada por la CDF inversa de forma cerrada resultante . En quinto lugar, como una serie de Taylor , se podría utilizar cualquier número de términos , dependiendo del grado de flexibilidad de forma deseado y otras necesidades de aplicación. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle k}$

Obsérvese que los subíndices de los coeficientes son tales que y están en la expansión, y están en la expansión, y los subíndices se alternan a partir de entonces. Este orden se eligió de modo que los dos primeros términos en la función cuantil metalog resultante correspondan exactamente a la distribución logística; añadiendo un tercer término con se ajusta la asimetría; añadiendo un cuarto término con se ajusta principalmente la curtosis; y añadiendo términos no nulos posteriores se obtienen refinamientos de forma más matizados. ^{[10] : p.252} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{4}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{3}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a_{3}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{4}\neq 0}$

Al reescribir la función cuantil logística para incorporar las sustituciones anteriores para y se obtiene la función cuantil metalog , para la probabilidad acumulada . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 0<y<1}$

${\displaystyle M_{k}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{for }}k=2\\a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{3}(y-0.5)\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{for }}k=3\\a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{3}(y-0.5)\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{4}(y-0.5)&{\mbox{for }}k=4\\M_{k-1}(y)+a_{k}(y-0.5)^{k-1 \over 2}&{\mbox{for odd }}k\geq 5\\M_{k-1}(y)+a_{k}(y-0.5)^{{k \over 2}-1}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{for even }}k\geq 6\\\end{array}}\right.}$

De manera equivalente, la función cuantil metalog se puede expresar en términos de funciones base: , donde las funciones base metalog son y cada una posterior se define como la expresión que se multiplica por en la ecuación para anterior. Nótese que el coeficiente es la mediana , ya que todos los demás términos son iguales a cero cuando . Los casos especiales de la función cuantil metalog son la distribución logística ( ) y la distribución uniforme ( en caso contrario). ${\displaystyle M_{k}(y)=\sum _{i=1}^{k}a_{i}g_{i}(y)}$ ${\displaystyle g_{1}(y)=1,{\mbox{ }}g_{2}(y)=\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )},}$ ${\displaystyle g_{i}(y)}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle M_{k}(y)}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle y=0.5}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle k\geq 4,a_{1}=0.5,a_{4}=1,a_{i}=0}$

Función de densidad de probabilidad

La diferenciación con respecto a da como resultado la función de densidad de cuantiles ^[11] . El recíproco de esta cantidad, , es la función de densidad de probabilidad expresada como una p-PDF, ^[12]. ${\displaystyle x=M_{k}(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle q(y)=dx/dy}$ ${\displaystyle (q(y))^{-1}=dy/dx=f(Q(y))}$

${\displaystyle m_{k}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}{y(1-y) \over {a_{2}}}&{\mbox{for }}k=2\\{\Bigl (}{a_{2} \over {y(1-y)}}+a_{3}{\Bigl (}{y-0.5 \over {y(1-y)}}+\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for }}k=3\\{\Bigl (}{a_{2} \over {y(1-y)}}+a_{3}{\Bigl (}{y-0.5 \over {y(1-y)}}+\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{4}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for }}k=4\\{\Bigl (}{1 \over {m_{k-1}(y)}}+a_{k}{k-1 \over 2}(y-0.5)^{(k-3)/2}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for odd }}k\geq 5\\{\Bigl (}{1 \over {m_{k-1}(y)}}+a_{k}{\Bigl (}{(y-0.5)^{k/2-1} \over {y(1-y)}}+({k \over 2}-1)(y-0.5)^{(k/2-2)}\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for even }}k\geq 6,\\\end{array}}\right.}$

que puede expresarse de manera equivalente en términos de funciones base como

${\displaystyle m_{k}(y)=\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}{{dg_{i}(y)} \over {dy}}\right)^{-1}}$dónde . ${\displaystyle 0<y<1}$

Tenga en cuenta que esta PDF se expresa como una función de probabilidad acumulada, , en lugar de la variable de interés, . Para representar gráficamente la PDF (por ejemplo, como se muestra en las figuras de esta página), se puede variar paramétricamente y luego representar gráficamente en el eje horizontal y en el eje vertical. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in (0,1)}$ ${\displaystyle x=M_{k}(y)}$ ${\displaystyle m_{k}(y)}$

Con base en las ecuaciones anteriores y las siguientes transformaciones que permiten la elección de límites, la familia de distribuciones metalográficas se compone de metalogramas ilimitados, semilimitados y limitados, junto con sus casos especiales de triplete percentil simétrico (SPT).

