Dispersión del portador

Los tipos de defectos incluyen vacantes de átomos, adatoms , escalones y torceduras que ocurren con mayor frecuencia en las superficies debido al tamaño finito del material que causa la discontinuidad del cristal. Lo que todos los tipos de defectos tienen en común, ya sean defectos superficiales o de masa, es que producen enlaces colgantes que tienen niveles de energía de electrones específicos diferentes a los de la masa. Esta diferencia se produce porque estos estados no pueden describirse con ondas de Bloch periódicas debido al cambio en la energía potencial de los electrones causado por los núcleos de iones faltantes justo fuera de la superficie. Por lo tanto, estos son estados localizados que requieren soluciones separadas de la ecuación de Schrödinger para que las energías de los electrones puedan describirse adecuadamente. La interrupción de la periodicidad da como resultado una disminución de la conductividad debido a la dispersión de defectos .

Niveles de energía electrónica de los enlaces colgantes de semiconductores.

Figura 1: Diagrama de energía de Harrison de las energías de los electrones en diferentes etapas de la formación de un cristal de Si. El eje vertical es la energía. Los orbitales 3s y 3p se hibridan en un solo átomo de Si, lo que es energéticamente desfavorable porque los 2 electrones 3s ganan más energía de la que pierden los 2 electrones 3p. La formación favorable de dímeros forma estados de enlace (b) y antienlazante (b*), lo que finalmente resulta en una pérdida neta de energía y la posterior adición de átomos construye la conducción formadora de cristales (CB) y las bandas de valencia (VB). Los estados de enlace colgantes (db) equivalen a la falta de un enlace sp ³ .

Una forma más sencilla y cualitativa de determinar los niveles de energía de los enlaces colgantes es mediante los diagramas de Harrison. ^{[1] [2]} Los metales tienen enlaces no direccionales y una pequeña longitud de Debye que, debido a su naturaleza cargada, hace que los enlaces colgantes sean intrascendentes, si es que se puede considerar que existen. Los semiconductores son dieléctricos, por lo que los electrones pueden sentir y quedar atrapados en estados de energía defectuosos. Los niveles de energía de estos estados están determinados por los átomos que forman el sólido. La Figura 1 muestra el diagrama de Harisson para el semiconductor elemental Si. De izquierda a derecha, la hibridación de los orbitales s y p promueve el enlace sp ³ que, cuando se combinan múltiples dímeros sp ³ Si-Si para formar un sólido, define las bandas de conducción y valencia. Si existiera una vacante, como las que se encuentran en cada átomo en la interfaz sólido/vacío, resultaría en al menos un enlace sp ³ roto que tiene una energía igual a la de los átomos de Si individuales autohibridados, como se muestra en la Figura 1. Esta energía corresponde aproximadamente a la mitad de la banda prohibida del Si, ~0,55 eV por encima de la banda de valencia. Ciertamente, este es el caso más ideal, mientras que la situación sería diferente si se produjera, por ejemplo, pasivación de enlaces (ver más abajo) y reconstrucción de superficies . Experimentalmente, las energías de estos estados se pueden determinar mediante espectroscopia de absorción o espectroscopia fotoelectrónica de rayos X , por ejemplo, si la sensibilidad del instrumento y/o la densidad de defectos son suficientemente altas.

Figura 2: Diagrama de energía de electrones de Harrison para GaAs semiconductor compuesto III-IV. Al igual que con el Si, el cristal se construye con la adición de dímeros de GaAs hibridados. A medida que las vacantes causan que Ga cuelgue de los bonos que forman estados cerca del CB. Las vacantes de Ga producen enlaces colgantes de As que tienen energías cercanas a VB. El VB está formado principalmente por estados "similares a As", ya que la ionicidad coloca electrones en los átomos de As y, como consecuencia, los estados CB son "similares a Ga".

