Dipolo magnético

Análogo magnético del dipolo eléctrico

El campo magnético producido por dipolos magnéticos naturales (arriba a la izquierda), monopolos magnéticos (arriba a la derecha), una corriente eléctrica en un bucle circular (abajo a la izquierda) o en un solenoide (abajo a la derecha). Todos ellos generan el mismo perfil de campo cuando la disposición es infinitesimalmente pequeña. ^[1]

En electromagnetismo , un dipolo magnético es el límite de un bucle cerrado de corriente eléctrica o de un par de polos cuando el tamaño de la fuente se reduce a cero mientras se mantiene constante el momento magnético .

Es un análogo magnético del dipolo eléctrico , pero la analogía no es perfecta. En particular, nunca se ha observado en la naturaleza un monopolo magnético verdadero , el análogo magnético de una carga eléctrica . Sin embargo, se han observado cuasipartículas monopolares magnéticas como propiedades emergentes de ciertos sistemas de materia condensada. ^[2] Además, una forma de momento dipolar magnético está asociada con una propiedad cuántica fundamental: el espín de las partículas elementales .

Como no existen monopolos magnéticos, el campo magnético a una gran distancia de cualquier fuente magnética estática se parece al campo de un dipolo con el mismo momento dipolar. En el caso de fuentes de orden superior (por ejemplo, cuadrupolos ) sin momento dipolar, su campo decae hacia cero con la distancia más rápido que un campo dipolar.

Campo magnético externo producido por un momento dipolar magnético

Un análogo electrostático de un momento magnético: dos cargas opuestas separadas por una distancia finita. Cada flecha representa la dirección del vector de campo en ese punto.

El campo magnético de un bucle de corriente. El anillo representa el bucle de corriente, que entra en la página por la x y sale por el punto.

En física clásica , el campo magnético de un dipolo se calcula como el límite de un bucle de corriente o de un par de cargas a medida que la fuente se encoge hasta un punto mientras se mantiene constante el momento magnético m . Para el bucle de corriente, este límite se deriva más fácilmente del potencial vectorial : ^[3]

${\displaystyle {\mathbf {A} }({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{2}}}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}},}$

donde μ ₀ es la constante de permeabilidad al vacío y 4 π r ² es la superficie de una esfera de radio r . La densidad de flujo magnético (intensidad del campo B) es entonces ^[3]

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right].}$

Alternativamente, se puede obtener primero el potencial escalar a partir del límite del polo magnético,

${\displaystyle \psi ({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {r} }}{4\pi r^{3}}},}$

y por lo tanto la intensidad del campo magnético (o intensidad del campo H) es

${\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}.}$

La intensidad del campo magnético es simétrica en las rotaciones sobre el eje del momento magnético. En coordenadas esféricas, con , y con el momento magnético alineado con el eje z, la intensidad del campo se puede expresar de forma más sencilla como ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {r}} \cos \theta -{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\sin \theta }$

${\displaystyle \mathbf {H} ({\mathbf {r} })={\frac {|\mathbf {m} |}{4\pi r^{3}}}\left(2\cos \theta \,\mathbf {\hat {r}} +\sin \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right).}$

Campo magnético interno de un dipolo

Los dos modelos para un dipolo (bucle de corriente y polos magnéticos) dan las mismas predicciones para el campo magnético lejos de la fuente. Sin embargo, dentro de la región de la fuente dan predicciones diferentes. El campo magnético entre polos está en la dirección opuesta al momento magnético (que apunta desde la carga negativa a la carga positiva), mientras que dentro de un bucle de corriente está en la misma dirección (ver la figura a la derecha (arriba para usuarios móviles)). Claramente, los límites de estos campos también deben ser diferentes a medida que las fuentes se reducen a tamaño cero. Esta distinción solo importa si el límite dipolar se utiliza para calcular campos dentro de un material magnético.

Si se forma un dipolo magnético haciendo un bucle de corriente cada vez más pequeño, pero manteniendo constante el producto de la corriente por el área, el campo límite es

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right],}$

donde δ ( r ) es la función delta de Dirac en tres dimensiones. A diferencia de las expresiones de la sección anterior, este límite es correcto para el campo interno del dipolo.

Si se forma un dipolo magnético tomando un "polo norte" y un "polo sur", acercándolos cada vez más pero manteniendo constante el producto de la carga del polo magnético y la distancia, el campo límite es

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].}$

Estos campos están relacionados por B = μ ₀ ( H + M ) , donde

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )=\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )}$

es la magnetización .

Fuerzas entre dos dipolos magnéticos

La fuerza F ejercida por un momento dipolar m ₁ sobre otro m ₂ separado en el espacio por un vector r se puede calcular utilizando: ^[4]

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),}$

o ^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right],}$

donde r es la distancia entre dipolos. La fuerza que actúa sobre m ₁ es en dirección opuesta.

El par se puede obtener a partir de la fórmula

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.}$

Campos dipolares de fuentes finitas

El potencial escalar magnético ψ producido por una fuente finita, pero externa a ella, puede representarse mediante una expansión multipolar . Cada término de la expansión está asociado con un momento característico y un potencial que tiene una tasa característica de disminución con la distancia r desde la fuente. Los momentos monopolares tienen una tasa de disminución de 1/ r , los momentos dipolares tienen una tasa de 1/ r ² , los momentos cuadrupolares tienen una tasa de 1/ r ³ , y así sucesivamente. Cuanto mayor sea el orden, más rápido cae el potencial. Dado que el término de orden más bajo observado en las fuentes magnéticas es el término dipolar, domina a grandes distancias. Por lo tanto, a grandes distancias cualquier fuente magnética parece un dipolo del mismo momento magnético .

Notas

1. IS Grant, WR Phillips (2008). Electromagnetismo (2.ª ed.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
2. Monopolos magnéticos detectados en hielos de espín, 3 de septiembre de 2009.
3. Chow 2006, págs. 146-150
4. DJ Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson Education. pág. 276. ISBN 978-81-7758-293-2.
5. Furlani 2001, pág. 140
6. KW Yung; PB Landecker; DD Villani (1998). "Una solución analítica para la fuerza entre dos dipolos magnéticos" (PDF) . Consultado el 24 de noviembre de 2012 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )

Referencias

• Chow, Tai L. (2006). Introducción a la teoría electromagnética: una perspectiva moderna. Jones & Bartlett Learning . ISBN 978-0-7637-3827-3.
• Jackson, John D. (1975). Electrodinámica clásica (2.ª ed.). Wiley . ISBN 0-471-43132-X.
• Furlani, Edward P. (2001). Imanes permanentes y dispositivos electromecánicos: materiales, análisis y aplicaciones. Academic Press . ISBN 0-12-269951-3.
• Schill, RA (2003). "Relación general para el campo magnético vectorial de un bucle de corriente circular: una mirada más cercana". IEEE Transactions on Magnetics . 39 (2): 961–967. Bibcode :2003ITM....39..961S. doi :10.1109/TMAG.2003.808597.