Distribuciones de metálogos ilimitadas, semilimitadas y limitadas

Como se definió anteriormente, la distribución metalog no está acotada, excepto en el caso especial inusual donde para todos los términos que contienen . Sin embargo, muchas aplicaciones requieren distribuciones de probabilidad flexibles que tengan un límite inferior , un límite superior o ambos. Para satisfacer esta necesidad, Keelin utilizó transformaciones para derivar distribuciones metalog semiacotadas y acotadas. ^[1] Dichas transformaciones están regidas por una propiedad general de las funciones cuantiles: para cualquier función cuantil y función creciente también es una función cuantil . ^[13] Por ejemplo, la función cuantil de la distribución normal es ; dado que el logaritmo natural, , es una función creciente, es la función cuantil de la distribución lognormal . De manera análoga, al aplicar esta propiedad a la función cuantil metalog utilizando las transformaciones a continuación se obtienen los miembros semiacotados y acotados de la familia metalog. Al considerar que están distribuidos metalog, todos los miembros de la familia metalog cumplen con la definición de Keelin y Powley ^[9] de una distribución parametrizada por cuantiles y, por lo tanto, poseen sus propiedades. ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle \ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}}$ ${\displaystyle b_{l}}$ ${\displaystyle b_{u}}$ ${\displaystyle x=Q(y)}$ ${\displaystyle z(x),x=z^{-1}(Q(y))}$ ${\displaystyle x=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}$ ${\displaystyle z(x)=\ln(x-b_{l})}$ ${\displaystyle x=b_{l}+e^{\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}}$ ${\displaystyle M_{k}(y)}$ ${\displaystyle z(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|c|c|c|c|c}&&&&&{\mbox{shape}}\\&{\mbox{transformation}}&{\mbox{quantile function}}&{\mbox{PDF}}&{\mbox{where}}&{\mbox{parameters}}\\\hline {\mbox{Metalog (unbounded)}}&z(x)=x&M_{k}(y)&m_{k}(y)&0<y<1&k-2\\\hline {\mbox{Log metalog}}&z(x)=\ln(x-b_{l})&M_{k}^{\log }(y)=b_{l}+e^{M_{k}(y)}&m_{k}^{\log }(y)=m_{k}(y)e^{-M_{k}(y)}&0<y<1&k-1\\{\mbox{(bounded below)}}&&=b_{l}&=0&y=0\\\hline {\mbox{Negative-log metalog}}&z(x)=-\ln(b_{u}-x)&M_{k}^{\operatorname {nlog} }(y)=b_{u}-e^{-M_{k}(y)}&m_{k}^{\operatorname {nlog} }(y)=m_{k}(y)e^{M_{k}(y)}&0<y<1&k-1\\{\mbox{(bounded above)}}&&=b_{u}&=0&y=1\\\hline {\mbox{Logit metalog}}&z(x)=\ln {\Bigl (}{x-b_{l} \over {b_{u}-x}}{\Bigr )}&M_{k}^{\operatorname {logit} }(y)={b_{l}+b_{u}e^{M_{k}(y)} \over {1+e^{M_{k}(y)}}}&m_{k}^{\operatorname {logit} }(y)=m_{k}(y){{\bigl (}1+e^{M_{k}(y)}{\bigr )}^{2} \over {(b_{u}-b_{l})e^{M_{k}(y)}}}&0<y<1&k\\{\mbox{(bounded)}}&&=b_{l}&=0&y=0\\&&=b_{u}&=0&y=1\end{array}}}$

