Dilución de la precisión (navegación)

Propagación de errores con topología variable

La dilución de la precisión ( DOP ), o dilución geométrica de la precisión ( GDOP ), es un término utilizado en la navegación por satélite y la ingeniería geomática para especificar la propagación de errores como un efecto matemático de la geometría del satélite de navegación en la precisión de la medición posicional.

Entender la dilución de la precisión con un ejemplo. En A, alguien ha medido la distancia a dos puntos de referencia y ha marcado su punto como la intersección de dos círculos con el radio medido. En B, la medición tiene algunos límites de error y su ubicación real estará en cualquier lugar del área verde. En C, el error de medición es el mismo, pero el error en su posición ha aumentado considerablemente debido a la disposición de los puntos de referencia.

DOP malo vs DOP bueno

Introducción

El concepto de dilución de precisión (DOP) se originó con los usuarios del sistema de navegación Loran-C . ^[1] La idea de la DOP geométrica es indicar cómo los errores en la medición afectarán la estimación del estado final. Esto se puede definir como: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {GDOP} ={\frac {\Delta ({\text{output location}})}{\Delta ({\text{measured data}})}}}$

Conceptualmente, se puede imaginar geométricamente que los errores en una medición dan como resultado un cambio en el término. Lo ideal es que pequeños cambios en los datos medidos no den como resultado grandes cambios en la ubicación de salida. Lo opuesto a este ideal es la situación en la que la solución es muy sensible a los errores de medición. La interpretación de esta fórmula se muestra en la figura de la derecha, que muestra dos posibles escenarios con un GDOP aceptable y uno deficiente. ${\displaystyle \Delta ({\text{measured data}})}$

Con la amplia adopción de sistemas de navegación por satélite , el término ha adquirido un uso mucho más amplio. Si se descuidan los efectos ionosféricos ^[3] y troposféricos ^[4] , la señal de los satélites de navegación tiene una precisión fija. Por lo tanto, la geometría relativa satélite-receptor desempeña un papel importante en la determinación de la precisión de las posiciones y los tiempos estimados. Debido a la geometría relativa de cualquier satélite dado con respecto a un receptor, la precisión en el pseudorango del satélite se traduce en un componente correspondiente en cada una de las cuatro dimensiones de la posición medida por el receptor (es decir, , , y ). La precisión de varios satélites a la vista de un receptor se combina de acuerdo con la posición relativa de los satélites para determinar el nivel de precisión en cada dimensión de la medición del receptor. Cuando los satélites de navegación visibles están cerca unos de otros en el cielo, se dice que la geometría es débil y el valor DOP es alto; cuando están lejos, la geometría es fuerte y el valor DOP es bajo. Consideremos dos anillos superpuestos, o annuli , de diferentes centros. Si se superponen en ángulos rectos, la mayor extensión de la superposición es mucho menor que si se superponen casi en paralelo. Por lo tanto, un valor de DOP bajo representa una mejor precisión posicional debido a la mayor separación angular entre los satélites utilizados para calcular la posición de una unidad. Otros factores que pueden aumentar la DOP efectiva son los obstáculos, como las montañas o los edificios cercanos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$

La DOP se puede expresar como un número de medidas separadas:

HDOP

Dilución horizontal de precisión

VDOP

Dilución vertical de precisión

PDOP

Dilución de precisión de posición (3D)

TDOP

Dilución temporal de la precisión

PDOG

Dilución geométrica de la precisión

Estos valores se deducen matemáticamente de las posiciones de los satélites utilizables. Los receptores de señales permiten visualizar estas posiciones ( skyplot ) así como los valores DOP.

El término también se puede aplicar a otros sistemas de localización que emplean varios sitios geográficamente espaciados. Puede aparecer en contramedidas electrónicas ( guerra electrónica ) al calcular la ubicación de emisores enemigos ( bloqueadores de radar y dispositivos de comunicación por radio). El uso de una técnica de interferometría de este tipo puede proporcionar una disposición geométrica determinada en la que existen grados de libertad que no se pueden tener en cuenta debido a configuraciones inadecuadas.