Los semiconductores compuestos, como el GaAs, tienen estados de enlace colgantes que están más cerca de los bordes de la banda (consulte la Figura 2). A medida que los enlaces se vuelven cada vez más iónicos, estos estados pueden incluso actuar como dopantes . Esta es la causa de la conocida dificultad del dopaje de tipo p de GaN, donde las vacantes de N son abundantes debido a su alta presión de vapor, lo que da como resultado una alta densidad de enlaces colgantes de Ga. Estos estados están cerca del borde de la banda de conducción y, por tanto, actúan como donantes. Cuando se introducen dopantes aceptores de tipo p, son inmediatamente compensados ​​por las N vacantes. Con estos estados superficiales, su tratamiento a menudo se considera análogo al átomo de hidrógeno de la siguiente manera para el caso de vacantes de aniones o cationes (masa efectiva del hueco, m*, para cationes y electrones m* para vacantes de aniones). La energía de enlace, E _c -E _db , es donde U=-q ² /(4πεε _r r) es el potencial electrostático entre un electrón que ocupa el enlace colgante y su núcleo iónico con ε, la constante de permitividad en el espacio libre, ε _r , la permitividad relativa, y r la separación del núcleo electrón-ion. La simplificación de que la energía de traslación del electrón, KE=-U/2, se debe al teorema del virial para potenciales centrosimétricos. Según lo descrito por el modelo de Bohr , r está sujeto a cuantificación . El momento del electrón es p=mv=h/λ tal que resulta en y . Este tratamiento pierde precisión a medida que los defectos tienden a alejarse de cualquiera de los bordes de la banda.
${\displaystyle E_{c}-E_{db}=U+KE={\frac {1}{2}}U\;\;(1)}$

${\displaystyle n\lambda =2\pi r\;\;(2)}$

${\displaystyle KE={\frac {p^{2}}{2m^{*}}}={\frac {h^{2}n^{2}}{8m^{*}\pi ^{2}r^{2}}}=-{\frac {U}{2}}={\frac {q^{2}}{8\pi \varepsilon \varepsilon _{r}r}}\;\;(3)}$

${\displaystyle r={\frac {4\pi \hbar ^{2}n^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}{q^{2}m^{*}}}\;\;(4)}$

${\displaystyle E_{c}-E_{db}={\frac {U}{2}}={\frac {m^{*}q^{4}}{8h^{2}(\varepsilon \varepsilon _{r})^{2}}}\;\;(5)}$

dispersión de defectos

Los niveles de energía de los enlaces colgantes son valores propios de funciones de onda que describen los electrones en las proximidades de los defectos. En la consideración típica de la dispersión de portadoras, esto corresponde al estado final de la regla de oro de la frecuencia de dispersión de Fermi : siendo H' el parámetro de interacción y la función delta de Dirac , δ(E _f -E _i ), que indica dispersión elástica . La relación simple 1/τ= Σ _k',k S _k'k hace que esta sea una ecuación útil para caracterizar las propiedades de transporte de materiales cuando se usa junto con σ = ne ² τ /m* y la regla de Matthiessen para incorporar otros procesos de dispersión.
${\displaystyle S_{k'k}={\frac {2\pi }{\hbar }}|<f|H'|i>|^{2}\delta (E_{f}-E_{i})\;\;(6)}$

