Clasificación de discontinuidades

Análisis matemático de puntos discontinuos

Las funciones continuas son de suma importancia en matemáticas , funciones y aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Si una función no es continua en un punto límite (también llamado punto de acumulación o punto de agrupamiento ) de su dominio , se dice que tiene una discontinuidad allí. El conjunto de todos los puntos de discontinuidad de una función puede ser un conjunto discreto , un conjunto denso o incluso el dominio completo de la función.

La oscilación de una función en un punto cuantifica estas discontinuidades de la siguiente manera:

• En una discontinuidad removible , la distancia en la que se desvía el valor de la función es la oscilación;
• en una discontinuidad de salto , el tamaño del salto es la oscilación (asumiendo que el valor en el punto se encuentra entre estos límites de los dos lados);
• En una discontinuidad esencial , la oscilación mide la falta de existencia de un límite .

Un caso especial es si la función diverge hacia el infinito o menos infinito , en cuyo caso la oscilación no está definida (en los números reales extendidos , esta es una discontinuidad removible).

Clasificación

Para cada uno de los siguientes, considere una función de valor real de una variable real definida en un entorno del punto en el que es discontinua. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Discontinuidad removible

La función del ejemplo 1, una discontinuidad removible

Considere la función por partes $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ for }}x<1\\0{\text{ (or possibly undefined)}}&{\text{ for }}x=1\\2-x&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

El punto es una discontinuidad removible . Para este tipo de discontinuidad: ${\displaystyle x_{0}=1}$

El límite unilateral desde la dirección negativa: y el límite unilateral desde la dirección positiva: en ambos existen, son finitos y son iguales a En otras palabras, dado que los dos límites unilaterales existen y son iguales, el límite de cuando tiende a existe y es igual a este mismo valor. Si el valor real de no es igual a o no está definido, entonces se llama $${\displaystyle L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)}$$ $${\displaystyle L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L=L^{-}=L^{+}.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle x_{0}}$discontinuidad removible . Esta discontinuidad se puede eliminar para hacer quesea continua eno, más precisamente, la función es continua en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0},}$ $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=x_{0}.}$

El término discontinuidad removible a veces se amplía para incluir una singularidad removible , en la que los límites en ambas direcciones existen y son iguales, mientras que la función no está definida en el punto ^[a]. Este uso es un abuso de la terminología porque la continuidad y la discontinuidad de una función son conceptos definidos solo para puntos en el dominio de la función. ${\displaystyle x_{0}.}$

Discontinuidad de salto

La función del ejemplo 2, una discontinuidad de salto

Considere la función $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0{\text{ (or possibly undefined)}}&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$$

Entonces, el punto es que ${\displaystyle x_{0}=1}$discontinuidad de salto

En este caso, no existe un límite único porque los límites laterales, y existen y son finitos, pero no son iguales: ya que, el límite no existe. Entonces, se llama discontinuidad de salto , discontinuidad de escalón o discontinuidad de primer tipo . Para este tipo de discontinuidad, la función puede tener cualquier valor en ${\displaystyle L^{-}}$ ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle L^{-}\neq L^{+},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Discontinuidad esencial

La función del ejemplo 3, una discontinuidad esencial

Para una discontinuidad esencial, al menos uno de los dos límites unilaterales no existe en . (Observe que uno o ambos límites unilaterales pueden ser ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pm \infty }$

Considere la función $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ for }}x>1.\end{cases}}}$$

Entonces, el punto es un ${\displaystyle x_{0}=1}$discontinuidad esencial

En este ejemplo, tanto y no existen en , por lo que se satisface la condición de discontinuidad esencial. Por lo tanto, es una discontinuidad esencial, una discontinuidad infinita o una discontinuidad de segundo tipo. (Esto es distinto de una singularidad esencial , que se utiliza a menudo al estudiar funciones de variables complejas ). ${\displaystyle L^{-}}$ ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$

