Retención de orden cero

Modelo de reconstrucción de señales en convertidores digital-analógicos (DAC)

La retención de orden cero ( ZOH ) es un modelo matemático de la reconstrucción práctica de la señal realizada por un convertidor digital a analógico (DAC) convencional. ^[1] Es decir, describe el efecto de convertir una señal de tiempo discreto en una señal de tiempo continuo al retener cada valor de muestra durante un intervalo de muestra. Tiene varias aplicaciones en la comunicación eléctrica.

Modelo de dominio temporal

Figura 1. Función rect desplazada en el tiempo y escalada en el tiempo utilizada en el análisis del dominio del tiempo del ZOH.

Figura 2. Señal constante por partes x _ZOH ( t ).

Figura 3. Un peine de Dirac modulado x _s ( t ).

Una retención de orden cero reconstruye la siguiente forma de onda de tiempo continuo a partir de una secuencia de muestra x [ n ], asumiendo una muestra por intervalo de tiempo T : donde es la función rectangular . $${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {t-T/2-nT}{T}}\right)}$$ ${\displaystyle \mathrm {rect} (\cdot )}$

La función se representa en la Figura 1, y es la señal constante por partes representada en la Figura 2. ${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {t-T/2}{T}}\right)}$ ${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)}$

Modelo de dominio de frecuencia

La ecuación anterior para la salida del ZOH también se puede modelar como la salida de un filtro lineal invariante en el tiempo con una respuesta al impulso igual a una función rect y con una entrada que es una secuencia de impulsos de Dirac escalada a los valores de muestra. El filtro se puede analizar entonces en el dominio de la frecuencia, para compararlo con otros métodos de reconstrucción, como la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon sugerida por el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , o como la retención de primer orden o la interpolación lineal entre valores de muestra.

En este método, una secuencia de impulsos de Dirac , x _s ( t ), que representan las muestras discretas, x [ n ], se filtra mediante un filtro de paso bajo para recuperar una señal de tiempo continuo , x ( t ).

Aunque esto no es lo que hace un DAC en realidad, la salida del DAC se puede modelar aplicando la secuencia hipotética de impulsos de Dirac, x _s ( t ), a un filtro lineal, invariante en el tiempo, con tales características (que, para un sistema LTI, están completamente descritas por la respuesta al impulso ) de modo que cada impulso de entrada resulte en el pulso constante correcto en la salida.

Comience por definir una señal de tiempo continuo a partir de los valores de muestra, como se indicó anteriormente, pero utilizando funciones delta en lugar de funciones rect: $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{s}(t)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\\&{}=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT).\end{aligned}}}$$

El escalamiento por , que surge naturalmente al escalar temporalmente la función delta, tiene como resultado que el valor medio de x _s ( t ) es igual al valor medio de las muestras, de modo que el filtro de paso bajo necesario tendrá una ganancia de CC de 1. Algunos autores utilizan este escalamiento, ^[2] mientras que muchos otros omiten el escalamiento temporal y la T , lo que da como resultado un modelo de filtro de paso bajo con una ganancia de CC de T , y por lo tanto dependiente de las unidades de medida del tiempo. ${\displaystyle T}$

Figura 4. Respuesta al impulso de la retención de orden cero h _ZOH ( t ). Es idéntica a la función rect de la Figura 1, excepto que ahora está escalada para tener un área de 1, por lo que el filtro tendrá una ganancia de CC de 1.

La retención de orden cero es el filtro hipotético o sistema LTI que convierte la secuencia de impulsos de Dirac modulados x _s ( t ) en la señal constante por partes (que se muestra en la Figura 2): lo que da como resultado una respuesta de impulso efectiva (que se muestra en la Figura 4) de: $${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle h_{\mathrm {ZOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}&{\text{if }}0\leq t<T\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

La respuesta de frecuencia efectiva es la transformada de Fourier continua de la respuesta al impulso.

$${\displaystyle H_{\mathrm {ZOH} }(f)={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {ZOH} }(t)\}={\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}=e^{-i\pi fT}\mathrm {sinc} (fT)}$$donde es la función sinc (normalizada) comúnmente utilizada en el procesamiento de señales digitales. ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)}$ ${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

La función de transferencia de la transformada de Laplace del ZOH se obtiene sustituyendo s = i 2 π f : $${\displaystyle H_{\mathrm {ZOH} }(s)={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {ZOH} }(t)\}\,={\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\ }$$

El hecho de que los convertidores digitales a analógicos (DAC) prácticos no emitan una secuencia de impulsos de Dirac , x _s ( t ) (que, si se filtraran idealmente con un filtro de paso bajo, darían como resultado la señal única subyacente limitada en banda antes del muestreo), sino que emitan una secuencia de pulsos rectangulares, x _ZOH ( t ) (una función constante por partes ), significa que existe un efecto inherente del ZOH en la respuesta de frecuencia efectiva del DAC, lo que resulta en una leve caída de la ganancia en las frecuencias más altas (una pérdida de 3,9224 dB en la frecuencia de Nyquist , correspondiente a una ganancia de sinc(1/2) = 2/π). Esta caída es una consecuencia de la propiedad de retención de un DAC convencional, y no se debe al muestreo y retención que podría preceder a un convertidor analógico a digital (ADC) convencional.

Véase también

• Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
• Retención de primer orden
• Discretización de modelos de espacio de estados lineales (suponiendo que se mantiene el orden cero)

Referencias

1. Tom J. Moir (2022). Rudimentos de procesamiento de señales y sistemas. Springer International Publishing AG. pág. 459. doi :10.1007/978-3-030-76947-5. ISBN 9783030769475.
2. Ken C. Pohlmann (2000). Principios del audio digital (quinta ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-144156-5.