Par de Cartan

Condición técnica sobre la relación entre un álgebra de Lie reductiva y una subálgebra

En los campos matemáticos de la teoría de Lie y la topología algebraica , la noción de par de Cartan es una condición técnica sobre la relación entre un álgebra de Lie reductiva y una subálgebra reductiva en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Se dice que un par reductivo es de Cartan si la cohomología del álgebra de Lie relativa ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$

${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$

es isomorfo al producto tensorial del subálgebra característica

${\displaystyle \mathrm {im} {\big (}S({\mathfrak {k}}^{*})\to H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}}){\big )}}$

y una subálgebra exterior de , donde ${\displaystyle \bigwedge {\hat {P}}}$ ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}})}$

• ${\displaystyle {\hat {P}}}$, el subespacio de Samelson , son aquellos elementos primitivos en el núcleo de la composición , ${\displaystyle P{\overset {\tau }{\to }}S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})}$
• ${\displaystyle P}$es el subespacio primitivo de , ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}})}$
• ${\displaystyle \tau }$es la transgresión ,
• y el mapa de álgebras simétricas es inducido por el mapa de restricción de espacios vectoriales duales . ${\displaystyle S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {k}}^{*}}$

A nivel de grupos de Lie , si G es un grupo de Lie compacto y conexo y K un subgrupo cerrado y conexo, existen haces de fibras naturales

${\displaystyle G\to G_{K}\to BK}$,

donde es el cociente de homotopía , aquí la homotopía es equivalente al cociente regular, y ${\displaystyle G_{K}:=(EK\times G)/K\simeq G/K}$

${\displaystyle G/K{\overset {\chi }{\to }}BK{\overset {r}{\to }}BG}$.

Entonces el álgebra característica es la imagen de , la transgresión del subespacio primitivo P de es la que surge de las aplicaciones de aristas en la secuencia espectral de Serre del fibrado universal , y el subespacio de es el núcleo de . ${\displaystyle \chi ^{*}\colon H^{*}(BK)\to H^{*}(G/K)}$ ${\displaystyle \tau \colon P\to H^{*}(BG)}$ ${\displaystyle H^{*}(G)}$ ${\displaystyle G\to EG\to BG}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle H^{*}(G/K)}$ ${\displaystyle r^{*}\circ \tau }$

Referencias

• Greub, Werner; Halperin, Stephen; Vanstone, Ray (1976). "10. Subálgebras §4 Pares de Cartan". Cohomología de haces principales y espacios homogéneos . Conexiones, curvatura y cohomología. Vol. 3. Academic Press. págs. 431–5. ISBN 978-0-08-087927-7.