Suponiendo que es una función definida en un intervalo denotaremos por el conjunto de todas las discontinuidades de en Por nos referiremos al conjunto de todos los tales que tienen una discontinuidad removible en Análogamente por denotamos el conjunto constituido por todos los tales que tienen una discontinuidad de salto en El conjunto de todos los tales que tienen una discontinuidad esencial en será denotado por Por supuesto entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle D=R\cup J\cup E.}$

Contar discontinuidades de una función

Las dos siguientes propiedades del conjunto son relevantes en la literatura. ${\displaystyle D}$

• El conjunto de es un conjunto . El conjunto de puntos en los que una función es continua es siempre un conjunto (véase ^[2] ). ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$
• Si en el intervalo es monótono entonces es como máximo contable y Este es el teorema de Froda . ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=J.}$

Tom Apostol ^[3] sigue parcialmente la clasificación anterior al considerar solo discontinuidades removibles y de salto. Su objetivo es estudiar las discontinuidades de funciones monótonas, principalmente para demostrar el teorema de Froda. Con el mismo propósito, Walter Rudin ^[4] y Karl R. Stromberg ^[5] estudian también discontinuidades removibles y de salto utilizando diferentes terminologías. Sin embargo, además, ambos autores afirman que siempre es un conjunto numerable (ver ^{[6] [7]} ). ${\displaystyle R\cup J}$

El término discontinuidad esencial tiene evidencia de uso en un contexto matemático desde 1889. ^[8] Sin embargo, el uso más temprano del término junto con una definición matemática parece haber sido dado en el trabajo de John Klippert. ^[9] Allí, Klippert también clasificó las discontinuidades esenciales subdividiendo el conjunto en los tres conjuntos siguientes: ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle E_{1}=\left\{x_{0}\in I:\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ do not exist in }}\mathbb {R} \right\},}$$ $${\displaystyle E_{2}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} \right\},}$$ $${\displaystyle E_{3}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} \right\}.}$$

Por supuesto, cuando se dice que siempre es una discontinuidad esencial de primera especie . Cualquiera se dice que es una discontinuidad esencial de segunda especie. Por lo tanto, amplía el conjunto sin perder su característica de ser numerable, al afirmar lo siguiente: ${\displaystyle E=E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in E_{1},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\in E_{2}\cup E_{3}}$ ${\displaystyle R\cup J}$

• El conjunto es contable. ${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$

Reescribiendo el teorema de Lebesgue

Cuando y es una función acotada, es bien conocida la importancia del conjunto en relación con la integrabilidad de Riemann de De hecho, el Teorema de Lebesgue (también llamado Teorema de Lebesgue-Vitali) establece que es integrable de Riemann en si y sólo si es un conjunto con medida de Lebesgue cero. ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle D}$

En este teorema parece que todo tipo de discontinuidades tienen el mismo peso en la obstrucción de que una función acotada sea integrable según Riemann. Como los conjuntos numerables son conjuntos de medida cero de Lebesgue y una unión numerable de conjuntos con medida cero de Lebesgue sigue siendo un conjunto de medida cero de Lebesgue, estamos viendo ahora que este no es el caso. De hecho, las discontinuidades en el conjunto son absolutamente neutrales en lo que respecta a la integrabilidad de Riemann de Las discontinuidades principales para ese propósito son las discontinuidades esenciales de primer tipo y, en consecuencia, el teorema de Lebesgue-Vitali puede reescribirse de la siguiente manera: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$ ${\displaystyle f.}$

• Una función acotada es integrable según el método de Riemann si y sólo si el conjunto correspondiente de todas las discontinuidades esenciales del primer tipo tiene medida de Lebesgue cero. ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle f}$

El caso donde corresponden a las siguientes situaciones complementarias clásicas bien conocidas de integrabilidad de Riemann de una función acotada : ${\displaystyle E_{1}=\varnothing }$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

• Si tiene límite por la derecha en cada punto de entonces es Riemann integrable en (ver ^[10] ) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b[}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$
• Si tiene límite izquierdo en cada punto de entonces es Riemann integrable en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$
• Si es una función regulada en entonces es Riemann integrable en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Ejemplos

La función de Thomae es discontinua en cada punto racional distinto de cero , pero continua en cada punto irracional . Se ve fácilmente que todas esas discontinuidades son eliminables. Según el primer párrafo, no existe una función que sea continua en cada punto racional , pero discontinua en cada punto irracional.

