Variación total decreciente

Propiedad de los esquemas de discretización utilizados para resolver ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas

En los métodos numéricos , la disminución de la variación total (TVD) es una propiedad de ciertos esquemas de discretización utilizados para resolver ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas . La aplicación más notable de este método es en la dinámica de fluidos computacional . El concepto de TVD fue introducido por Ami Harten . ^[1]

Ecuación del modelo

En sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales parciales , como la siguiente ecuación de advección hiperbólica ,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

La variación total (VT) viene dada por

${\displaystyle TV(u(\cdot ,t))=\int \left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|\mathrm {d} x,}$

y la variación total para el caso discreto es,

${\displaystyle TV(u^{n})=TV(u(\cdot ,t^{n}))=\sum _{j}\left|u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}\right|.}$

dónde . ${\displaystyle u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})}$

Se dice que un método numérico es de variación total decreciente (TVD) si,

${\displaystyle TV\left(u^{n+1}\right)\leq TV\left(u^{n}\right).}$

Características

Se dice que un esquema numérico preserva la monotonía si se mantienen las siguientes propiedades:

• Si aumenta (o decrece) monótonamente en el espacio, entonces también lo hace . ${\displaystyle u^{n}}$ ${\displaystyle u^{n+1}}$

Harten 1983 demostró las siguientes propiedades para un esquema numérico,

• Un esquema monótono es TVD, y
• Un esquema TVD preserva la monotonía .

Aplicación en CFD

En dinámica de fluidos computacional , se emplea el esquema TVD para capturar predicciones de choque más nítidas sin oscilaciones engañosas cuando la variación de la variable de campo “ ” es discontinua. Para capturar la variación, se necesitan cuadrículas finas (muy pequeñas) y el cálculo se vuelve pesado y, por lo tanto, antieconómico. El uso de cuadrículas gruesas con esquema de diferencia central , esquema de barlovento , esquema de diferencia híbrida y esquema de ley de potencia da predicciones de choque falsas. El esquema TVD permite predicciones de choque más nítidas en cuadrículas gruesas, lo que ahorra tiempo de cálculo y, como el esquema preserva la monotonía, no hay oscilaciones espurias en la solución. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta x}$

Discretización

Considere la ecuación de difusión por convección unidimensional en estado estacionario,

${\displaystyle \nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,=\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi )+S_{\phi }\;}$,

donde es la densidad, es el vector de velocidad, es la propiedad que se transporta, es el coeficiente de difusión y es el término fuente responsable de la generación de la propiedad . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$

Haciendo el balance de flujo de esta propiedad alrededor de un volumen de control obtenemos,

${\displaystyle \int _{A}\mathbf {n} \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,\mathrm {d} A=\int _{A}\mathbf {n} \cdot (\Gamma \nabla \phi )\,\mathrm {d} A+\int _{CV}S_{\phi }\,\mathrm {d} V}$ ${\displaystyle \;}$

Aquí está la normal a la superficie del volumen de control. ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Ignorando el término fuente, la ecuación se reduce a:

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \phi A)_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi A)_{l}=\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{r}-\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{l}}$

Una imagen que muestra el volumen de control con velocidades en las caras, nodos y la distancia entre ellos, donde 'P' es el nodo en el centro.

Arrogante

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\delta \phi }{\delta x}}}$ y ${\displaystyle A_{r}=A_{l},}$

La ecuación se reduce a

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \phi )_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi )_{l}\,=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{r}-\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{l}.}$

Decir,

${\displaystyle F_{r}=(\rho \mathbf {u} )_{r};\qquad F_{l}=(\rho \mathbf {u} )_{l};}$

${\displaystyle D_{l}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{l};\qquad D_{r}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{r};}$

De la figura:

${\displaystyle \delta \phi _{r}=\phi _{R}-\phi _{P};\qquad \delta x_{r}=x_{PR};}$

${\displaystyle \delta \phi _{l}=\phi _{P}-\phi _{L};\qquad \delta x_{l}=x_{LP};}$

La ecuación se convierte en: La ecuación de continuidad también debe satisfacerse en una de sus formas equivalentes para este problema: $${\displaystyle F_{r}\phi _{r}-F_{l}\phi _{l}=D_{r}(\phi _{R}-\phi _{P})-D_{l}(\phi _{P}-\phi _{L});}$$

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} )_{r}-(\rho \mathbf {u} )_{l}\,=0\ \ \Longleftrightarrow \ \ F_{r}-F_{l}=0\ \ \Longleftrightarrow \ F_{r}=F_{l}=F.}$

Suponiendo que la difusividad es una propiedad homogénea y que el espaciado de la cuadrícula es igual, podemos decir

