Distribución de Skellam

La distribución de Skellam es la distribución de probabilidad discreta de la diferencia de dos variables aleatorias estadísticamente independientes y cada una de ellas distribuida según Poisson con sus respectivos valores esperados y . Es útil para describir las estadísticas de la diferencia de dos imágenes con ruido fotónico simple , así como para describir la distribución de puntos en deportes donde todos los puntos anotados son iguales, como el béisbol , el hockey y el fútbol . ${\displaystyle N_{1}-N_{2}}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2},}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

La distribución también es aplicable a un caso especial de la diferencia de variables aleatorias de Poisson dependientes, pero sólo al caso obvio donde las dos variables tienen una contribución aleatoria aditiva común que se cancela mediante la diferenciación: véase Karlis y Ntzoufras (2003) para obtener detalles y una aplicación.

La función de masa de probabilidad para la distribución de Skellam para una diferencia entre dos variables aleatorias independientes distribuidas por Poisson con medias y está dada por: ${\displaystyle K=N_{1}-N_{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2})=\Pr\{K=k\}=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$

donde I _k ( z ) es la función de Bessel modificada de primera especie. Como k es un entero tenemos que I _k ( z )= I _|k| ( z ).

Derivación

La función de masa de probabilidad de una variable aleatoria distribuida por Poisson con media μ está dada por

${\displaystyle p(k;\mu )={\mu ^{k} \over k!}e^{-\mu }.\,}$

para (y cero en caso contrario). La función de masa de probabilidad de Skellam para la diferencia de dos recuentos independientes es la convolución de dos distribuciones de Poisson: ( Skellam , 1946) ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle K=N_{1}-N_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(k;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }p(k+n;\mu _{1})p(n;\mu _{2})\\&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=\max(0,-k)}^{\infty }{{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}\end{aligned}}}$

Dado que la distribución de Poisson es cero para valores negativos del recuento , la segunda suma solo se toma para aquellos términos donde y . Se puede demostrar que la suma anterior implica que ${\displaystyle (p(N<0;\mu )=0)}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle n+k\geq 0}$

${\displaystyle {\frac {p(k;\mu _{1},\mu _{2})}{p(-k;\mu _{1},\mu _{2})}}=\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k}}$

de modo que:

${\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2})=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{|k|}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$

donde I  _k (z) es la función de Bessel modificada de primera especie. El caso especial para está dado por Irwin (1937): ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}(=\mu )}$

${\displaystyle p\left(k;\mu ,\mu \right)=e^{-2\mu }I_{|k|}(2\mu ).}$

Utilizando los valores límite de la función de Bessel modificada para argumentos pequeños, podemos recuperar la distribución de Poisson como un caso especial de la distribución de Skellam para . ${\displaystyle \mu _{2}=0}$

Propiedades

Como es una función de probabilidad discreta, la función de masa de probabilidad de Skellam está normalizada:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})=1.}$

Sabemos que la función generadora de probabilidad (pgf) para una distribución de Poisson es:

${\displaystyle G\left(t;\mu \right)=e^{\mu (t-1)}.}$

De ello se deduce que la pgf, , para una función de masa de probabilidad de Skellam será: ${\displaystyle G(t;\mu _{1},\mu _{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(t;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k}\\[4pt]&=G\left(t;\mu _{1}\right)G\left(1/t;\mu _{2}\right)\\[4pt]&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.\end{aligned}}}$

Obsérvese que la forma de la función generadora de probabilidad implica que la distribución de las sumas o las diferencias de cualquier número de variables independientes distribuidas según Skellam también se distribuyen según Skellam. A veces se afirma que cualquier combinación lineal de dos variables distribuidas según Skellam también se distribuye según Skellam, pero esto claramente no es cierto, ya que cualquier multiplicador distinto de este cambiaría el soporte de la distribución y alteraría el patrón de momentos de una manera que ninguna distribución de Skellam puede satisfacer. ${\displaystyle \pm 1}$

La función generadora de momentos viene dada por:

