Índice de disimilitud

Medida demográfica

El índice de disimilitud es una medida demográfica de la uniformidad con la que se distribuyen dos grupos en las áreas geográficas componentes que conforman un área mayor. Un grupo está distribuido uniformemente cuando cada unidad geográfica tiene el mismo porcentaje de miembros del grupo que la población total. La puntuación del índice también se puede interpretar como el porcentaje de uno de los dos grupos incluidos en el cálculo que tendría que trasladarse a diferentes áreas geográficas para producir una distribución que coincida con la del área mayor. El índice de disimilitud se puede utilizar como una medida de segregación . Una puntuación de cero (0%) refleja un entorno totalmente integrado; una puntuación de 1 (100%) refleja una segregación total. En términos de segregación entre negros y blancos, una puntuación de 0,60 significa que el 60 por ciento de los negros tendrían que intercambiar lugares con los blancos en otras unidades para lograr una distribución geográfica uniforme. ^{[1] [2] [3] [4]} El índice de disimilitud es invariable al tamaño relativo del grupo.

Fórmula básica

La fórmula básica para el índice de disimilitud es:

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {a_{i}}{A}}-{\frac {b_{i}}{B}}\right|}$

donde (comparando una población blanca y negra, por ejemplo):

a _i = la población del grupo A en el ^área i , p. ej., el tramo censal

A = la población total del grupo A en la entidad geográfica grande para la cual se está calculando el índice de disimilitud.

b _i = la población del grupo B en el ^área i

B = la población total del grupo B en la entidad geográfica grande para la cual se está calculando el índice de disimilitud.

El índice de disimilitud es aplicable a cualquier variable categórica (demográfica o no) y, debido a sus propiedades simples, es útil como entrada para programas de escalamiento y agrupamiento multidimensionales. Se ha utilizado ampliamente en el estudio de la movilidad social para comparar distribuciones de categorías ocupacionales de origen (o destino).

Ejemplo numérico

Considere la siguiente distribución de la población blanca y negra en los vecindarios.

Perspectiva del álgebra lineal

La fórmula para el índice de disimilitud se puede hacer mucho más compacta y significativa si se la considera desde la perspectiva del álgebra lineal . Supongamos que estamos estudiando la distribución de personas ricas y pobres en una ciudad (por ejemplo, Londres ). Supongamos que nuestra ciudad contiene bloques: ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \{{\text{block 1}},{\text{block 2}},\ldots ,{\text{block N}}\}}$

Creemos un vector que muestre el número de personas ricas en cada cuadra de nuestra ciudad: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =[r_{1},r_{2},\cdots ,r_{N}]}$

De manera similar, creemos un vector que muestre el número de personas pobres en cada cuadra de nuestra ciudad: ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} =[p_{1},p_{2},\cdots ,p_{N}]}$

Ahora bien, la -norma de un vector es simplemente la suma de (la magnitud de) cada entrada en ese vector. ^[5] Es decir, para un vector , tenemos la -norma: ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},\cdots ,v_{N}]}$ ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle |\mathbf {v} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|v_{i}|}$

Si lo denotamos como el número total de personas ricas en nuestra ciudad, entonces una forma compacta de calcularlo sería utilizar la -norma: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle R=|\mathbf {r} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|r_{i}|}$

De manera similar, si denotamos como número total de personas pobres en nuestra ciudad, entonces: ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P=|\mathbf {p} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|p_{i}|}$

Cuando dividimos un vector por su norma, obtenemos lo que se llama vector normalizado o vector unitario : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |_{1}}}}$

Normalicemos el vector rico y el vector pobre : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |_{1}}}={\frac {\mathbf {r} }{R}}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}={\frac {\mathbf {p} }{|\mathbf {p} |_{1}}}={\frac {\mathbf {p} }{P}}}$

Finalmente volvemos a la fórmula para el Índice de Disimilitud ( ); es simplemente igual a la mitad de la -norma de la diferencia entre los vectores y : ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$

Índice de disimilitud
(en notación algebraica lineal)

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}}$

Ejemplo numérico

Consideremos una ciudad que consta de cuatro bloques de 2 personas cada uno. Un bloque consta de 2 personas ricas. Un bloque consta de 2 personas pobres. Dos bloques constan de 1 persona rica y 1 persona pobre. ¿Cuál es el índice de disimilitud de esta ciudad?

Nuestra ciudad ficticia tiene 4 bloques: un bloque que contiene 2 personas ricas; otro que contiene 2 personas pobres; y dos bloques que contienen 1 persona rica y 1 persona pobre.