Obsérvese que la cantidad de parámetros de forma en la familia de distribuciones metalográficas aumenta linealmente con la cantidad de términos . Por lo tanto, cualquiera de las distribuciones metalográficas anteriores puede tener cualquier cantidad de parámetros de forma. Por el contrario, las familias de distribuciones de Pearson y Johnson están limitadas a dos parámetros de forma. ${\displaystyle k}$

Distribuciones de metalog SPT

Metálogo SPT acotado parametrizado con datos CDF y con límites inferior y superior respectivamente . ${\displaystyle (20,0.1),(30,0.5),}$ ${\displaystyle (50,0.9)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 100}$

Las distribuciones metalog de triplete percentil simétrico (SPT) son un caso especial de tres términos de las distribuciones metalog ilimitadas, semilimitadas y limitadas. ^[14] Estas están parametrizadas por los tres puntos de la curva CDF , de la forma , , y , donde . Los metalogs SPT son útiles cuando, por ejemplo, los cuantiles correspondientes a las probabilidades CDF (por ejemplo , ) se obtienen de un experto y se utilizan para parametrizar las distribuciones metalog de tres términos. Como se señala a continuación, ciertas propiedades matemáticas se simplifican mediante la parametrización SPT. ${\displaystyle (k=3)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x_{1},\alpha )}$ ${\displaystyle (x_{2},0.5)}$ ${\displaystyle (x_{3},1-\alpha )}$ ${\displaystyle 0<\alpha <0.5}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle 0.1,0.5,0.9}$

Propiedades

La familia metalog de distribuciones de probabilidad tiene las siguientes propiedades.

Factibilidad

Una función de la forma de o cualquiera de sus transformadas anteriores es una distribución de probabilidad factible si y solo si su PDF es mayor que cero para todos ^[9] Esto implica una restricción de viabilidad en el conjunto de coeficientes , ${\displaystyle M_{k}(y)}$ ${\displaystyle y\in (0,1).}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},...,a_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle m_{k}(y)>0}$Para todos . ${\displaystyle y\in (0,1)}$

En aplicaciones prácticas, la viabilidad generalmente debe comprobarse en lugar de suponerse. Para , garantiza la viabilidad. Para (incluidos los metalogos SPT), la condición de viabilidad es y . ^[14] Para , se ha derivado una forma cerrada similar. ^[15] Para , la viabilidad se comprueba típicamente de forma gráfica o numérica. ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle a_{2}>0}$ ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle a_{2}>0}$ ${\displaystyle {|a_{3}|/a_{2}}<1.66711}$ ${\displaystyle k=4}$ ${\displaystyle k\geq 5}$

El metalog ilimitado y sus transformadas anteriores comparten el mismo conjunto de coeficientes factibles. ^[16] Por lo tanto, para un conjunto dado de coeficientes, confirmar que para todos es suficiente independientemente de la transformada en uso. ${\displaystyle m_{k}(y)>0}$ ${\displaystyle y\in (0,1)}$

Convexidad

El conjunto de coeficientes de metalog factibles para todos es convexo . Debido a que los problemas de optimización convexa requieren conjuntos factibles convexos, esta propiedad puede simplificar los problemas de optimización que involucran metalogs. Además, esta propiedad garantiza que cualquier combinación convexa de los vectores de metalogs factibles sea factible, lo que es útil, por ejemplo, cuando se combina la opinión de múltiples expertos ^[17] o se interpola entre metalogs factibles. ^[18] Por implicación, cualquier mezcla probabilística de distribuciones de metalogs es en sí misma un metalog. ${\displaystyle S_{\boldsymbol {a}}=\{{\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{k}|m_{k}(y)>0}$ ${\displaystyle y\in (0,1)\}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

Ajuste a los datos

Distribución de los registros de 10 términos del metálogo sobre la altura máxima anual de medición del río (pies) desde 1920 hasta 2014 para el río Williamson debajo de la confluencia del río Sprague, Chiloquin, Oregón. Fuente de datos: USGS .