${\displaystyle M\left(t;\mu _{1},\mu _{2}\right)=G(e^{t};\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,m_{k}}$

que da como resultado los momentos brutos m _k  . Definir:

${\displaystyle \Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{1}-\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\mu _{1}+\mu _{2})/2.\,}$

Entonces los momentos crudos m _k son

${\displaystyle m_{1}=\left.\Delta \right.\,}$

${\displaystyle m_{2}=\left.2\mu +\Delta ^{2}\right.\,}$

${\displaystyle m_{3}=\left.\Delta (1+6\mu +\Delta ^{2})\right.\,}$

Los momentos centrales M _k son

${\displaystyle M_{2}=\left.2\mu \right.,\,}$

${\displaystyle M_{3}=\left.\Delta \right.,\,}$

${\displaystyle M_{4}=\left.2\mu +12\mu ^{2}\right..\,}$

La media , la varianza , la asimetría y el exceso de curtosis son respectivamente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (n)&=\Delta ,\\[4pt]\sigma ^{2}&=2\mu ,\\[4pt]\gamma _{1}&=\Delta /(2\mu )^{3/2},\\[4pt]\gamma _{2}&=1/2.\end{aligned}}}$

La función generadora de cumulantes viene dada por:

${\displaystyle K(t;\mu _{1},\mu _{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu _{1},\mu _{2}))=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,\kappa _{k}}$

Lo que produce los cumulantes :

${\displaystyle \kappa _{2k}=\left.2\mu \right.}$

${\displaystyle \kappa _{2k+1}=\left.\Delta \right..}$

Para el caso especial cuando μ ₁ = μ ₂ , una expansión asintótica de la función de Bessel modificada del primer tipo produce para μ grande:

${\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {1 \over {\sqrt {4\pi \mu }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\{4k^{2}-1^{2}\}\{4k^{2}-3^{2}\}\cdots \{4k^{2}-(2n-1)^{2}\} \over n!\,2^{3n}\,(2\mu )^{n}}\right].}$

(Abramowitz y Stegun 1972, p. 377). Además, para este caso especial, cuando k también es grande y del orden de la raíz cuadrada de 2μ, la distribución tiende a una distribución normal :

${\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {e^{-k^{2}/4\mu } \over {\sqrt {4\pi \mu }}}.}$

Estos resultados especiales pueden extenderse fácilmente al caso más general de medias diferentes.

Límites de peso por encima de cero

Si , con , entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Skellam} (\mu _{1},\mu _{2})}$ ${\displaystyle \mu _{1}<\mu _{2}}$

${\displaystyle {\frac {\exp(-({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}})^{2})}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{4\mu _{1}\mu _{2}}}\leq \Pr\{X\geq 0\}\leq \exp(-({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}})^{2})}$

Los detalles se pueden encontrar en la distribución de Poisson#Razas de Poisson

Referencias

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (junio de 1965). Handbook of mathematics functions with formulas, graphs, and mathematics tables (Republicación íntegra y sin modificaciones [der Ausg.] 1964, 5.ª edición de Dover). Dover Publications. págs. 374–378. ISBN 0486612724. Recuperado el 27 de septiembre de 2012 .
• Irwin, JO (1937) "La distribución de frecuencia de la diferencia entre dos variables independientes que siguen la misma distribución de Poisson". Journal of the Royal Statistical Society : Series A , 100 (3), 415–416. JSTOR  2980526
• Karlis, D. y Ntzoufras, I. (2003) "Análisis de datos deportivos utilizando modelos de Poisson bivariados". Journal of the Royal Statistical Society, Serie D , 52 (3), 381–393. doi :10.1111/1467-9884.00366
• Karlis D. y Ntzoufras I. (2006). Análisis bayesiano de las diferencias de datos de recuento. Statistics in Medicine , 25, 1885–1905. [1]
• Skellam, JG (1946) "La distribución de frecuencias de la diferencia entre dos variables de Poisson pertenecientes a diferentes poblaciones". Journal of the Royal Statistical Society, Serie A , 109 (3), 296. JSTOR  2981372

Véase también

• Distribución de proporciones para distribuciones de Poisson (truncadas)