La función indicadora de los racionales, también conocida como función de Dirichlet , es discontinua en todas partes . Estas discontinuidades son todas esenciales también del primer tipo.

Consideremos ahora el conjunto ternario de Cantor y su función indicadora (o característica). Una forma de construir el conjunto de Cantor está dada por donde los conjuntos se obtienen por recurrencia de acuerdo con ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$ $${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)={\begin{cases}1&x\in {\mathcal {C}}\\0&x\in [0,1]\setminus {\mathcal {C}}.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}:=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ $${\displaystyle C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right){\text{ for }}n\geq 1,{\text{ and }}C_{0}=[0,1].}$$

En vista de las discontinuidades de la función supongamos un punto ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\not \in {\mathcal {C}}.}$

Por lo tanto existe un conjunto utilizado en la formulación de , que no contiene Es decir, pertenece a uno de los intervalos abiertos que se eliminaron en la construcción de De esta manera, tiene un entorno sin puntos de (De otra manera, se sigue la misma conclusión teniendo en cuenta que es un conjunto cerrado y por lo tanto su complementario con respecto a es abierto). Por lo tanto solo supone el valor cero en algún entorno de Por lo tanto es continuo en ${\displaystyle C_{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle C_{n}.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Esto significa que el conjunto de todas las discontinuidades de en el intervalo es un subconjunto de Dado que es un conjunto incontable con medida de Lebesgue nula , también es un conjunto de medida de Lebesgue nula y por lo tanto en lo que respecta al teorema de Lebesgue-Vitali es una función integrable de Riemann. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$

Más precisamente, se tiene De hecho, puesto que es un conjunto denso no-donde, si entonces ningún entorno de puede estar contenido en De esta manera, cualquier entorno de contiene puntos de y puntos que no son de En términos de la función esto significa que tanto y no existen. Es decir, donde por como antes, denotamos el conjunto de todas las discontinuidades esenciales de primer tipo de la función Claramente ${\displaystyle D={\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \left(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon \right)}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}1_{\mathcal {C}}(x)}$ ${\displaystyle D=E_{1},}$ ${\displaystyle E_{1},}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}.}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)dx=0.}$

Discontinuidades de derivadas

Sea un intervalo abierto, sea diferenciable en y sea la derivada de Es decir, para cada . Según el teorema de Darboux , la función derivada satisface la propiedad de valor intermedio. La función puede, por supuesto, ser continua en el intervalo , en cuyo caso también se aplica el teorema de Bolzano . Recordemos que el teorema de Bolzano afirma que toda función continua satisface la propiedad de valor intermedio. Por otro lado, la inversa es falsa: el teorema de Darboux no supone que sea continua y la propiedad de valor intermedio no implica que sea continua en ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$

El teorema de Darboux tiene, sin embargo, una consecuencia inmediata sobre el tipo de discontinuidades que puede tener. De hecho, si es un punto de discontinuidad de , entonces necesariamente es una discontinuidad esencial de . ^{[11] Esto significa en particular que} no pueden darse las dos situaciones siguientes : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

1. ${\displaystyle x_{0}}$es una discontinuidad removible de . ${\displaystyle f}$
2. ${\displaystyle x_{0}}$es una discontinuidad de salto de . ${\displaystyle f}$

Además, hay que excluir otras dos situaciones (véase John Klippert ^[12] ):

3. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\pm \infty .}$
4. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\pm \infty .}$