Los coeficientes se pueden determinar a partir de los datos mediante mínimos cuadrados lineales . Dados los puntos de datos que se pretende caracterizar una CDF de un metalog, y una matriz cuyos elementos consisten en las funciones base , entonces, siempre que sea invertible, el vector columna de los coeficientes viene dado por , donde y el vector columna . Si , esta ecuación se reduce a , donde la CDF de un metalog resultante recorre todos los puntos de datos exactamente. Para los metalogs SPT, se reduce además a expresiones en términos de los tres puntos directamente. ^[14] ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ ${\displaystyle g_{j}(y_{i})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}})^{-1}{\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {z}}}$ ${\displaystyle n\geq k}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=(z(x_{1}),\ldots ,z(x_{n}))}$ ${\displaystyle n=k}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {Y}}^{-1}{\boldsymbol {z}}}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

Un método de ajuste alternativo, implementado como un programa lineal, determina los coeficientes minimizando la suma de las distancias absolutas entre la CDF y los datos, sujeto a restricciones de viabilidad. ^[19]

Cómo los metalogos convergen a la distribución normal estándar a medida que aumenta de 2 a 10 ${\displaystyle k}$

Distribuciones de Weibull (azul) muy aproximadas mediante distribuciones de metálogos semiacotados de nueve términos (discontinuos, amarillos)

Flexibilidad de forma

Según el teorema de flexibilidad de los metalogs, ^[17] cualquier distribución de probabilidad con una función cuantil continua puede ser aproximada de forma arbitrariamente precisa por un metalog. Además, en el artículo original, Keelin demostró que las distribuciones de diez términos de los metalogs parametrizadas por 105 puntos CDF de 30 distribuciones de fuentes tradicionales (incluidas las distribuciones normal, t de Student, lognormal, gamma, beta y de valores extremos) se aproximan a cada una de esas distribuciones de fuentes dentro de una distancia KS de 0,001 o menos. ^[20] Por lo tanto, la flexibilidad de la forma de los metalogs es prácticamente ilimitada.

La figura animada de la derecha ilustra esto para la distribución normal estándar, donde los metalogs con varias cantidades de términos están parametrizados por el mismo conjunto de 105 puntos de la CDF normal estándar. La PDF del metalog converge a la PDF normal estándar a medida que aumenta la cantidad de términos. Con dos términos, el metalog se aproxima a la normal con una distribución logística. Con cada incremento en la cantidad de términos, el ajuste se acerca más. Con 10 términos, la PDF del metalog y la PDF normal estándar son visualmente indistinguibles.

De manera similar, las PDF de metálogos semiacotados de nueve términos son visualmente indistinguibles de una variedad de distribuciones de Weibull . Los seis casos que se muestran a la derecha corresponden a los parámetros de forma de Weibull 0,5, 0,8, 1,0, 1,5, 2 y 4. En cada caso, el metálogo está parametrizado por los nueve puntos de la CDF de Weibull que corresponden a las probabilidades acumuladas . ${\displaystyle b_{l}=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=(0.001,0.02,0.10,0.25,0.5,0.75,0.9,0.98,0.999)}$

Esta convergencia no es exclusiva de las distribuciones normal y de Weibull. Keelin originalmente mostró resultados análogos para una amplia gama de distribuciones ^[20] y desde entonces ha proporcionado más ejemplos. ^{[17] [21]}

Mediana

La mediana de cualquier distribución de la familia metalog tiene una forma cerrada simple. Nótese que define la mediana, y (ya que todos los términos subsiguientes son cero para ). De ello se deduce que las medianas de las distribuciones metalog ilimitadas, metalog logarítmicas, metalog logarítmicas negativas y metalog logit son , , , y , respectivamente. ${\displaystyle y=0.5}$ ${\displaystyle M_{k}(0.5)=a_{1}}$ ${\displaystyle y=0.5}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle b_{l}+e^{a_{1}}}$ ${\displaystyle b_{u}-e^{-a_{1}}}$ ${\displaystyle {b_{l}+b_{u}e^{a_{1}} \over {1+e^{a_{1}}}}}$

