Medida de distancia

Definiciones de distancia entre dos objetos o eventos en el universo

Las medidas de distancia se utilizan en cosmología física para dar una noción natural de la distancia entre dos objetos o eventos en el universo . A menudo se utilizan para vincular alguna cantidad observable (como la luminosidad de un quásar distante , el corrimiento al rojo de una galaxia distante o el tamaño angular de los picos acústicos en el espectro de potencia del fondo cósmico de microondas (CMB)) con otra cantidad que es no es directamente observable, pero es más conveniente para cálculos (como las coordenadas comoving del cuásar, galaxia, etc.). Todas las medidas de distancia analizadas aquí se reducen a la noción común de distancia euclidiana con un desplazamiento al rojo bajo.

De acuerdo con nuestra comprensión actual de la cosmología, estas medidas se calculan dentro del contexto de la relatividad general , donde se utiliza la solución de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker para describir el universo.

Descripción general

Existen algunas definiciones diferentes de "distancia" en cosmología, todas las cuales son asintóticas entre sí para pequeños corrimientos al rojo . Las expresiones para estas distancias son más prácticas cuando se escriben como funciones del corrimiento al rojo , ya que el corrimiento al rojo es siempre lo observable. También se pueden escribir como funciones del factor de escala. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a=1/(1+z).}$

En el resto de este artículo, se supone que la velocidad peculiar es insignificante a menos que se especifique lo contrario.

Primero damos fórmulas para varias medidas de distancia y luego las describimos con más detalle más adelante. Definiendo la "distancia de Hubble" como

$${\displaystyle d_{H}={\frac {c}{H_{0}}}\approx 3000h^{-1}{\text{Mpc}}\approx 9.26\cdot 10^{25}h^{-1}{\text{m}}}$$

velocidad de la luzhconstante de Hubble adimensionalz ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle z\cdot d_{H}}$

Según las ecuaciones de Friedmann , también definimos un parámetro de Hubble adimensional : ^[1]

$${\displaystyle E(z)={\frac {H(z)}{H_{0}}}={\sqrt {\Omega _{r}(1+z)^{4}+\Omega _{m}(1+z)^{3}+\Omega _{k}(1+z)^{2}+\Omega _{\Lambda }}}}$$

Aquí, y son valores normalizados de la actual densidad de energía de radiación, densidad de materia y " densidad de energía oscura ", respectivamente (esta última representa la constante cosmológica ), y determina la curvatura. El parámetro de Hubble para un corrimiento al rojo dado es entonces . ${\displaystyle \Omega _{r},\Omega _{m},}$ ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$ ${\displaystyle \Omega _{k}=1-\Omega _{r}-\Omega _{m}-\Omega _{\Lambda }}$ ${\displaystyle H(z)=H_{0}E(z)}$

La fórmula para la distancia comoving, que sirve como base para la mayoría de las otras fórmulas, implica una integral . Aunque para algunas opciones limitadas de parámetros (ver más abajo) la integral de distancia comoving tiene una forma analítica cerrada, en general (y específicamente para los parámetros de nuestro universo ) solo podemos encontrar una solución numéricamente . Los cosmólogos suelen utilizar las siguientes medidas para las distancias entre el observador y un objeto con corrimiento al rojo a lo largo de la línea de visión (LOS): ^[2] ${\displaystyle z}$

• Distancia de desplazamiento:
  $${\displaystyle d_{C}(z)=d_{H}\int _{0}^{z}{\frac {dz'}{E(z')}}}$$
• Distancia de comovimiento transversal:
  $${\displaystyle d_{M}(z)={\begin{cases}{\frac {d_{H}}{\sqrt {\Omega _{k}}}}\sinh \left({\frac {{\sqrt {\Omega _{k}}}d_{C}(z)}{d_{H}}}\right)&\Omega _{k}>0\\d_{C}(z)&\Omega _{k}=0\\{\frac {d_{H}}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}}\sin \left({\frac {{\sqrt {|\Omega _{k}|}}d_{C}(z)}{d_{H}}}\right)&\Omega _{k}<0\end{cases}}}$$
• Distancia del diámetro angular:
  $${\displaystyle d_{A}(z)={\frac {d_{M}(z)}{1+z}}}$$
• Distancia de luminosidad:
  $${\displaystyle d_{L}(z)=(1+z)d_{M}(z)}$$
• Distancia de viaje de la luz:
  $${\displaystyle d_{T}(z)=d_{H}\int _{0}^{z}{\frac {dz'}{(1+z')E(z')}}}$$