El valor de S _k'k está determinado principalmente por el parámetro de interacción, H'. Este término es diferente dependiendo de si se consideran estados superficiales o profundos. Para estados poco profundos, H' es el término de perturbación del hamiltoniano redefinido H=H _o +H', donde H _o tiene una energía de valor propio de E _i . La matriz para este caso es ^[3] donde k' es el vector de onda del estado final del cual sólo hay un valor ya que la densidad de defectos es lo suficientemente pequeña como para no formar bandas (~<10 ¹⁰ /cm ² ). Usando la ecuación de Poisson para cargas puntuales periódicas de Fourier, se obtiene el coeficiente de Fourier del potencial de un enlace colgante V _q =e/(q ² εε _r V) donde V es el volumen. Esto da como resultado que q _s sea la corrección del vector de onda de longitud de Debye debido al filtrado de carga. Entonces, la frecuencia de dispersión es donde n es la densidad volumétrica de defectos. Al realizar la integración, utilizando |k|=|k'|, se obtiene . El tratamiento anterior falla cuando los defectos no son periódicos, ya que los potenciales de enlace colgantes se representan con una serie de Fourier. Simplificar la suma por el factor de n en la ecuación (10) solo fue posible debido a la baja densidad de defectos. Si cada átomo (o posiblemente todos los demás) tuviera un enlace colgante, lo cual es bastante razonable para una superficie no reconstruida, también se debe realizar la integral en k'. Debido al uso de la teoría de la perturbación al definir la matriz de interacción, lo anterior supone valores pequeños de H' o estados de defectos poco profundos cerca de los bordes de la banda. Afortunadamente, la regla de oro de Fermi en sí es bastante general y puede usarse para defectos de estado profundo si se comprende lo suficientemente bien la interacción entre el electrón de conducción y el defecto como para modelar su interacción en un operador que reemplace a H'.
${\displaystyle <f|H'|i>\equiv M_{k'k}={\frac {1}{V}}\int d{\bar {r}}H'e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}')}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}\int d{\bar {r}}H_{\bar {q}}e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}'+{\bar {q}})}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}H_{\bar {q}}\delta _{{\bar {k}}-{\bar {k}}'},_{\bar {q}}={\frac {1}{V}}H_{\bar {q}}\;\;(7)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}V({\bar {r}})={\frac {-e\delta ({\bar {r}})}{\varepsilon \varepsilon _{r}}}=-\sum _{\bar {q}}{\bar {q}}^{2}V_{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}={\frac {-e}{V\varepsilon \varepsilon _{r}}}\ \sum _{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}\;\;(8)}$

${\displaystyle H_{\bar {q}}=-eV_{\bar {q}}={\frac {-e^{2}}{{\bar {q}}^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}V}}={\frac {-e^{2}}{({\bar {q}}^{2}+q_{s}^{2})\varepsilon \varepsilon _{r}V}}\;\;(9)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{{\bar {k}}',{\bar {k}}}S_{{\bar {k}}'{\bar {k}}}=n\sum _{\bar {k}}{\frac {2\pi }{\hbar }}{\frac {e^{4}\delta (E_{\bar {k}}-E_{{\bar {k}}'})}{\varepsilon \varepsilon _{r}V[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}={\frac {ne^{4}}{4\pi ^{2}\hbar \varepsilon \varepsilon _{r}}}\int \int \int dkd\theta d\phi {\frac {k^{2}sin\theta \;\delta (E_{\bar {k}}-E_{{\bar {k}}'})}{[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}\;\;(10)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {ne^{4}}{2\pi {\sqrt {2m^{*}(E_{c}-E_{db})}}\hbar ^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}}\left({\frac {1}{q_{s}^{2}}}-{\frac {1}{q_{s}^{2}+{\frac {8m^{*}(E_{c}-E_{db})}{\hbar ^{2}}}}}\right)\;\;(11)}$

Medidas experimentales

Figura 3: (Arriba) Se pueden utilizar barridos simples de voltaje de fuente-drenaje con una densidad de defectos creciente para extraer una tasa de dispersión de la portadora y energía de enlace colgante (la curva roja tiene más defectos). (Abajo) Dependencia de la resistividad con la temperatura. Cerca del cero absoluto, se revela el peso de los defectos en la dispersión del portador.