Momentos

El momento de la distribución metalog ilimitada, , es un caso especial de la fórmula más general para QPD. ^[9] Para la distribución metalog ilimitada, dichas integrales se evalúan como momentos de forma cerrada que son polinomios de orden en los coeficientes . Los primeros cuatro momentos centrales de la distribución metalog ilimitada de cuatro términos son: ${\displaystyle m^{th}}$ ${\displaystyle E[x^{m}]=\int _{y=0}^{1}{M_{k}(y)}^{m}\,dy}$ ${\displaystyle m^{th}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mean}}={}&a_{1}+{a_{3} \over 2}\\[6pt]{\text{variance}}={}&\pi ^{2}{{a_{2}}^{2} \over 3}+{{a_{3}}^{2} \over {12}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{2} \over {36}}+a_{2}a_{4}+{{a_{4}}^{2} \over {12}}\\[6pt]{\text{skewness}}={}&\pi ^{2}{a_{2}}^{2}{a_{3}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{3} \over {24}}+{{{a_{2}}{a_{3}}{a_{4}}} \over {2}}+\pi ^{2}{{{a_{2}}{a_{3}}{a_{4}}} \over {6}}+{{{a_{3}}{a_{4}}^{2}} \over {8}}\\[6pt]{\text{kurtosis}}={}&7\pi ^{4}{{a_{2}}^{4} \over {15}}+3\pi ^{2}{{{a_{2}}^{2}{a_{3}}^{2}} \over {24}}+7\pi ^{4}{{{a_{2}}^{2}{a_{3}}^{2}} \over {30}}+{{{a_{3}}^{4}} \over {80}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{4} \over {24}}+7\pi ^{4}{{a_{3}}^{4} \over {1200}}+2\pi ^{2}{a_{2}}^{3}{a_{4}}\\[6pt]&{}+{{{a_{2}}{a_{3}}^{2}{a_{4}}} \over {2}}+2\pi ^{2}{{{a_{2}}{a_{3}}^{2}{a_{4}}} \over {3}}+2{{a_{2}}^{2}{a_{4}}^{2}}+\pi ^{2}{{{a_{2}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {6}}+{{{a_{3}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {8}}+\pi ^{2}{{{a_{3}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {40}}+{{{a_{2}}{a_{4}}^{3}} \over {3}}+{{a_{4}}^{4} \over {80}}\end{aligned}}}$

Los momentos para menos términos se incluyen en estas ecuaciones. Por ejemplo, los momentos del metálogo de tres términos se pueden obtener estableciendo en cero. También están disponibles los momentos para metálogos con más términos y los momentos de orden superior ( ). ^[22] Los momentos para metálogos semiacotados y acotados no están disponibles en forma cerrada. ${\displaystyle a_{4}}$ ${\displaystyle m>4}$

Parametrización con momentos

Los metálogos no acotados de tres términos se pueden parametrizar en forma cerrada con sus tres primeros momentos centrales . Sean y la media, la varianza y la asimetría, y sea la asimetría estandarizada, . Las expresiones equivalentes de los momentos en términos de coeficientes y de los coeficientes en términos de momentos son las siguientes: ${\displaystyle m,v,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{s}}$ ${\displaystyle s_{s}=s/v^{3/2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}m=a_{1}+{a_{3} \over 2}&&a_{1}=m-{a_{3} \over 2}\\[6pt]v=\pi ^{2}{{a_{2}}^{2} \over 3}+{{a_{3}}^{2} \over {12}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{2} \over {36}}&&a_{2}={1 \over {\pi }}{\Bigl [}3{\Bigl (}v-{\Bigl (}{1 \over {12}}+{{\pi }^{2} \over {36}}{\Bigr )}{a_{3}}^{2}{\Bigr )}{\Bigr ]}^{1 \over {2}}\\[6pt]s=\pi ^{2}{a_{2}}^{2}{a_{3}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{3} \over {24}}&&a_{3}=4{\Bigl (}{6v \over {6+\pi ^{2}}}{\Bigr )}^{1 \over {2}}\cos {\Bigl [}{1 \over {3}}{\Bigl (}\cos ^{-1}{\Bigl (}-{s_{s} \over {4}}{\Bigl (}1+{{\pi }^{2} \over {6}}{\Bigr )}^{1 \over {2}}{\Bigr )}+4\pi {\Bigr )}{\Bigr ]}\\[6pt]\end{array}}}$

