dipolo magnético

Análogo magnético del dipolo eléctrico.

El campo magnético debido a dipolos magnéticos naturales (arriba a la izquierda), monopolos magnéticos (arriba a la derecha), una corriente eléctrica en un bucle circular (abajo a la izquierda) o en un solenoide (abajo a la derecha). Todos generan el mismo perfil de campo cuando la disposición es infinitamente pequeña. ^[1]

En electromagnetismo , un dipolo magnético es el límite de un circuito cerrado de corriente eléctrica o de un par de polos cuando el tamaño de la fuente se reduce a cero manteniendo constante el momento magnético .

Es un análogo magnético del dipolo eléctrico , pero la analogía no es perfecta. En particular, nunca se ha observado en la naturaleza un verdadero monopolo magnético , el análogo magnético de una carga eléctrica . Sin embargo, se han observado cuasipartículas monopolares magnéticas como propiedades emergentes de ciertos sistemas de materia condensada. ^[2] Además, una forma de momento dipolar magnético está asociada con una propiedad cuántica fundamental: el giro de las partículas elementales .

Como no existen monopolos magnéticos, el campo magnético a gran distancia de cualquier fuente magnética estática se parece al campo de un dipolo con el mismo momento dipolar. Para fuentes de orden superior (por ejemplo, cuadrupolos ) sin momento dipolar, su campo decae hacia cero con la distancia más rápido que un campo dipolar.

Campo magnético externo producido por un momento dipolar magnético.

Un análogo electrostático de un momento magnético: dos cargas opuestas separadas por una distancia finita. Cada flecha representa la dirección del vector de campo en ese punto.

El campo magnético de un bucle de corriente. El anillo representa el bucle actual, que entra en la página por la x y sale por el punto.

En física clásica , el campo magnético de un dipolo se calcula como el límite de un bucle de corriente o de un par de cargas cuando la fuente se contrae hasta un punto mientras se mantiene constante el momento magnético m . Para el bucle actual, este límite se deriva más fácilmente del potencial vectorial : ^[3]

${\displaystyle {\mathbf {A} }({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{2}}}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}},}$

donde μ ₀ es la constante de permeabilidad al vacío y 4 π r ² es la superficie de una esfera de radio r . La densidad de flujo magnético (intensidad del campo B) es entonces ^[3]

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right].}$

Alternativamente, se puede obtener primero el potencial escalar a partir del límite del polo magnético,

${\displaystyle \psi ({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {r} }}{4\pi r^{3}}},}$

y por lo tanto la intensidad del campo magnético (o intensidad del campo H) es

${\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}.}$

La intensidad del campo magnético es simétrica bajo rotaciones alrededor del eje del momento magnético. En coordenadas esféricas, con y con el momento magnético alineado con el eje z, entonces la intensidad del campo se puede expresar de manera más simple como ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {r}} \cos \theta -{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\sin \theta }$

${\displaystyle \mathbf {H} ({\mathbf {r} })={\frac {|\mathbf {m} |}{4\pi r^{3}}}\left(2\cos \theta \,\mathbf {\hat {r}} +\sin \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right).}$

Campo magnético interno de un dipolo

Los dos modelos para un dipolo (bucle de corriente y polos magnéticos) dan las mismas predicciones para el campo magnético lejos de la fuente. Sin embargo, dentro de la región de origen dan predicciones diferentes. El campo magnético entre polos está en la dirección opuesta al momento magnético (que apunta de la carga negativa a la carga positiva), mientras que dentro de un bucle de corriente está en la misma dirección (ver la figura a la derecha (arriba para usuarios móviles) )). Claramente, los límites de estos campos también deben ser diferentes a medida que las fuentes se reducen a tamaño cero. Esta distinción sólo importa si el límite dipolar se utiliza para calcular campos dentro de un material magnético.

Si se forma un dipolo magnético haciendo un bucle de corriente cada vez más pequeño, pero manteniendo constante el producto de la corriente y el área, el campo límite es

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right],}$

donde δ ( r ) es la función delta de Dirac en tres dimensiones. A diferencia de las expresiones del apartado anterior, este límite es correcto para el campo interno del dipolo.

Si un dipolo magnético se forma tomando un "polo norte" y un "polo sur", acercándolos cada vez más pero manteniendo constante el producto de la carga del polo magnético y la distancia, el campo límite es

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].}$

Estos campos están relacionados por B = μ ₀ ( H + M ) , donde

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )=\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )}$

es la magnetización .

Fuerzas entre dos dipolos magnéticos

La fuerza F ejercida por un momento dipolar m ₁ sobre otro m ₂ separado en el espacio por un vector r se puede calcular usando: ^[4]

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),}$

o ^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right],}$

donde r es la distancia entre dipolos. La fuerza que actúa sobre m ₁ es en dirección opuesta.

El par se puede obtener de la fórmula

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.}$

Campos dipolares de fuentes finitas

El potencial escalar magnético ψ producido por una fuente finita, pero externa a ella, puede representarse mediante una expansión multipolar . Cada término de la expansión está asociado con un momento característico y un potencial que tiene una tasa característica de disminución con la distancia r desde la fuente. Los momentos monopolares tienen una tasa de disminución de 1/ r , los momentos dipolares tienen una tasa ^de 1/ r2 , los momentos cuadrupolares tienen una tasa ^de 1/ r3 , y así sucesivamente. Cuanto mayor sea el orden, más rápido disminuirá el potencial. Dado que el término de orden más bajo observado en las fuentes magnéticas es el término dipolar, domina a grandes distancias. Por tanto, a grandes distancias cualquier fuente magnética parece un dipolo del mismo momento magnético .

Notas

1. Beca IS, WR Phillips (2008). Electromagnetismo (2ª ed.). Física de Manchester, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
2. Monopolos magnéticos detectados en hielos giratorios, 3 de septiembre de 2009.
3. Chow 2006, págs. 146-150
4. DJ Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Educación Pearson. pag. 276.ISBN​ 978-81-7758-293-2.
5. Furlani 2001, pag. 140
6. KW Yung; PB Landecker; DD Villani (1998). "Una solución analítica para la fuerza entre dos dipolos magnéticos" (PDF) . Consultado el 24 de noviembre de 2012 . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )

Referencias

• Chow, Tai L. (2006). Introducción a la teoría electromagnética: una perspectiva moderna. Aprendizaje de Jones y Bartlett . ISBN 978-0-7637-3827-3.
• Jackson, John D. (1975). Electrodinámica clásica (2ª ed.). Wiley . ISBN 0-471-43132-X.
• Furlani, Edward P. (2001). Dispositivos electromecánicos y de imanes permanentes: materiales, análisis y aplicaciones. Prensa académica . ISBN 0-12-269951-3.
• Schill, RA (2003). "Relación general para el campo magnético vectorial de un bucle de corriente circular: una mirada más cercana". Transacciones IEEE sobre magnetismo . 39 (2): 961–967. Código Bib : 2003ITM....39..961S. doi :10.1109/TMAG.2003.808597.