Distribución de Dirichlet con matriz variable

En estadística , la distribución de Dirichlet matricial variable es una generalización de la distribución beta matricial variable y de la distribución de Dirichlet .

Supongamos que son matrices definidas positivas con también definidas positivas, donde es la matriz identidad . Entonces decimos que tienen una distribución de Dirichlet matricial variable, , si su función de densidad de probabilidad conjunta es ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{r}}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}}$ ${\displaystyle I_{p}}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r};a_{r+1}\right)}$

${\displaystyle \left\{\beta _{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r},a_{r+1}\right)\right\}^{-1}\prod _{i=1}^{r}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}\right)^{a_{r+1}-(p+1)/2}}$

donde y es la función beta multivariada. ${\displaystyle a_{i}>(p-1)/2,i=1,\ldots ,r+1}$ ${\displaystyle \beta _{p}\left(\cdots \right)}$

Si escribimos entonces el PDF toma la forma más simple ${\displaystyle U_{r+1}=I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}}$

${\displaystyle \left\{\beta _{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)\right\}^{-1}\prod _{i=1}^{r+1}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2},}$

en el entendido de que . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r+1}U_{i}=I_{p}}$

Teoremas

Generalización del resultado de chi cuadrado-Dirichlet

Supongamos que son matrices definidas positivas de Wishart distribuidas independientemente . Entonces, definiendo (donde es la suma de las matrices y es cualquier factorización razonable de ), tenemos ${\displaystyle S_{i}\sim W_{p}\left(n_{i},\Sigma \right),i=1,\ldots ,r+1}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle U_{i}=S^{-1/2}S_{i}\left(S^{-1/2}\right)^{T}}$ ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{r+1}S_{i}}$ ${\displaystyle S^{1/2}\left(S^{-1/2}\right)^{T}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(n_{1}/2,...,n_{r+1}/2\right).}$

Distribución marginal

Si , y si , entonces: ${\displaystyle \left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)}$ ${\displaystyle s\leq r}$

${\displaystyle \left(U_{1},\ldots ,U_{s}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{s},\sum _{i=s+1}^{r+1}a_{i}\right)}$

Distribución condicional

Además, con la misma notación que la anterior, la densidad de se da por ${\displaystyle \left(U_{s+1},\ldots ,U_{r}\right)\left|\left(U_{1},\ldots ,U_{s}\right)\right.}$

${\displaystyle {\frac {\prod _{i=s+1}^{r+1}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2}}{\beta _{p}\left(a_{s+1},\ldots ,a_{r+1}\right)\det \left(I_{p}-\sum _{i=1}^{s}U_{i}\right)^{\sum _{i=s+1}^{r+1}a_{i}-(p+1)/2}}}}$

donde escribimos . ${\displaystyle U_{r+1}=I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}}$

distribución particionada

Supongamos que y es una partición de (es decir, y si ). Entonces, escribiendo y (con ), tenemos: ${\displaystyle \left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)}$ ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{t}}$ ${\displaystyle \left[r+1\right]=\left\{1,\ldots r+1\right\}}$ ${\displaystyle \cup _{i=1}^{t}S_{i}=\left[r+1\right]}$ ${\displaystyle S_{i}\cap S_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle U_{(j)}=\sum _{i\in S_{j}}U_{i}}$ ${\displaystyle a_{(j)}=\sum _{i\in S_{j}}a_{i}}$ ${\displaystyle U_{r+1}=I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{r}}$

${\displaystyle \left(U_{(1)},\ldots U_{(t)}\right)\sim D_{p}\left(a_{(1)},\ldots ,a_{(t)}\right).}$

particiones

Supongamos . Definir ${\displaystyle \left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)}$

${\displaystyle U_{i}=\left({\begin{array}{rr}U_{11(i)}&U_{12(i)}\\U_{21(i)}&U_{22(i)}\end{array}}\right)\qquad i=1,\ldots ,r}$

donde es y es . Escribiendo el complemento de Schur tenemos ${\displaystyle U_{11(i)}}$ ${\displaystyle p_{1}\times p_{1}}$ ${\displaystyle U_{22(i)}}$ ${\displaystyle p_{2}\times p_{2}}$ ${\displaystyle U_{22\cdot 1(i)}=U_{21(i)}U_{11(i)}^{-1}U_{12(i)}}$

${\displaystyle \left(U_{11(1)},\ldots ,U_{11(r)}\right)\sim D_{p_{1}}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)}$

y

${\displaystyle \left(U_{22.1(1)},\ldots ,U_{22.1(r)}\right)\sim D_{p_{2}}\left(a_{1}-p_{1}/2,\ldots ,a_{r}-p_{1}/2,a_{r+1}-p_{1}/2+p_{1}r/2\right).}$

Véase también

• Distribución de Dirichlet inversa

Referencias

AK Gupta y DK Nagar 1999. "Distribuciones de variables matriciales". Chapman y Hall.