La equivalencia de estos dos conjuntos de expresiones se puede derivar observando que las ecuaciones de momentos de la izquierda determinan un polinomio cúbico en términos de los coeficientes y , que se pueden resolver en forma cerrada como funciones de y . Además, esta solución es única. ^[23] En términos de momentos, la condición de factibilidad es , que se puede demostrar que es equivalente a la siguiente condición de factibilidad en términos de los coeficientes: ; y . ^[23] ${\displaystyle a_{1},a_{2},}$ ${\displaystyle a_{3}}$ ${\displaystyle m,v,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s_{s}|\leq 2.07093}$ ${\displaystyle a_{2}>0}$ ${\displaystyle {|a_{3}|/a_{2}}<1.66711}$

Esta propiedad se puede utilizar, por ejemplo, para representar la suma de variables aleatorias independientes distribuidas de forma no idéntica . Con base en los cumulantes , se sabe que para cualquier conjunto de variables aleatorias independientes, la media, la varianza y la asimetría de la suma son las sumas de las respectivas medias, varianzas y asimetrías. La parametrización de un metálogo de tres términos con estos momentos centrales produce una distribución continua que conserva exactamente estos tres momentos y, en consecuencia, proporciona una aproximación razonable a la forma de la distribución de la suma de variables aleatorias independientes.

Simulación

Dado que sus funciones cuantiles se expresan en forma cerrada, los metalogs facilitan la simulación de Monte Carlo . La sustitución de muestras aleatorias uniformemente distribuidas de en la función cuantil de Metalog (FDC inversa) produce muestras aleatorias de en forma cerrada, eliminando así la necesidad de invertir una FDC. Consulte a continuación las aplicaciones de simulación. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Obtención y combinación de opiniones de expertos

Debido a su flexibilidad de forma, las distribuciones de metalog pueden ser una opción atractiva para obtener y representar la opinión de expertos. ^[24] Además, si las opiniones de múltiples expertos se expresan como metalogs de término, la opinión de consenso puede calcularse como un metalog de término en forma cerrada, donde los coeficientes del metalog de consenso son simplemente un promedio ponderado de los de los expertos individuales. ^[17] Este resultado se desprende de la Vincentización , donde la función cuantil de consenso es un promedio ponderado de las funciones cuantiles individuales. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

Actualización bayesiana en forma cerrada

En un artículo clásico, Howard (1970) ^[25] muestra cómo la distribución beta-binomial puede utilizarse para actualizar, según la regla de Bayes en forma cerrada, la incertidumbre sobre la frecuencia a largo plazo de un lanzamiento de moneda que dé "cara" a la luz de nuevos datos de lanzamientos de moneda. Por el contrario, si la incertidumbre de interés que se va a actualizar no está definida por una probabilidad escalar sobre un evento discreto (como el resultado de un lanzamiento de moneda) sino por una función de densidad de probabilidad sobre una variable continua, se puede utilizar la actualización bayesiana metalog. Bajo ciertas condiciones, los parámetros y coeficientes cuantiles metalog pueden actualizarse en forma cerrada a la luz de nuevos datos según la regla de Bayes . ^[17] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

Aplicaciones

Para 3.474 truchas arcoíris capturadas y liberadas en el río Babine en Columbia Británica durante 2006-2010, los datos de peso empírico (histograma) y la PDF del metalog logarítmico de 10 términos (curva azul) se ajustan a estos datos mediante mínimos cuadrados.

Debido a su forma y flexibilidad de límites, los metálogos se pueden utilizar para representar datos empíricos o de otro tipo en prácticamente cualquier campo del quehacer humano.