La determinación del alcance que estos enlaces colgantes tienen sobre el transporte eléctrico puede observarse experimentalmente con bastante facilidad. Al barrer el voltaje a través de un conductor (Figura 3), se puede determinar la resistencia y con una geometría definida, la conductividad de la muestra. Como se mencionó anteriormente, σ = ne ² τ /m*, donde τ se puede determinar conociendo n y m* a partir de la posición del nivel de Fermi y la estructura de bandas del material. Desafortunadamente, este valor contiene efectos de otros mecanismos de dispersión, como los debidos a los fonones. Esto resulta útil cuando la medición se utiliza junto con la ecuación (11), donde la pendiente de una gráfica de 1/τ versus n hace que E _c -E _db sea calculable y la intersección determina 1/τ de todos los procesos excepto de dispersión de defectos. Esto requiere asumir que la dispersión de fonones (entre otros procesos posiblemente insignificantes) es independiente de la concentración de defectos.
En un experimento similar, se puede simplemente reducir la temperatura del conductor (Figura 3) de modo que la densidad de fonones disminuya hasta ser insignificante, lo que permite una resistividad dominante del defecto. En este caso, σ = ne ² τ /m* se puede utilizar para calcular directamente τ para la dispersión de defectos.

Pasivación

Figura 4: Pasivación con hidrógeno de un transistor de efecto de campo semiconductor de óxido metálico de Si (MOSFET) para la reducción de los estados de la interfaz Si/SiO ₂ . Los enlaces de hidrógeno con Si satisfacen completamente la hibridación sp ³ proporcionando la ocupación del estado de defecto evitando la dispersión del portador en estos estados.

Los defectos de la superficie siempre se pueden "pasivar" con átomos para ocupar intencionalmente los niveles de energía correspondientes, de modo que los electrones de conducción no puedan dispersarse en estos estados (disminuyendo efectivamente n en la ecuación (10)). Por ejemplo, la pasivación de Si en la interfaz canal/óxido de un MOSFET con hidrógeno (Figura 4) es un procedimiento típico para ayudar a reducir la densidad de defectos de ~10 ¹⁰ cm ⁻² hasta en un factor de 12 ^[4], mejorando así la movilidad y , por lo tanto, velocidades de cambio. La eliminación de estados intermedios que de otro modo reducirían las barreras de tunelización también disminuye la corriente de fuga de la puerta y aumenta la capacitancia de la puerta , así como la respuesta transitoria. El efecto es que el enlace Si sp ³ queda completamente satisfecho. El requisito obvio aquí es la capacidad del semiconductor para oxidar el átomo pasivante o, E _c -E _db + χ > E _I , con la afinidad electrónica del semiconductor χ y la energía de ionización del átomo E _I .

dispersión de fonones

Ahora consideraremos la dispersión de portadores con deformaciones de la red denominadas fonones . Considere el desplazamiento volumétrico que produce tal onda que se propaga, que en consecuencia da como resultado una deformación dependiente del tiempo, donde se usa una onda plana simple para describir la propagación del fonón . El desplazamiento de átomos fuera de sus posiciones de equilibrio generalmente causa un cambio en la estructura de la banda electrónica (Figura 5) donde, para la dispersión, nos interesan los electrones en la banda de conducción con energía ~E _CB , . El parámetro empírico, ZDP _, se denomina potencial de deformación y describe la fuerza del acoplamiento electrón-fonón. Multiplicar por la población de fonones ( distribución de Bose-Einstein , N _q ) da el potencial de deformación total, ${\displaystyle \Delta V_{0}}$ ${\displaystyle \Delta V_{0}/V_{0}=\bigtriangledown u(r,t)}$ ${\displaystyle u(r,t)\propto exp\pm (iqr-i\omega t)}$
${\displaystyle \Delta E_{CB}={\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}\Delta V_{0}=V_{0}{\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}{\frac {\Delta V_{0}}{V_{0}}}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t)\;\;(12)}$

${\displaystyle \Delta E_{CB}^{Tot}={\widehat {H}}_{int}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\;\;(13)}$

Figura 5: Esquema del cambio de los bordes de la banda de energía (banda de conducción, E _CB y banda de valencia E _VB ) a medida que las posiciones atómicas del cristal se desplazan del equilibrio para producir una deformación volumétrica.