El efecto de la geometría de los satélites sobre el error de posición se denomina dilución geométrica de la precisión (GDOP) y se interpreta aproximadamente como la relación entre el error de posición y el error de alcance. Imaginemos que una pirámide cuadrada está formada por líneas que unen cuatro satélites con el receptor en la punta de la pirámide. Cuanto mayor sea el volumen de la pirámide, mejor (menor) será el valor de GDOP; cuanto menor sea su volumen, peor (mayor) será el valor de GDOP. De manera similar, cuanto mayor sea el número de satélites, mejor será el valor de GDOP.

Interpretación

Los factores DOP son funciones de los elementos diagonales de la matriz de covarianza de los parámetros, expresados ​​en un marco geodésico global o local.

Cálculo

Como primer paso para calcular el DOP, ^[5] considere los vectores unitarios del receptor al satélite : ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {x_{i}-x}{R_{i}}},{\frac {y_{i}-y}{R_{i}}},{\frac {z_{i}-z}{R_{i}}}\right),&R_{i}&={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}\end{aligned}}}$

donde denota la posición del receptor y denota la posición del satélite i. Formule la matriz A, que (para 4 ecuaciones residuales de medición de pseudodistancia) es: ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}-x}{R_{1}}}&{\frac {y_{1}-y}{R_{1}}}&{\frac {z_{1}-z}{R_{1}}}&1\\{\frac {x_{2}-x}{R_{2}}}&{\frac {y_{2}-y}{R_{2}}}&{\frac {z_{2}-z}{R_{2}}}&1\\{\frac {x_{3}-x}{R_{3}}}&{\frac {y_{3}-y}{R_{3}}}&{\frac {z_{3}-z}{R_{3}}}&1\\{\frac {x_{4}-x}{R_{4}}}&{\frac {y_{4}-y}{R_{4}}}&{\frac {z_{4}-z}{R_{4}}}&1\end{bmatrix}}}$

Los tres primeros elementos de cada fila de A son los componentes de un vector unitario desde el receptor hasta el satélite indicado. El último elemento de cada fila se refiere a la derivada parcial del pseudorango con respecto al sesgo del reloj del receptor. Formule la matriz, Q , como la matriz de covarianza resultante de la matriz normal de mínimos cuadrados :

${\displaystyle Q=\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}$

En general:

${\displaystyle Q=\left(J_{\mathsf {x}}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}J_{x}\right)^{-1}}$

donde es el jacobiano de las ecuaciones residuales de medición del sensor , con respecto a las incógnitas, ; es el jacobiano de las ecuaciones residuales de medición del sensor con respecto a las cantidades medidas , y es la matriz de correlación para el ruido en las cantidades medidas. ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)=0}$ ${\displaystyle {\underline {x}}}$ ${\displaystyle J_{d}}$ ${\displaystyle {\underline {d}}}$ ${\displaystyle C_{d}}$

Para el caso anterior de 4 ecuaciones residuales de medición de rango: , , , , , , , y se ha asumido que los ruidos de medición para los diferentes son independientes, lo que hace . ${\displaystyle {\underline {x}}=(x,y,z,\tau )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\underline {d}}=\left(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4}\right)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \tau =ct}$ ${\displaystyle \tau _{i}=ct_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}=|\tau _{i}-\tau |={\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}$ ${\displaystyle f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}-{\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}$ ${\displaystyle J_{x}=A}$ ${\displaystyle J_{d}=-I}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle C_{d}=I}$

Esta fórmula para Q surge de la aplicación de la mejor estimación lineal insesgada a una versión linealizada de las ecuaciones residuales de medición del sensor sobre la solución actual , excepto en el caso de BLUE es una matriz de covarianza de ruido en lugar de la matriz de correlación de ruido utilizada en DOP, y la razón por la que DOP hace esta sustitución es para obtener un error relativo . Cuando es una matriz de covarianza de ruido, es una estimación de la matriz de covarianza de ruido en las incógnitas debido al ruido en las cantidades medidas. Es la estimación obtenida por la técnica de cuantificación de incertidumbre de segundo momento de primer orden (FOSM) que era el estado del arte en la década de 1980. Para que la teoría FOSM sea estrictamente aplicable, las distribuciones de ruido de entrada deben ser gaussianas o las desviaciones estándar del ruido de medición deben ser pequeñas en relación con la tasa de cambio en la salida cerca de la solución. En este contexto, el segundo criterio es típicamente el que se satisface. ${\displaystyle \Delta {\underline {x}}=-Q*\left(J_{x}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}f\right)}$ ${\displaystyle C_{d}}$ ${\displaystyle C_{d}}$ ${\displaystyle Q}$