Una comparación de medidas de distancia cosmológica, desde un corrimiento al rojo cero hasta un corrimiento al rojo de 0,5. La cosmología de fondo es el parámetro de Hubble 72 km/s/Mpc, , , y elegido de modo que la suma de los parámetros Omega sea 1. Edwin Hubble hizo uso de galaxias con un corrimiento al rojo de un poco más de 0,003 ( Messier 60 ). ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0.732}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {matter}}=0.266}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {radiation}}=0.266/3454}$ ${\displaystyle \Omega _{k}}$

Una comparación de medidas de distancia cosmológica, desde el corrimiento al rojo cero al corrimiento al rojo de 10.000, correspondiente a la época de igualdad materia/radiación. La cosmología de fondo es el parámetro de Hubble 72 km/s/Mpc, , , y elegido de modo que la suma de los parámetros Omega sea uno. ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0.732}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {matter}}=0.266}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {radiation}}=0.266/3454}$ ${\displaystyle \Omega _{k}}$

Terminología alternativa

Peebles llama a la distancia de movimiento transversal la "distancia de tamaño angular", que no debe confundirse con la distancia de diámetro angular. ^[1] Ocasionalmente, los símbolos o se utilizan para indicar tanto la distancia comoving como el diámetro angular. A veces, la distancia que recorre la luz también se denomina "distancia retrospectiva" y/o "tiempo retrospectivo". ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle r}$

Detalles

velocidad peculiar

En observaciones reales, el movimiento de la Tierra con respecto al flujo de Hubble tiene un efecto sobre el corrimiento al rojo observado. ^{[ cita necesaria ]}

En realidad, existen dos nociones de corrimiento al rojo. Uno es el corrimiento al rojo que se observaría si tanto la Tierra como el objeto no se movieran con respecto al entorno "en movimiento" (el flujo de Hubble ), definido por el fondo cósmico de microondas. El otro es el corrimiento al rojo real medido, que depende tanto de la velocidad peculiar del objeto observado como de su velocidad peculiar. Dado que el Sistema Solar se mueve a unos 370 km/s en una dirección entre Leo y el Cráter , esto disminuye para los objetos distantes en esa dirección en un factor de aproximadamente 1,0012 y lo aumenta en el mismo factor para los objetos distantes en la dirección opuesta. (La velocidad del movimiento de la Tierra alrededor del Sol es de sólo 30 km/s.) ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle 1+z}$

Distancia de comoving

La distancia comoving entre observadores fundamentales, es decir, observadores que se mueven con el flujo de Hubble , no cambia con el tiempo, ya que la distancia comoving explica la expansión del universo. La distancia comoving se obtiene integrando las distancias adecuadas de los observadores fundamentales cercanos a lo largo de la línea de visión ( LOS ), mientras que la distancia adecuada es la que arrojaría una medición en tiempo cósmico constante. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle d_{C}}$

En cosmología estándar , la distancia comoving y la distancia adecuada son dos medidas de distancia estrechamente relacionadas utilizadas por los cosmólogos para medir distancias entre objetos; la distancia de comoving es la distancia adecuada en el momento actual. ^{[ cita necesaria ]}

La distancia comoviente (con una pequeña corrección por nuestro propio movimiento) es la distancia que se obtendría a partir del paralaje, porque el paralaje en grados equivale a la relación entre una unidad astronómica y la circunferencia de un círculo que en este momento pasa por el sol y centrado en el objeto distante, multiplicado por 360°. Sin embargo, los objetos más allá de un megaparsec tienen un paralaje demasiado pequeño para ser medido (el telescopio espacial Gaia mide el paralaje de las estrellas más brillantes con una precisión de 7 microarcosegundos), por lo que el paralaje de las galaxias fuera de nuestro Grupo Local es demasiado pequeño para ser medido.