• Astronomía . Se aplicaron los metalogs para evaluar los riesgos de impacto de asteroides. ^[26]
• Ciberseguridad . Los metalogs se utilizaron en la evaluación de riesgos de ciberseguridad. ^{[19] [27]}
• Recopilación y combinación de opiniones de expertos . Statistics Canada obtuvo opiniones de expertos sobre las tasas de fertilidad futuras de Canadá de 18 expertos, lo que incluyó el uso de retroalimentación en formato PDF en tiempo real basada en hojas de cálculo basadas en metálogos de cinco períodos. Las opiniones de los expertos individuales se ponderaron y se combinaron para formar un pronóstico general basado en metálogos. ^[24]
• Exploración y visualización de datos empíricos . En biología de peces, se ajustó una distribución de log-metálogos de 10 términos (limitada por debajo en 0) a los pesos de 3.474 truchas arcoíris capturadas y liberadas en el río Babine en Columbia Británica durante 2006-2010. La bimodalidad de la distribución resultante se ha atribuido a la presencia de reproductores tanto desovadores primerizos como desovadores repitientes en el río, siendo estos últimos los que tienden a pesar más. ^[28]
• Hidrología . Se utilizó un metálogo semiacotado de 10 términos para modelar la distribución de probabilidad de las alturas anuales de los medidores de los ríos. ^[29]
• Producción de yacimientos petrolíferos . Se utilizaron metálogos SPT semiacotados para analizar los sesgos en las proyecciones de producción de yacimientos petrolíferos en comparación con la producción observada después del hecho. ^[30]
• Gestión de carteras . Los metálogos SPT se han utilizado para modelar el valor comercial de nuevos productos y carteras de productos. ^[31]
• Distribuciones de entrada de simulación . Para respaldar una decisión de licitación, se representó la incertidumbre sobre el valor futuro de cada uno de los 259 activos financieros como un metálogo SPT. Se demostró que una simulación del valor total de la cartera arrojaba resultados más realistas que una simulación correspondiente basada en valores discretos bajos, medianos y altos para cada activo. ^[32]
• Distribuciones de salida de simulación . Los metalogs también se han utilizado para ajustar los datos de salida de las simulaciones con el fin de representar esos resultados como distribuciones continuas de forma cerrada (tanto CDF como PDF). Utilizados de esta manera, suelen ser más estables y suaves que los histogramas. ^[32]
• Sumas de lognormales . Los metalogs permiten una representación en forma cerrada de distribuciones conocidas cuyas CDF no tienen expresión en forma cerrada. Keelin et al. (2019) ^[18] aplican esto a la suma de distribuciones lognormales independientes distribuidas de manera idéntica, donde los cuantiles de la suma se pueden determinar mediante una gran cantidad de simulaciones. Nueve de estos cuantiles se utilizan para parametrizar una distribución metalog semiacotada que recorre exactamente cada uno de estos nueve cuantiles. Los parámetros cuantiles se almacenan en una tabla, que luego se puede interpolar para obtener valores intermedios; se garantiza que estos valores sean factibles mediante la propiedad de convexidad anterior.

Panel Metalog para datos de peso de truchas arcoíris

Elección del número de términos

Para una aplicación y un conjunto de datos determinados, la elección del número de términos de metalog depende del contexto y puede requerir juicio. Para la obtención de expertos, de tres a cinco términos suelen ser suficientes. Para la exploración de datos y la comparación con otras distribuciones de probabilidad, como la suma de lognormales, de ocho a doce términos suelen ser suficientes. Un panel de metalog, que muestra las PDF de metalog correspondientes a diferentes cantidades de términos para un conjunto de datos determinado, puede ayudar a este juicio. Por ejemplo, en el panel de metalog de peso de cabeza de acero, ^[1] el uso de menos de siete términos podría decirse que subajuste los datos al oscurecer la bimodalidad inherente de los datos. El uso de más de 11 términos es innecesario y podría, en principio, sobreajustar los datos. El caso con 16 términos es inviable para este conjunto de datos, como lo indica la celda en blanco en el panel de metalog. Otras herramientas, como la regularización y la selección de modelos ( criterio de información de Akaike y criterio de información bayesiano ) también pueden ser útiles. Por ejemplo, cuando se aplica a los datos de peso de la trucha arcoíris, la clasificación AIC de distribuciones metalog de 2 a 16 términos junto con una amplia gama de distribuciones clásicas identifica el metalog log de 11 términos como el que mejor se ajusta a estos datos. Una clasificación BIC similar identifica el metalog log de 10 términos como el que mejor se ajusta. Keelin (2016) ^[1] ofrece más perspectivas sobre la selección de distribuciones dentro de la familia metalog. ^[33] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Distribuciones relacionadas

