Distribución beta variable de la matriz

En estadística , la distribución beta de matriz variable es una generalización de la distribución beta . Si es una matriz definida positiva con una distribución beta de matriz variable y son parámetros reales, escribimos (a veces ). La función de densidad de probabilidad para es: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle a,b>(p-1)/2}$ ${\displaystyle U\sim B_{p}\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle B_{p}^{I}\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.}$

Aquí está la función beta multivariante: ${\displaystyle \beta _{p}\left(a,b\right)}$

${\displaystyle \beta _{p}\left(a,b\right)={\frac {\Gamma _{p}\left(a\right)\Gamma _{p}\left(b\right)}{\Gamma _{p}\left(a+b\right)}}}$

¿Dónde está la función gamma multivariante dada por? ${\displaystyle \Gamma _{p}\left(a\right)}$

${\displaystyle \Gamma _{p}\left(a\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{i=1}^{p}\Gamma \left(a-(i-1)/2\right).}$

Teoremas

Distribución de la matriz inversa

Si entonces la densidad de está dada por ${\displaystyle U\sim B_{p}(a,b)}$ ${\displaystyle X=U^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\beta _{p}\left(a,b\right)}}\det(X)^{-(a+b)}\det \left(X-I_{p}\right)^{b-(p+1)/2}}$

siempre que y . ${\displaystyle X>I_{p}}$ ${\displaystyle a,b>(p-1)/2}$

Transformada ortogonal

Si y es una matriz ortogonal constante , entonces ${\displaystyle U\sim B_{p}(a,b)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle HUH^{T}\sim B(a,b).}$

Además, si es una matriz ortogonal aleatoria que es independiente de , entonces , se distribuye independientemente de . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle HUH^{T}\sim B_{p}(a,b)}$ ${\displaystyle H}$

Si es cualquier constante , matriz de rango , entonces tiene una distribución beta variable de matriz generalizada, específicamente . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle q\times p}$ ${\displaystyle q\leq p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle AUA^{T}}$ ${\displaystyle AUA^{T}\sim GB_{q}\left(a,b;AA^{T},0\right)}$

Resultados de la matriz particionada

Si y particionado como ${\displaystyle U\sim B_{p}\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\U_{21}&U_{22}\end{bmatrix}}}$

donde es y es , entonces definir el complemento de Schur como da los siguientes resultados: ${\displaystyle U_{11}}$ ${\displaystyle p_{1}\times p_{1}}$ ${\displaystyle U_{22}}$ ${\displaystyle p_{2}\times p_{2}}$ ${\displaystyle U_{22\cdot 1}}$ ${\displaystyle U_{22}-U_{21}{U_{11}}^{-1}U_{12}}$

• ${\displaystyle U_{11}}$es independiente de ${\displaystyle U_{22\cdot 1}}$
• ${\displaystyle U_{11}\sim B_{p_{1}}\left(a,b\right)}$
• ${\displaystyle U_{22\cdot 1}\sim B_{p_{2}}\left(a-p_{1}/2,b\right)}$
• ${\displaystyle U_{21}\mid U_{11},U_{22\cdot 1}}$tiene una distribución t variable de matriz invertida, específicamente ${\displaystyle U_{21}\mid U_{11},U_{22\cdot 1}\sim IT_{p_{2},p_{1}}\left(2b-p+1,0,I_{p_{2}}-U_{22\cdot 1},U_{11}(I_{p_{1}}-U_{11})\right).}$

Resultados de Wishart

Mitra demuestra el siguiente teorema que ilustra una propiedad útil de la distribución beta variable de la matriz. Supongamos que son matrices Wishart independientes . Supongamos que es definida positiva y que . Si ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle S_{1}\sim W_{p}(n_{1},\Sigma ),S_{2}\sim W_{p}(n_{2},\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n_{1}+n_{2}\geq p}$

${\displaystyle U=S^{-1/2}S_{1}\left(S^{-1/2}\right)^{T},}$

donde , entonces tiene una distribución beta variable de matriz . En particular, es independiente de . ${\displaystyle S=S_{1}+S_{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B_{p}(n_{1}/2,n_{2}/2)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Véase también

• Distribución de Dirichlet con matriz variable

Referencias

• Gupta, AK; Nagar, DK (1999). Distribuciones de variables matriciales . Chapman y Hall. ISBN 1-58488-046-5.
• Mitra, SK (1970). "Un enfoque sin densidad para la distribución beta de la matriz variable". The Indian Journal of Statistics . Serie A (1961–2002). 32 (1): 81–88. JSTOR  25049638.