Alcance de un proyectil

La trayectoria de este proyectil lanzado desde una altura y ₀ tiene un alcance d.

En física , un proyectil lanzado con condiciones iniciales específicas tendrá un alcance . Puede ser más predecible suponiendo una Tierra plana con un campo de gravedad uniforme y sin resistencia del aire . Los alcances horizontales de un proyectil son iguales para dos ángulos de proyección complementarios con la misma velocidad.

Para distancias pequeñas en comparación con el tamaño de la Tierra se aplica lo siguiente. Para alcances más largos, consulte vuelos espaciales suborbitales . La distancia horizontal máxima recorrida por el proyectil , despreciando la resistencia del aire, se puede calcular de la siguiente manera: ^[1]

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

dónde

• d es la distancia horizontal total recorrida por el proyectil.
• v es la velocidad a la que se lanza el proyectil
• g es la aceleración gravitacional , que generalmente se considera 9,81 m/s ² (32 f/s ² ) cerca de la superficie de la Tierra.
• θ es el ángulo con el que se lanza el proyectil
• y ₀ es la altura inicial del proyectil

Si se toma y ₀ como cero, lo que significa que el objeto se lanza sobre un terreno plano, el alcance del proyectil se simplificará a:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

Movimiento ideal del proyectil

El movimiento ideal del proyectil establece que no hay resistencia del aire ni cambios en la aceleración gravitacional . Esta suposición simplifica enormemente las matemáticas y es una aproximación cercana al movimiento real del proyectil en los casos en que las distancias recorridas son pequeñas. El movimiento ideal del proyectil también es una buena introducción al tema antes de agregar las complicaciones de la resistencia del aire.

Derivaciones

Un ángulo de lanzamiento de 45 grados desplaza el proyectil lo más lejos posible en sentido horizontal. Esto se debe a la naturaleza de los triángulos rectángulos. Además, de la ecuación del rango:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

Podemos ver que el rango será máximo cuando el valor de sea el más alto (es decir, cuando sea igual a 1). Claramente tiene que ser de 90 grados. Es decir, son 45 grados. ${\displaystyle \sin 2\theta }$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Terreno plano

Alcance de un proyectil (en el espacio ).

Primero examinamos el caso donde ( y ₀ ) es cero. La posición horizontal del proyectil es

${\displaystyle x(t)=vt\cos \theta }$

En dirección vertical

${\displaystyle y(t)=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Nos interesa el momento en que el proyectil vuelve a la misma altura que se originó. Sea t _g cualquier momento en el que la altura del proyectil sea igual a su valor inicial.

${\displaystyle 0=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Por factorización:

${\displaystyle t=0}$

o

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}}$

pero t = T = tiempo de vuelo

${\displaystyle T={\frac {2v\sin \theta }{g}}}$

La primera solución corresponde al momento del lanzamiento del proyectil por primera vez. La segunda solución es la útil para determinar el alcance del proyectil. Al sustituir este valor para ( t ) en la ecuación horizontal se obtiene

${\displaystyle x={\frac {2v^{2}\cos \theta \,\sin \theta }{g}}}$

Aplicando la identidad trigonométrica

${\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\,\cos y\ +\ \sin y\,\cos x}$

Si x e y son iguales,

${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \,\cos \theta }$

nos permite simplificar la solución a

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

Tenga en cuenta que cuando ( θ ) es 45 °, la solución se vuelve

${\displaystyle d_{\max }={\frac {v^{2}}{g}}}$

Terreno irregular

Ahora permitiremos que ( y ₀ ) sea distinto de cero. Nuestras ecuaciones de movimiento ahora son

${\displaystyle x(t)=vt\cos \theta }$

y

${\displaystyle y(t)=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Una vez más resolvemos para ( t ) en el caso en que la posición ( y ) del proyectil sea cero (ya que así es como definimos nuestra altura inicial para empezar)

${\displaystyle 0=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Nuevamente aplicando la fórmula cuadrática encontramos dos soluciones para el tiempo. Después de varios pasos de manipulación algebraica

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}\pm {\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

La raíz cuadrada debe ser un número positivo, y dado que la velocidad y el seno del ángulo de lanzamiento también se pueden suponer positivos, la solución con mayor tiempo ocurrirá cuando se use el signo más o menos. Así, la solución es

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}+{\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

Resolviendo para el rango una vez más

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

Para maximizar el alcance a cualquier altura.