(El motivo de la raíz será evidente a continuación). Aquí, + corresponde a la emisión de fonones y – a la absorción de fonones durante el evento de dispersión. Una nota, porque para los fonones transversales, solo las interacciones con los fonones longitudinales son distintas de cero. Por lo tanto, la matriz de interacción completa es donde el delta de Kronecker impone la conservación del momento y surge de asumir que las funciones de onda electrónicas (estado final, y estado inicial, ) también son ondas planas. ${\displaystyle q\perp u(r,t)}$
${\displaystyle <k'|{\widehat {H}}_{int}|k>=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\delta _{k',k\pm q}\;\;(14)}$
${\displaystyle <k'|}$ ${\displaystyle |k>}$

Fonones acústicos

Utilizando la regla de oro de Fermi, se puede aproximar la tasa de dispersión de fonones acústicos de baja energía. La matriz de interacción para estos fonones es con la frecuencia angular del fonón ω _q =cq, el volumen V, la densidad sólida ρ y la velocidad del grupo de fonones c. ^[5] Conectando esto a la Ec. 6 da . Con los supuestos de que N _q >>1, ħω<<kT y g(E') ~ g(E) (que generalmente es válido para cristales 3D ya que las energías de los electrones de conducción son generalmente mucho mayores que ħω y g(E) carece de furgoneta Hove singularity ) da la tasa de dispersión: donde g(E) es la densidad electrónica de estados para los cuales se utilizó la solución tridimensional con dispersión parabólica para obtener la respuesta final.
${\displaystyle |<k'|{\widehat {H}}_{int}|k>|^{2}=Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\;\;(15)}$

${\displaystyle S_{k'k}^{Ac}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]\;\;(16)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Ac}=\sum _{k}S_{k\pm q,k}^{Ac}}$
${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}({\frac {kT}{\hbar \omega _{q}}})\sum _{k}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]}$
${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {kT}{2V\rho c^{2}}}V\times g(E)}$
${\displaystyle ={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}{\frac {Z_{DP}^{2}m^{*{\frac {3}{2}}}kT}{\rho \hbar ^{4}c^{2}}}{\sqrt {E-E_{CB}}}\;\;(17)}$

Fonones ópticos

Normalmente, los fonones en las ramas ópticas de las relaciones de dispersión vibratoria tienen energías del orden de kT o mayores y, por lo tanto, no se pueden hacer las aproximaciones ħω<<kT y N _q >>1. Sin embargo, una ruta razonable que todavía supone un desvío en el tratamiento de dispersiones de fonones complejas es utilizar el modelo de Einstein , que establece que sólo existe un modo de fonón en los sólidos. Para fonones ópticos, esta aproximación resulta suficiente debido a la muy pequeña variación de pendiente en ω(q) y, por lo tanto, podemos afirmar que ħω(q) ≅ ħω es una constante. En consecuencia, N _q también es una constante (sólo dependiente de T). La última aproximación, g(E')=g(E±ħω) ~ g(E), no se puede hacer ya que ħω ~ E y no existe una solución alternativa, pero la complejidad agregada a la suma de τ es mínima. . La suma se convierte en la densidad de estados en E' y la distribución de Bose-Einstein se puede sacar de la suma debido a ħω(q) ≅ ħω.
${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Op}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\sum _{k'}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega ]}$
${\displaystyle =Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{8\pi ^{2}\hbar \rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})g(E\pm \hbar \omega )\;\;(18)}$

Notas

1. Harrison, Walter A., ​​Estructura electrónica y propiedades de los sólidos: la física del enlace químico. San Francisco: Freeman, 1980.
2. Rockett, Angus, La ciencia de los materiales de los semiconductores. Nueva York: Springer, 2007
3. Hess, Karl, Teoría avanzada de dispositivos semiconductores. Nueva York: Wiley Interscience, 2000.
4. Faughnan, B.; Ipri, AC IEEE Trans. eléctrico. Desarrollo. 36 , 101, 1999.
5. Conwell, EM, "Transporte de alto campo en semiconductores", en Física del estado sólido, ed. F. Seitz, D. Turnbull y H. Ehrenreich, Suplemento 9. Nueva York: Academic Press, 1967, p. 108.