Distribución de Laplace asimétrica envuelta

En teoría de probabilidad y estadística direccional , una distribución de Laplace asimétrica envuelta es una distribución de probabilidad envuelta que resulta de la "envoltura" de la distribución de Laplace asimétrica alrededor del círculo unitario . Para el caso simétrico (parámetro de asimetría κ  = 1), la distribución se convierte en una distribución de Laplace envuelta. La distribución de la relación de dos variables circulares ( Z ) de dos distribuciones exponenciales envueltas diferentes tendrá una distribución de Laplace asimétrica envuelta. Estas distribuciones encuentran aplicación en el modelado estocástico de datos financieros.

Definición

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Laplace asimétrica envuelta es: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{WAL}(\theta ;m,\lambda ,\kappa )&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f_{AL}(\theta +2\pi k,m,\lambda ,\kappa )\\[10pt]&={\dfrac {\kappa \lambda }{\kappa ^{2}+1}}{\begin{cases}{\dfrac {e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{1-e^{-2\pi \lambda \kappa }}}-{\dfrac {e^{(\theta -m)\lambda /\kappa }}{1-e^{2\pi \lambda /\kappa }}}&{\text{if }}\theta \geq m\\[12pt]{\dfrac {e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{e^{2\pi \lambda \kappa }-1}}-{\dfrac {e^{(\theta -m)\lambda /\kappa }}{e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1}}&{\text{if }}\theta <m\end{cases}}\end{aligned}}}$

donde es la distribución asimétrica de Laplace . El parámetro angular está restringido a . El parámetro de escala es que es el parámetro de escala de la distribución desenrollada y es el parámetro de asimetría de la distribución desenrollada. ${\displaystyle f_{AL}}$ ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \kappa >0}$

La función de distribución acumulativa es por tanto: ${\displaystyle F_{WAL}}$

${\displaystyle F_{WAL}(\theta ;m,\lambda ,\kappa )={\dfrac {\kappa \lambda }{\kappa ^{2}+1}}{\begin{cases}{\dfrac {e^{m\lambda \kappa }(1-e^{-\theta \lambda \kappa })}{\lambda \kappa (e^{2\pi \lambda \kappa }-1)}}+{\dfrac {\kappa e^{-m\lambda /\kappa }(1-e^{\theta \lambda /\kappa })}{\lambda (e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1)}}&{\text{if }}\theta \leq m\\{\dfrac {1-e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{\lambda \kappa (1-e^{-2\pi \lambda \kappa })}}+{\dfrac {\kappa (1-e^{(\theta -m)\lambda /\kappa })}{\lambda (1-e^{2\pi \lambda /\kappa })}}+{\dfrac {e^{m\lambda \kappa }-1}{\lambda \kappa (e^{2\pi \lambda \kappa }-1)}}+{\dfrac {\kappa (e^{-m\lambda /\kappa }-1)}{\lambda (e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1)}}&{\text{if }}\theta >m\end{cases}}}$

Función característica

La función característica de la función de Laplace asimétrica envuelta es simplemente la función característica de la función de Laplace asimétrica evaluada en argumentos enteros:

${\displaystyle \varphi _{n}(m,\lambda ,\kappa )={\frac {\lambda ^{2}e^{imn}}{\left(n-i\lambda /\kappa \right)\left(n+i\lambda \kappa \right)}}}$

lo que produce una expresión alternativa para la función de densidad de probabilidad de Laplace asimétrica envuelta en términos de la variable circular z=e ^i(θ-m) válida para todos los θ y m reales :

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{WAL}(z;m,\lambda ,\kappa )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\varphi _{n}(0,\lambda ,\kappa )z^{-n}\\[10pt]&={\frac {\lambda }{\pi (\kappa +1/\kappa )}}{\begin{cases}{\textrm {Im}}\left(\Phi (z,1,-i\lambda \kappa )-\Phi \left(z,1,i\lambda /\kappa \right)\right)-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]\coth(\pi \lambda \kappa )+\coth(\pi \lambda /\kappa )&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}}$

donde es la función trascendente de Lerch y coth() es la función cotangente hiperbólica . ${\displaystyle \Phi ()}$

Momentos circulares

En términos de la variable circular, los momentos circulares de la distribución de Laplace asimétrica envuelta son la función característica de la distribución de Laplace asimétrica evaluada en argumentos enteros: ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\varphi _{n}(m,\lambda ,\kappa )}$

El primer momento es entonces el valor promedio de z , también conocido como resultante media o vector resultante media:

${\displaystyle \langle z\rangle ={\frac {\lambda ^{2}e^{im}}{\left(1-i\lambda /\kappa \right)\left(1+i\lambda \kappa \right)}}}$

El ángulo medio es ${\displaystyle (-\pi \leq \langle \theta \rangle \leq \pi )}$

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\arg(\,\langle z\rangle \,)=\arg(e^{im})}$

y la longitud de la resultante media es

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |={\frac {\lambda ^{2}}{\sqrt {\left({\frac {1}{\kappa ^{2}}}+\lambda ^{2}\right)\left(\kappa ^{2}+\lambda ^{2}\right)}}}.}$

La varianza circular es entonces 1 −  R

Generación de variables aleatorias

Si X es una variable aleatoria extraída de una distribución de Laplace asimétrica (ALD), entonces será una variable circular extraída de la ALD envuelta, y será una variable angular extraída de la ALD envuelta con . ${\displaystyle Z=e^{iX}}$ ${\displaystyle \theta =\arg(Z)+\pi }$ ${\displaystyle 0<\theta \leq 2\pi }$

Dado que la ALD es la distribución de la diferencia de dos variables extraídas de la distribución exponencial , se deduce que si Z ₁ se extrae de una distribución exponencial envuelta con media m ₁ y tasa λ/κ y Z ₂ se extrae de una distribución exponencial envuelta con media m ₂ y tasa λκ , entonces Z ₁ / Z ₂ será una variable circular extraída de la ALD envuelta con parámetros ( m ₁ - m ₂ , λ, κ) y será una variable angular extraída de esa ALD envuelta con . ${\displaystyle \theta =\arg(Z_{1}/Z_{2})+\pi }$ ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$

Véase también

• Distribución envuelta
• Estadísticas direccionales

Referencias

1. Jammalamadaka, S. Rao; Kozubowski, Tomasz J. (2004). "Nuevas familias de distribuciones envueltas para modelar datos circulares sesgados" (PDF) . Communications in Statistics – Theory and Methods . 33 (9): 2059–2074. doi :10.1081/STA-200026570 . Consultado el 13 de junio de 2011 .