${\displaystyle \Gamma _{l}=\Gamma _{r};\qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR}=\delta x,}$

obtenemos La ecuación se reduce aún más a La ecuación anterior se puede escribir como donde es el número de Péclet $${\displaystyle D_{l}=D_{r}=D.}$$ $${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\cdot F=D\cdot (\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L}).}$$ $${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\cdot P=(\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L})}$$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P={\frac {F}{D}}={\frac {\rho \mathbf {u} \delta x}{\Gamma }}.}$

Esquema TVD

El esquema de disminución de la variación total ^{[2] [3]} supone que los valores de y se deben sustituir en la ecuación discretizada de la siguiente manera: ${\displaystyle \phi _{r}}$ ${\displaystyle \phi _{l}}$

${\displaystyle \phi _{r}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{r}^{+}\phi _{R}+(1-f_{r}^{+})\phi _{L}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{r}^{-}\phi _{P}+(1-f_{r}^{-})\phi _{RR}]}$

${\displaystyle \phi _{l}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{l}^{+}\phi _{P}+(1-f_{l}^{+})\phi _{LL}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{l}^{-}\phi _{L}+(1-f_{l}^{-})\phi _{R}]}$

¿Dónde está el número de Péclet y a partir de qué función de ponderación se debe determinar? ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=f\left({\frac {\phi _{U}-\phi _{UU}}{\phi _{D}-\phi _{UU}}}\right)}$

donde se refiere a aguas arriba, se refiere a aguas arriba de y se refiere a aguas abajo. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UU}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$

Tenga en cuenta que es la función de ponderación cuando el flujo es en dirección positiva (es decir, de izquierda a derecha) y es la función de ponderación cuando el flujo es en dirección negativa de derecha a izquierda. Por lo tanto, ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle f^{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{r}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{L}}{\phi _{R}-\phi _{L}}}\right),\\[10pt]&f_{r}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{R}-\phi _{RR}}{\phi _{P}-\phi _{RR}}}\right),\\[10pt]&f_{l}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{L}-\phi _{LL}}{\phi _{P}-\phi _{LL}}}\right),{\text{ and}}\\[10pt]&f_{l}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{R}}{\phi _{L}-\phi _{R}}}\right).\end{aligned}}}$

Si el flujo es en dirección positiva, entonces, el número de Péclet es positivo y el término , por lo que la función no desempeñará ningún papel en la suposición de y . Del mismo modo, cuando el flujo es en dirección negativa, es negativo y el término , por lo que la función no desempeñará ningún papel en la suposición de y . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P-|P|)=0}$ ${\displaystyle f^{-}}$ ${\displaystyle \phi _{r}}$ ${\displaystyle \phi _{l}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P+|P|)=0}$ ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle \phi _{r}}$ ${\displaystyle \phi _{r}}$

Por lo tanto, tiene en cuenta los valores de la propiedad en función de la dirección del flujo y, utilizando las funciones ponderadas, intenta lograr monotonía en la solución, produciendo así resultados sin choques espurios.

Limitaciones

Los esquemas monótonos son atractivos para resolver problemas científicos y de ingeniería porque no producen soluciones no físicas. El teorema de Godunov demuestra que los esquemas lineales que preservan la monotonía son, como máximo, precisos solo en el primer orden. Los esquemas lineales de orden superior, aunque más precisos para soluciones suaves, no son TVD y tienden a introducir oscilaciones espurias (meneos) donde surgen discontinuidades o choques. Para superar estos inconvenientes, se han desarrollado varias técnicas no lineales de alta resolución , a menudo utilizando limitadores de flujo/pendiente .

Véase también

• Limitadores de flujo
• Teorema de Godunov
• Esquema de alta resolución
• Esquema MUSCL
• Serguéi K. Godunov
• Variación total

Referencias

1. Harten, Ami (1983), "Esquemas de alta resolución para leyes de conservación hiperbólicas", J. Comput. Phys. , 49 (2): 357–393, Bibcode :1983JCoPh..49..357H, doi :10.1016/0021-9991(83)90136-5, hdl : 2060/19830002586
2. Versteeg, HK; Malalasekera, W. (2007). Introducción a la dinámica de fluidos computacional: el método de volumen finito (2.ª ed.). Harlow: Prentice Hall. ISBN 9780131274983.
3. Blazek, Jiri (2001). Dinámica de fluidos computacional: principios y aplicaciones (1.ª ed.). Londres: Elsevier. ISBN 9780080430096.

Lectura adicional

• Hirsch, C. (1990), Cálculo numérico de flujos internos y externos , Vol 2, Wiley.
• Laney, CB (1998), Dinámica computacional de gases , Cambridge University Press.
• Toro, EF (1999), Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos , Springer-Verlag.
• Tannehill, JC, Anderson, DA y Pletcher, RH (1997), Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor , 2.ª ed., Taylor & Francis.
• Wesseling, P. (2001), Principios de dinámica de fluidos computacional , Springer-Verlag.
• Anil W. Date Introducción a la dinámica de fluidos computacional , Cambridge University Press.