Obsérvese que siempre que se cumple una de las condiciones (i), (ii), (iii) o (iv) para alguien, se puede concluir que no posee una antiderivada, , en el intervalo . ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle I}$

Por otra parte, se puede introducir un nuevo tipo de discontinuidad con respecto a cualquier función: una discontinuidad esencial, , de la función , se dice que es una discontinuidad esencial fundamental de si ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\neq \pm \infty }$$y $${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\neq \pm \infty .}$$

Por lo tanto, si es una discontinuidad de una función derivada , entonces necesariamente es una discontinuidad esencial fundamental de . ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Nótese también que cuando y es una función acotada, como en los supuestos del Teorema de Lebesgue, tenemos para todo : y Por lo tanto, cualquier discontinuidad esencial de es fundamental. ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}f(x)\neq \pm \infty ,}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\neq \pm \infty ,}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}f(x)\neq \pm \infty .}$$ ${\displaystyle f}$

Véase también

• Singularidad removible  : punto indefinido en una función holomorfa que puede hacerse regular
• Singularidad matemática  : Punto donde una función, una curva u otro objeto matemático no se comporta regularmente.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Extensión por continuidad  : espacio topológico en el que un punto y un conjunto cerrado son, si están disjuntos, separables por vecindades.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Suavidad  – Número de derivadas de una función (matemáticas)
  • Continuidad geométrica  – Número de derivadas de una función (matemáticas)Pages displaying short descriptions of redirect targets
  • Continuidad paramétrica  – Número de derivadas de una función (matemáticas)Pages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Véase, por ejemplo, la última frase de la definición dada en Mathwords. ^[1]

Referencias

1. "Mathwords: Discontinuidad removible".
2. Stromberg, Karl R. (2015). Introducción al análisis real clásico . American Mathematical Society. págs. 120. Ejemplo 3 (c). ISBN 978-1-4704-2544-9.
3. Apostol, Tom (1974). Análisis matemático (segunda edición). Addison y Wesley. pp. 92, sec. 4.22, sec. 4.23 y ej. 4.63. ISBN 0-201-00288-4.
4. Walter, Rudin (1976). Principios del análisis matemático (tercera edición). McGraw-Hill. pp. 94, Def. 4.26, Tesis 4.29 y 4.30. ISBN 0-07-085613-3.
5. Stromberg, Karl R. Op. cit . págs. 128, Def. 3.87, Teo. 3.90.
6. Walter, Rudin. Op. cit ., págs. 100, ej. 17.
7. Stromberg, Karl R. Op. cit . págs. 131, Ex. 3.
8. Whitney, William Dwight (1889). The Century Dictionary: An Encyclopedic Lexicon of the English Language. Vol. 2. Londres y Nueva York: T. Fisher Unwin y The Century Company. pág. 1652. ISBN 9781334153952. Archivado desde el original el 16 de diciembre de 2008. Una discontinuidad esencial es una discontinuidad en la que el valor de la función se vuelve completamente indeterminable.
9. Klippert, John (febrero de 1989). "Cálculo avanzado avanzado: conteo de las discontinuidades de una función de valor real con dominio de intervalo". Revista de matemáticas . 62 : 43–48. doi :10.1080/0025570X.1989.11977410 – vía JSTOR.
10. Metzler, RC (1971). "Sobre la integrabilidad de Riemann". American Mathematical Monthly . 78 (10): 1129–1131. doi :10.1080/00029890.1971.11992961.
11. Rudin, Walter. Op.cit . pp. 109, Corolario.
12. Klippert, John (2000). "Sobre una discontinuidad de una derivada". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 31:S2: 282–287. doi :10.1080/00207390050032252.

Fuentes

• Malik, SC; Arora, Savita (1992). Análisis matemático (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-470-21858-4.

Enlaces externos

• "Discontinuo". PlanetMath .
• "Discontinuidad" de Ed Pegg, Jr. , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Weisstein, Eric W. "Discontinuidad". MathWorld .
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994]. "Punto de discontinuidad". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press .