${\displaystyle \theta =\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}}$

Comprobando el límite cuando se acerca a 0 ${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle \lim _{y_{0}\to 0}\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}={\frac {\pi }{4}}}$

Ángulo de impacto

El ángulo ψ en el que cae el proyectil viene dado por:

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {-v_{y}(t_{d})}{v_{x}(t_{d})}}={\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{v\cos \theta }}}$

Para un alcance máximo, esto da como resultado la siguiente ecuación:

${\displaystyle \tan ^{2}\psi ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}=C+1}$

Reescribiendo la solución original para θ, obtenemos:

${\displaystyle \tan ^{2}\theta ={\frac {1-\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}={\frac {1}{C+1}}}$

Multiplicar con la ecuación para (tan ψ)^2 da:

${\displaystyle \tan ^{2}\psi \,\tan ^{2}\theta ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}{\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}=1}$

Por la identidad trigonométrica

${\displaystyle \tan(\theta +\psi )={\frac {\tan \theta +\tan \psi }{1-\tan \theta \tan \psi }}}$,

esto significa que θ + ψ debe ser de 90 grados.

Movimiento real del proyectil

Además de la resistencia del aire , que ralentiza un proyectil y reduce su alcance, también deben tenerse en cuenta muchos otros factores cuando se considera el movimiento real del proyectil.

Características del proyectil

En términos generales, un proyectil con mayor volumen enfrenta una mayor resistencia del aire , reduciendo el alcance del proyectil. (Y consulte Trayectoria de un proyectil .) La resistencia del aire puede modificarse según la forma del proyectil: un proyectil alto y ancho, pero corto, enfrentará una mayor resistencia del aire que un proyectil bajo y estrecho, pero largo, del mismo volumen. También se debe considerar la superficie del proyectil: un proyectil liso enfrentará menos resistencia al aire que uno de superficie rugosa, y las irregularidades en la superficie de un proyectil pueden cambiar su trayectoria si crean más resistencia en un lado del proyectil que en el otro. el otro. Sin embargo, ciertas irregularidades, como los hoyuelos en una pelota de golf, pueden aumentar su alcance al reducir la cantidad de turbulencia causada detrás del proyectil a medida que viaja. ^{[ cita necesaria ]} La masa también se vuelve importante, ya que un proyectil más masivo tendrá más energía cinética y, por lo tanto, se verá menos afectado por la resistencia del aire. La distribución de masa dentro del proyectil también puede ser importante, ya que un proyectil con peso desigual puede girar de manera no deseada, provocando irregularidades en su trayectoria debido al efecto magnus .

Si a un proyectil se le da rotación a lo largo de sus ejes de desplazamiento, las irregularidades en la forma del proyectil y la distribución del peso tienden a anularse. Consulte rifling para obtener una explicación más detallada.

Cañones de armas de fuego

Para los proyectiles que se lanzan con armas de fuego y artillería, la naturaleza del cañón del arma también es importante. Los cañones más largos permiten que se entregue más energía del propulsor al proyectil, lo que produce un mayor alcance. El estriado , si bien puede no aumentar el alcance promedio ( media aritmética ) de muchos disparos de la misma arma, sí aumentará la exactitud y precisión de la misma.

Rangos muy grandes

Se han creado algunos cañones u obuses con un alcance muy amplio.

Durante la Primera Guerra Mundial, los alemanes crearon un cañón excepcionalmente grande, el Paris Gun , que podía disparar un proyectil a más de 80 millas (130 km). Corea del Norte ha desarrollado un arma conocida en Occidente como Koksan , con un alcance de 60 kilómetros utilizando proyectiles asistidos por cohetes. (Y ver Trayectoria de un proyectil ).

Estos cañones se distinguen de los cohetes , o misiles balísticos , que tienen sus propios motores de cohete, que continúan acelerando el misil durante un período después de su lanzamiento.

Ver también

• Trayectoria
• Movimiento de proyectiles
• Velocidad de escape

Referencias

1. Galante, Joseph (2012). Hacer física con un cuaderno científico: un enfoque de resolución de problemas. John Wiley e hijos . pag. 132.ISBN​ 978-1-119-94194-1.Extracto de la página 132. Tenga en cuenta que el yy ₀ de la fuente se reemplaza por el y _{0 del artículo.}