Hay una expresión de forma cerrada para la integral en la definición de la distancia comoving si o, sustituyendo el factor de escala por , si . Nuestro universo ahora parece estar representado de cerca por En este caso, tenemos: ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{m}=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1/(1+z)}$ ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0}$ ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{k}=0.}$

$${\displaystyle d_{C}(z)=d_{H}\Omega _{m}^{-1/3}\Omega _{\Lambda }^{-1/6}[f((1+z)(\Omega _{m}/\Omega _{\Lambda })^{1/3})-f((\Omega _{m}/\Omega _{\Lambda })^{1/3})]}$$

$${\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{x}{\frac {dx}{\sqrt {x^{3}+1}}}}$$

La distancia de comovimiento debe calcularse utilizando el valor de z que correspondería si ni el objeto ni nosotros tuviéramos una velocidad peculiar.

Junto con el factor de escala da la distancia adecuada en ese momento:

$${\displaystyle d=ad_{C}}$$

Distancia adecuada

La distancia adecuada corresponde aproximadamente a dónde estaría un objeto distante en un momento específico del tiempo cosmológico , que puede cambiar con el tiempo debido a la expansión del universo . La distancia comoving factoriza la expansión del universo, lo que da una distancia que no cambia en el tiempo debido a la expansión del espacio (aunque esto puede cambiar debido a otros factores locales, como el movimiento de una galaxia dentro de un cúmulo); la distancia de comoving es la distancia adecuada en la actualidad. ^{[ cita necesaria ]}

Distancia de comovimiento transversal

Se dice que dos objetos en movimiento con desplazamiento al rojo constante que están separados por un ángulo en el cielo tienen la distancia , donde la distancia en movimiento transversal se define apropiadamente. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \delta \theta }$ ${\displaystyle \delta \theta d_{M}(z)}$ ${\displaystyle d_{M}}$

Distancia del diámetro angular

Un objeto de tamaño con corrimiento al rojo que parece tener un tamaño angular tiene una distancia de diámetro angular de . Esto se utiliza comúnmente para observar las llamadas reglas estándar , por ejemplo en el contexto de oscilaciones acústicas bariónicas . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \delta \theta }$ ${\displaystyle d_{A}(z)=x/\delta \theta }$

Al tener en cuenta la velocidad peculiar de la Tierra, se debe utilizar el corrimiento al rojo que correspondería en ese caso, pero se debe corregir para el movimiento del sistema solar mediante un factor entre 0,99867 y 1,00133, dependiendo de la dirección. (Si uno comienza a moverse con velocidad v hacia un objeto, a cualquier distancia, el diámetro angular de ese objeto disminuye en un factor de ) ${\displaystyle d_{A}}$ ${\textstyle {\sqrt {(1+v/c)/(1-v/c)}}.}$

Distancia de luminosidad

Si se conoce la luminosidad intrínseca de un objeto distante, podemos calcular su distancia de luminosidad midiendo el flujo y determinar , que resulta ser equivalente a la expresión anterior para . Esta cantidad es importante para mediciones de velas estándar como las supernovas de tipo Ia , que se utilizaron por primera vez para descubrir la aceleración de la expansión del universo . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle d_{L}(z)={\sqrt {L/4\pi S}}}$ ${\displaystyle d_{L}(z)}$

Al tomar en cuenta la velocidad peculiar de la Tierra, se debe usar el corrimiento al rojo que correspondería en ese caso, pero el factor debe usar el corrimiento al rojo medido, y se debe hacer otra corrección para la velocidad peculiar del objeto multiplicando por donde ahora v es el componente de la velocidad peculiar del objeto alejándose de nosotros. De esta manera, la distancia de luminosidad será igual a la distancia del diámetro angular multiplicada por donde z es el corrimiento al rojo medido, de acuerdo con el teorema de reciprocidad de Etherington (ver más abajo). ${\displaystyle d_{M},}$ ${\displaystyle (1+z)}$ ${\textstyle {\sqrt {(1+v/c)/(1-v/c)}},}$ ${\displaystyle (1+z)^{2},}$

Distancia de viaje ligero

(también conocido como "tiempo retrospectivo" o "distancia retrospectiva") ^[3]

Esta distancia es el tiempo que tardó la luz en llegar al observador desde el objeto multiplicado por la velocidad de la luz . Por ejemplo, el radio del universo observable en esta medida de distancia se convierte en la edad del universo multiplicada por la velocidad de la luz (1 año luz/año), lo que resulta ser aproximadamente 13,8 mil millones de años luz. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle d_{T}}$

