Distribución binomial beta negativa

En teoría de la probabilidad , una distribución binomial beta negativa es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta igual al número de fracasos necesarios para obtener éxitos en una secuencia de ensayos independientes de Bernoulli . La probabilidad de éxito en cada prueba permanece constante dentro de cualquier experimento determinado, pero varía entre los diferentes experimentos siguiendo una distribución beta . Por tanto, la distribución es una distribución de probabilidad compuesta .   ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$

Esta distribución también se ha denominado distribución inversa de Markov-Pólya y distribución de Waring generalizada ^[1] o simplemente abreviada como distribución BNB . Una forma desplazada de la distribución se ha denominado distribución beta-Pascal . ^[1]

Si los parámetros de la distribución beta son y , y si ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),}$

dónde

${\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}$

entonces la distribución marginal de es una distribución binomial beta negativa: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta ).}$

En lo anterior, es la distribución binomial negativa y es la distribución beta . ${\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)}$ ${\displaystyle {\textrm {B}}(\alpha ,\beta )}$

Definición y derivación

Al denotar las densidades de las distribuciones binomial negativa y beta respectivamente, obtenemos la PMF de la distribución BNB por marginalización: ${\displaystyle f_{X|p}(k|q),f_{p}(q|\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)=\int _{0}^{1}f_{X|p}(k|r,q)\cdot f_{p}(q|\alpha ,\beta )\mathrm {d} q=\int _{0}^{1}{\binom {k+r-1}{k}}(1-q)^{k}q^{r}\cdot {\frac {q^{\alpha -1}(1-q)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\mathrm {d} q={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\binom {k+r-1}{k}}\int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q}$

Teniendo en cuenta que la integral se evalúa como:

${\displaystyle \int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q={\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\alpha +\beta +k+r)}}}$

Podemos llegar a las siguientes fórmulas mediante manipulaciones relativamente simples.

Si es un número entero, entonces el PMF se puede escribir en términos de la función beta : ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

De manera más general, el PMF se puede escribir

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$

o

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}$.

PMF expresado con Gamma

Usando las propiedades de la función Beta , el PMF con número entero se puede reescribir como: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$.

De manera más general, el PMF se puede escribir como

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$.

PMF expresado con el símbolo ascendente de Pochammer

El PMF a menudo también se presenta en términos del símbolo Pochammer para números enteros. ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {r^{(k)}\alpha ^{(r)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(r+k)}}}}$

Propiedades

Momentos factoriales

El k -ésimo momento factorial de una variable aleatoria binomial beta negativa X está definido para y en este caso es igual a ${\displaystyle k<\alpha }$

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{k}{\bigr ]}={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\beta )}}{\frac {\Gamma (\alpha -k)}{\Gamma (\alpha )}}.}$

No identificable

El binomio beta negativo no es identificable , lo que se puede ver fácilmente simplemente intercambiando y en la densidad o función característica anterior y observando que no ha cambiado. Por lo tanto, la estimación exige que se imponga una restricción a , o a ambos. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \beta }$

Relación con otras distribuciones

La distribución binomial beta negativa contiene la distribución geométrica beta como un caso especial cuando o . Por tanto, puede aproximarse arbitrariamente bien a la distribución geométrica . También se aproxima bien a la distribución binomial negativa para grandes . Por lo tanto, puede aproximarse arbitrariamente bien a la distribución de Poisson para , y . ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle r}$

cola pesada

Mediante la aproximación de Stirling a la función beta, se puede demostrar fácilmente que para grandes ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)\sim {\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (r)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {k^{r-1}}{(\beta +k)^{r+\alpha }}}}$

lo que implica que la distribución binomial beta negativa tiene colas pesadas y que no existen momentos menores o iguales . ${\displaystyle \alpha }$

Distribución geométrica beta

La distribución geométrica beta es un caso especial importante de la distribución binomial beta negativa que ocurre para . En este caso, la pmf se simplifica a ${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} (\alpha +1,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

Esta distribución se utiliza en algunos modelos Buy Till you Die (BTYD).

Además, cuando la beta geométrica se reduce a la distribución de Yule-Simon . Sin embargo, es más común definir la distribución de Yule-Simon en términos de una versión desplazada de la beta geométrica. En particular, si entonces . ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle X\sim BG(\alpha ,1)}$ ${\displaystyle X+1\sim YS(\alpha )}$

Binomio beta negativo como modelo de urna Pólya

En el caso de que los 3 parámetros y sean números enteros positivos, el binomio Beta negativo también puede estar motivado por un modelo de urna , o más específicamente un modelo básico de urna de Pólya . Considere una urna que inicialmente contiene bolas rojas (el color de parada) y bolas azules. En cada paso del modelo, se extrae una bola al azar de la urna y se reemplaza, junto con una bola adicional del mismo color. El proceso se repite una y otra vez, hasta que se extraen bolas de color rojo. La variable aleatoria de los sorteos observados de bolas azules se distribuye según a . Tenga en cuenta que al final del experimento, la urna siempre contiene un número fijo de bolas rojas, mientras que contiene un número aleatorio de bolas azules. ${\displaystyle r,\alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle r+\alpha }$ ${\displaystyle X+\beta }$

Por la propiedad de no identificabilidad, se puede generar de manera equivalente con la urna que inicialmente contiene bolas rojas (el color de parada) y bolas azules y se detiene cuando se observan bolas rojas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \beta }$

Ver también

• Distribución binomial negativa
• Distribución multinomial negativa de Dirichlet

Notas

1. Johnson y col. (1993)

Referencias

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, AW (1993) Distribuciones discretas univariadas , segunda edición, Wiley ISBN  0-471-54897-9 (Sección 6.2.3)
• Kemp, CD; Kemp, AW (1956) "Distribuciones hipergeométricas generalizadas , Journal of the Royal Statistical Society , Serie B, 18, 202-211
• Wang, Zhaoliang (2011) "Una distribución binomial negativa mixta con aplicación", Journal of Statistical Planning and Inference , 141 (3), 1153-1160 doi :10.1016/j.jspi.2010.09.020

enlaces externos

• Gráfico interactivo: Relaciones de distribución univariadas