Este cálculo (es decir, para las 4 ecuaciones residuales de medición de tiempo de llegada/alcance) está de acuerdo con [6] donde la matriz de ponderación se simplifica a la matriz identidad. ${\displaystyle P=\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}}$

Obsérvese que P sólo se simplifica hasta la matriz de identidad porque todas las ecuaciones residuales de medición de sensores son ecuaciones de tiempo de llegada (pseudorango). En otros casos, por ejemplo, al intentar localizar a alguien que transmite en una frecuencia de socorro internacional , no se simplificaría hasta la matriz de identidad y en ese caso habría un componente de "DOP de frecuencia" o FDOP además del componente TDOP o en lugar de este. (En cuanto a "en lugar del componente TDOP": dado que los relojes de los satélites LEO del Programa Internacional Cospas-Sarsat heredados son mucho menos precisos que los relojes GPS, descartar sus mediciones de tiempo en realidad aumentaría la precisión de la solución de geolocalización). ${\displaystyle P}$

Los elementos de se designan como: ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}&\sigma _{xt}\\\sigma _{xy}&\sigma _{y}^{2}&\sigma _{yz}&\sigma _{yt}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{z}^{2}&\sigma _{zt}\\\sigma _{xt}&\sigma _{yt}&\sigma _{zt}&\sigma _{t}^{2}\end{bmatrix}}}$

PDOP, TDOP y GDOP se dan por: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}}}\\\operatorname {TDOP} &={\sqrt {\sigma _{t}^{2}}}\\\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {PDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {tr} Q}}\\\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que GDOP es la raíz cuadrada de la traza de la matriz. ${\displaystyle Q}$

La dilución horizontal y vertical de la precisión,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\sigma _{n}^{2}+\sigma _{e}^{2}}}\\\operatorname {VDOP} &={\sqrt {\sigma _{u}^{2}}}\end{aligned}}}$,

Ambos dependen del sistema de coordenadas utilizado. Para que corresponda con el sistema de coordenadas local este-norte-arriba ,

EDOP^2 xxx xNDOP^2xx xxVDOP^2x xxx TDOP^2

y las diluciones derivadas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}}}\\\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}}}\end{aligned}}}$

Véase también

• Error circular probable
• Cálculo de posicionamiento GNSS

Referencias

1. Richard B. Langley (mayo de 1999). «Dilución de la precisión» (PDF) . GPS World . Archivado (PDF) desde el original el 4 de octubre de 2011. Consultado el 12 de octubre de 2011 .
2. Dudek, Gregory ; Jenkin, Michael (2000). Principios computacionales de la robótica móvil . Cambridge University Press . ISBN 0-521-56876-5.
3. Paul Kintner, Universidad de Cornell; Todd Humphreys; Universidad de Texas-Austin; Joanna Hinks; Universidad de Cornell (julio-agosto de 2009). «GNSS y centelleo ionosférico: cómo sobrevivir al próximo máximo solar». Inside GNSS . Archivado desde el original el 6 de noviembre de 2011. Consultado el 12 de octubre de 2011 .
4. "Errores de GPS (tutorial de Trimble)". Archivado desde el original el 7 de marzo de 2016. Consultado el 8 de febrero de 2016 .
5. Isik, Oguz Kagan; Hong, Juhyeon; Petrunin, Ivan; Tsourdos, Antonios (25 de agosto de 2020). "Análisis de integridad para navegación basada en GPS de vehículos aéreos no tripulados en entornos urbanos". Robótica . 9 (3): 66. doi : 10.3390/robotics9030066 .
6. Sección 1.4.9 de Principios de posicionamiento por satélite.

Lectura adicional

• Factores DOP
• cálculo manual del PIB
• ERRORES DE POSICIÓN HORIZONTAL DE HDOP Y GPS

• Artículo sobre DOP y el programa de Trimble: Determinación de los efectos de la geometría del satélite GPS local en la precisión de la posición.
• Notas e imagen GIF sobre el cálculo manual del PIB: el oficio del geógrafo
• Errores de GPS y cálculo de la precisión del receptor: página web de Sam Wormley sobre precisión de GPS
• Precisión, errores y exactitud del GPS: Radio-Electronics.com Archivado el 22 de febrero de 2014 en Wayback Machine