Las distribuciones metalog pertenecen al grupo de distribuciones definidas en términos de la función cuantil , que incluyen las distribuciones parametrizadas por cuantiles , la distribución lambda de Tukey , su generalización, GLD, ^[34] la distribución de Govindarajulu ^[35] y otras. ^[13] Las siguientes distribuciones se incluyen dentro de la familia metalog:

• La distribución logística es un caso especial del metalog ilimitado donde para todo . ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i>2}$
• La distribución uniforme es un caso especial de: 1) el metálogo no acotado donde , , y en los demás casos; y 2) el metálogo acotado donde , , , y en los demás casos. ${\displaystyle k\geq 4}$ ${\displaystyle a_{1}=0.5}$ ${\displaystyle a_{4}=1}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle b_{l}=0}$ ${\displaystyle b_{u}=1}$ ${\displaystyle a_{2}=1}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$
• La distribución log-logística , también conocida como distribución de Fisk en economía, es un caso especial de la distribución log-metálica donde , y para todos los . ${\displaystyle b_{l}=0}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i>2}$
• La distribución log-uniforme es un caso especial del log-metálogo donde , , , y en los demás casos. ${\displaystyle k\geq 4}$ ${\displaystyle a_{1}=0.5}$ ${\displaystyle a_{4}=1}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$
• La distribución logit-logística ^[36] es un caso especial de la distribución logit-logística donde para todo . ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i>2}$

Software

Se pueden utilizar herramientas de software disponibles gratuitamente para trabajar con distribuciones de metalog:

• Libros de trabajo de Excel. Al pegar o escribir datos CDF, se muestran instantáneamente los metalogos (con la opción de límites).
  • El libro de trabajo de metalólogos SPT ^[37] calcula metalólogos de 2 a 3 términos determinados por tres datos CDF. ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$
  • El libro de trabajo Metalogs ^[38] calcula de 2 a 16 términos metalogs (incluido el panel metalogs) determinados por 2 a 10 000 datos CDF. ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$
  • Los libros de trabajo de metalog ELD (datos igualmente probables) ^[39] calculan de 2 a 16 metalogs de términos determinados por 2 a 10 000 datos CDF, donde los paneles de metalog y de s se calculan automáticamente. ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle y_{i}}$
• R. rmetalog ^[40] (en Red de Archivos R Completa, CRAN ).
• Python. Pymetalog ^[41] refleja fielmente el paquete R. Metalogistic ^[42] aprovecha la plataforma SciPy .
• MakeDistribution.com ^[43] facilita la experimentación con metalogs parametrizados por varios puntos de datos CDF. La calculadora de metalogs SPT ^[44] , la calculadora de metalogs ^[45] y la calculadora de metalogs ELD ^[46] son ​​versiones en línea de los libros de trabajo de Excel.
• Las herramientas de modelado de SIPmath ^[47] admiten distribuciones de metalog en un complemento de Excel para simulación.
• Software Analytica Free 101 de Lumina ^[48] para modelar y ayudar a tomar decisiones difíciles.
• Metalog Builder de BayesFusion ^[49] permite la creación interactiva de distribuciones de metalog. GeNIe de BayesFusion ^[50] (la versión académica del software es gratuita para la investigación y la enseñanza académicas) implementa las distribuciones de metalog.

Los paquetes disponibles comercialmente también admiten el uso de distribuciones de metalog:

• FrontLine Solvers: Analytic Solver, RASON y Solver SDK, ^[51] software para optimización. Ajusta automáticamente los datos del usuario a la gama completa de distribuciones de metálogos (limitadas e ilimitadas, multitérmino) y brinda la opción de comparar distribuciones de metálogos con distribuciones clásicas según los criterios de bondad de ajuste seleccionados por el usuario.
• Análisis Lone Star: software TruNavigator y AnalyticsOS ^[52] para análisis predictivo y prescriptivo.

Referencias

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Enlaces externos

• El sitio web de Metalog Distributions, www.metalogs.org
• El canal de YouTube de Metalog Distributions, vídeos educativos