En primer lugar, busquemos el vector rico y el vector pobre : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =[2,0,1,1]}$

${\displaystyle \mathbf {p} =[0,2,1,1]}$

A continuación, calculemos el número total de personas ricas y pobres en nuestra ciudad:

${\displaystyle R=2+0+1+1=4}$

${\displaystyle P=0+2+1+1=4}$

A continuación, normalicemos los vectores ricos y pobres:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} }{R}}={\frac {1}{4}}[2,0,1,1]=[0.5,0,0.25,0.25]}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}={\frac {\mathbf {p} }{P}}={\frac {1}{4}}[0,2,1,1]=[0,0.5,0.25,0.25]}$

Ahora podemos calcular la diferencia : ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}=[0.5,0,0.25,0.25]-[0,0.5,0.25,0.25]=[0.5,-0.5,0,0]}$

Finalmente, encontremos el índice de disimilitud ( ): ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}={\frac {1}{2}}(|0.5|+|-0.5|)=0.5}$

Equivalencia entre fórmulas

Podemos demostrar que la fórmula algebraica lineal para es idéntica a la fórmula básica para . Comencemos con la fórmula algebraica lineal: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}}$

Reemplacemos los vectores normalizados y por: ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\left|{\frac {\mathbf {r} }{R}}-{\frac {\mathbf {p} }{P}}\right|_{1}}$

Finalmente, de la definición de la -norma, sabemos que podemos sustituirla por la suma: ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}|{\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}}|}$

Así demostramos que la fórmula del álgebra lineal para el índice de disimilitud es equivalente a la fórmula básica para dicho índice:

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}|{\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}}|}$

Cero segregación

Cuando el índice de disimilitud es cero, significa que la comunidad que estamos estudiando tiene cero segregación. Por ejemplo, si estamos estudiando la segregación de personas ricas y pobres en una ciudad, entonces si , significa que: ${\displaystyle D=0}$

• No hay bloques en la ciudad que sean "bloques ricos", ni hay bloques en la ciudad que sean "bloques pobres".
• Hay una distribución homogénea de personas ricas y pobres en toda la ciudad.

Si establecemos en la fórmula algebraica lineal, obtenemos la condición necesaria para tener segregación cero: ${\displaystyle D=0}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }$

Por ejemplo, supongamos que tienes una ciudad con dos manzanas. En cada manzana hay cuatro personas ricas y cien personas pobres:

${\displaystyle \mathbf {r} =[4,4]}$

${\displaystyle \mathbf {p} =[100,100]}$

Entonces, el número total de personas ricas es , y el número total de personas pobres es . Por lo tanto: ${\displaystyle R=4+4=8}$ ${\displaystyle P=100+100=200}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =[4/8,4/8]=[0.5,0.5]}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =[100/200,100/200]=[0.5,0.5]}$

Porque así esta ciudad tiene cero segregación. ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }$

Como otro ejemplo, supongamos que tienes una ciudad con 3 bloques:

${\displaystyle \mathbf {r} =[1,2,3]}$

${\displaystyle \mathbf {p} =[100,200,300]}$

En nuestra ciudad tenemos gente rica y gente pobre. Así: ${\displaystyle R=1+2+3=6}$ ${\displaystyle P=100+200+300=600}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =[1/6,2/6,3/6]}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =[100/600,200/600,300/600]=[1/6,2/6,3/6]}$

De nuevo, porque por eso esta ciudad también tiene cero segregación. ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }$

Véase también

• Divergencia de Kullback-Leibler
• Índice de aislamiento
• autodesemejanza
• Índice Hoover

Referencias

1. Oficina del Censo de EE. UU. "Patrones de vivienda: Apéndice B: Medidas de segregación residencial". Census.gov . Consultado el 28 de abril de 2022 . {{cite web}}: |last=tiene nombre genérico ( ayuda )
2. Massey, Douglas S.; Rothwell, Jonathan; Domina, Thurston (26 de octubre de 2009). "Las bases cambiantes de la segregación en los Estados Unidos". Anales de la Academia Estadounidense de Ciencias Políticas y Sociales . 626 (1): 74–90. doi :10.1177/0002716209343558. ISSN  0002-7162. PMC 3844132 . PMID  24298193. 
3. White, Michael J. (1986). "Medidas de segregación y diversidad en la distribución de la población". Índice de población . 52 (2): 198–221. doi :10.2307/3644339. ISSN  0032-4701.
4. Massey, Douglas S.; Denton, Nancy A. (diciembre de 1988). "Las dimensiones de la segregación residencial". Fuerzas sociales . 67 (2): 281. doi :10.2307/2579183. ISSN  0037-7732.
5. Wolfram MathWorld: Norma L1

Enlaces externos

• http://enceladus.isr.umich.edu/race/calculate.html Archivado el 17 de mayo de 2011 en Wayback Machine.