Distribución binomial negativa beta

En teoría de la probabilidad , una distribución binomial negativa beta es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta igual al número de fracasos necesarios para obtener éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes . La probabilidad de éxito en cada ensayo se mantiene constante dentro de cualquier experimento dado, pero varía entre diferentes experimentos siguiendo una distribución beta . Por lo tanto, la distribución es una distribución de probabilidad compuesta .   ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$

Esta distribución también se ha denominado distribución inversa de Markov-Pólya y distribución generalizada de Waring ^[1] o simplemente abreviada como distribución BNB . Una forma desplazada de la distribución se ha denominado distribución beta-Pascal ^[1] .

Si los parámetros de la distribución beta son y , y si ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),}$

dónde

${\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}$

Entonces la distribución marginal de (es decir, la distribución predictiva posterior ) es una distribución binomial beta negativa: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta ).}$

En lo anterior, es la distribución binomial negativa y es la distribución beta . ${\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)}$ ${\displaystyle {\textrm {B}}(\alpha ,\beta )}$

Definición y derivación

Denotando las densidades de las distribuciones binomial negativa y beta respectivamente, obtenemos la PMF de la distribución BNB por marginalización: ${\displaystyle f_{X|p}(k|q),f_{p}(q|\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(k|\alpha ,\beta ,r)\;=&\;\int _{0}^{1}f_{X|p}(k|r,q)\cdot f_{p}(q|\alpha ,\beta )\mathrm {d} q\\=&\;\int _{0}^{1}{\binom {k+r-1}{k}}(1-q)^{k}q^{r}\cdot {\frac {q^{\alpha -1}(1-q)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\mathrm {d} q\\=&\;{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\binom {k+r-1}{k}}\int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q\end{aligned}}}$

Observando que la integral se evalúa como:

${\displaystyle \int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q={\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\alpha +\beta +k+r)}}}$

Podemos llegar a las siguientes fórmulas mediante manipulaciones relativamente simples.

Si es un entero, entonces la PMF se puede escribir en términos de la función beta : ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

De manera más general, el PMF se puede escribir

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$

o

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}$.

PMF expresado con Gamma

Utilizando las propiedades de la función Beta , la PMF con número entero se puede reescribir como: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$.

De manera más general, la PMF se puede escribir como

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$.

PMF expresado con el símbolo Pochammer ascendente

El PMF a menudo también se presenta en términos del símbolo Pochammer para números enteros. ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {r^{(k)}\alpha ^{(r)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(r+k)}}}}$

Propiedades

Momentos factoriales

El k - ésimo momento factorial de una variable aleatoria binomial beta negativa X se define para y en este caso es igual a ${\displaystyle k<\alpha }$

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{k}{\bigr ]}={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\beta )}}{\frac {\Gamma (\alpha -k)}{\Gamma (\alpha )}}.}$

No identificable

La binomial beta negativa no es identificable , lo que se puede ver fácilmente simplemente intercambiando y en la función de densidad o característica anterior y notando que no cambia. Por lo tanto, la estimación exige que se coloque una restricción en , o en ambos. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \beta }$

Relación con otras distribuciones

La distribución binomial negativa beta contiene la distribución geométrica beta como un caso especial cuando o . Por lo tanto, puede aproximarse a la distribución geométrica arbitrariamente bien. También se aproxima a la distribución binomial negativa arbitrariamente bien para valores grandes de . Por lo tanto, puede aproximarse a la distribución de Poisson arbitrariamente bien para valores grandes de , y . ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle r}$

Cola pesada

Mediante la aproximación de Stirling a la función beta, se puede demostrar fácilmente que para valores grandes ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)\sim {\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (r)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {k^{r-1}}{(\beta +k)^{r+\alpha }}}}$

lo que implica que la distribución binomial beta negativa tiene cola pesada y que no existen momentos menores o iguales a . ${\displaystyle \alpha }$

Distribución geométrica beta

La distribución geométrica beta es un caso especial importante de la distribución binomial negativa beta que se da para . En este caso, la función de masa de probabilidad se simplifica a ${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} (\alpha +1,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

Esta distribución se utiliza en algunos modelos Buy Till you Die (BTYD).

Además, cuando la beta geométrica se reduce a la distribución de Yule-Simon . Sin embargo, es más común definir la distribución de Yule-Simon en términos de una versión desplazada de la beta geométrica. En particular, si entonces . ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle X\sim BG(\alpha ,1)}$ ${\displaystyle X+1\sim YS(\alpha )}$

Binomio beta negativo como modelo de urna Pólya

En el caso en que los 3 parámetros y sean números enteros positivos, el binomio negativo Beta también puede estar motivado por un modelo de urna - o más específicamente un modelo de urna Pólya básico . Considere una urna que inicialmente contiene bolas rojas (el color de detención) y bolas azules. En cada paso del modelo, se extrae una bola al azar de la urna y se reemplaza, junto con una bola adicional del mismo color. El proceso se repite una y otra vez, hasta que se extraen bolas de color rojo. La variable aleatoria de extracciones observadas de bolas azules se distribuye de acuerdo con a . Nótese que, al final del experimento, la urna siempre contiene el número fijo de bolas rojas mientras que contiene el número aleatorio de bolas azules. ${\displaystyle r,\alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle r+\alpha }$ ${\displaystyle X+\beta }$

Por la propiedad de no identificabilidad, se puede generar de manera equivalente con la urna que inicialmente contiene bolas rojas (el color de detención) y bolas azules y que se detiene cuando se observan bolas rojas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \beta }$

Véase también

• Distribución binomial negativa
• Distribución multinomial negativa de Dirichlet

Notas

1. Johnson y otros (1993)

Referencias

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, AW (1993) Univariate Discrete Distributions , 2.ª edición, Wiley ISBN  0-471-54897-9 (Sección 6.2.3)
• Kemp, CD; Kemp, AW (1956) "Distribuciones hipergeométricas generalizadas" , Journal of the Royal Statistical Society , Serie B, 18, 202–211
• Wang, Zhaoliang (2011) "Una distribución binomial negativa mixta con aplicación", Journal of Statistical Planning and Inference , 141 (3), 1153-1160 doi :10.1016/j.jspi.2010.09.020

Enlaces externos

• Gráfico interactivo: Relaciones de distribución univariadas