Existe una solución de forma cerrada de la distancia que recorre la luz si involucra funciones hiperbólicas inversas o (o funciones trigonométricas inversas si la constante cosmológica tiene el otro signo). Si entonces hay una solución cerrada para pero no para ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{m}=0}$ ${\displaystyle {\text{arcosh}}}$ ${\displaystyle {\text{arsinh}}}$ ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{\Lambda }=0}$ ${\displaystyle d_{T}(z)}$ ${\displaystyle z(d_{T}).}$

Tenga en cuenta que la distancia comoving se recupera de la distancia comoving transversal tomando el límite , de modo que las dos medidas de distancia sean equivalentes en un universo plano . ${\displaystyle \Omega _{k}\to 0}$

Hay sitios web para calcular la distancia del viaje de la luz a partir del corrimiento al rojo. ^{[4] [5] [6] [7]}

La edad del universo entonces es , y el tiempo transcurrido desde el corrimiento al rojo hasta ahora es: ${\displaystyle \lim _{z\to \infty }d_{T}(z)/c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t(z)=d_{T}(z)/c.}$

La dualidad de distancia de Etherington

La ecuación de dualidad de distancia de Etherington ^[8] es la relación entre la distancia de luminosidad de velas estándar y la distancia de diámetro angular. Se expresa de la siguiente manera: ${\displaystyle d_{L}=(1+z)^{2}d_{A}}$

Ver también

• portal espacial

• Big Bang
• Comoving y distancias adecuadas.
• ecuaciones de Friedmann
• Pársec
• cosmología física
• Escalera de distancia cósmica
• Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
• escala subatómica

Referencias

1. Peebles, PJE (1993). Principios de cosmología física . Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 310–320. Bibcode : 1993ppc..libro.....P. ISBN 978-0-691-01933-8.
2. David W. Hogg (2000). "Medidas de distancia en cosmología". arXiv : astro-ph/9905116v4 .
3. Personal (2022). "Calculadora de cosmología". Centro Internacional de Investigaciones en Radioastronomía . Consultado el 4 de agosto de 2022 .
4. Personal (2015). "Calculadora cosmológica de UCLA". UCLA . Consultado el 6 de agosto de 2022 .La distancia de viaje de la luz se calculó a partir del valor del corrimiento al rojo utilizando la Calculadora cosmológica de UCLA, con valores de parámetros a partir de 2015: H ₀ = 67,74 y Omega _M = 0,3089 (consulte la Tabla/Planck2015 en " Modelo Lambda-CDM #Parámetros ")
5. Personal (2018). "Calculadora cosmológica de UCLA". UCLA . Consultado el 6 de agosto de 2022 .La distancia de viaje de la luz se calculó a partir del valor del corrimiento al rojo utilizando la Calculadora cosmológica de UCLA, con valores de parámetros a partir de 2018: H ₀ = 67,4 y Omega _M = 0,315 (consulte la Tabla/Planck2018 en " Modelo Lambda-CDM #Parámetros ")
6. Personal (2022). "Calculadora de cosmología ICRAR". Centro Internacional de Investigaciones en Radioastronomía . Consultado el 6 de agosto de 2022 .Calculadora de cosmología ICRAR: establezca H ₀ = 67,4 y Omega _M = 0,315 (consulte la Tabla/Planck2018 en " Modelo Lambda-CDM#Parámetros ")
7. Kempner, Josué (2022). "Calculadora de cosmología KEMPNER". Kempner.net . Consultado el 6 de agosto de 2022 .Calculadora de cosmología KEMP: establezca H ₀ = 67,4, Omega _M = 0,315 y Omega _Λ = 0,6847 (consulte la Tabla/Planck2018 en " Parámetros del modelo Lambda-CDM ")
8. IMH Etherington, “LX. Sobre la definición de distancia en la relatividad general”, Revista Filosófica, vol. 15, pág. 7 (1933), págs. 761-773.

• Scott Dodelson, Cosmología moderna. Prensa académica (2003).

enlaces externos

• 'La Escala de Distancias del Universo' compara diferentes medidas de distancia cosmológicas.
• 'Medidas de distancia en cosmología' explica en detalle cómo calcular las diferentes medidas de distancia en función del modelo mundial y el corrimiento al rojo.
• iCosmos: Calculadora de cosmología (con generación de gráficos) calcula las diferentes medidas de distancia en función del modelo cosmológico y el corrimiento al rojo, y genera gráficos para el modelo de corrimiento al rojo de 0 a 20.