Función digamma

Función matemática

La función digamma , visualizada mediante coloración de dominio ${\displaystyle \psi (z)}$

Gráficos de la digamma y las siguientes tres funciones poligamma a lo largo de la línea real (tienen valores reales en la línea real)

En matemáticas , la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma : ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle \psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.}$

Es la primera de las funciones poligammas . Esta función es estrictamente creciente y estrictamente cóncava en , ^[4] y se comporta asintóticamente como ^[5] ${\displaystyle (0,\infty )}$

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},}$

para números complejos con módulo grande ( ) en el sector con alguna constante positiva infinitesimalmente pequeña . ${\displaystyle |z|\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |\arg z|<\pi -\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

La función digamma a menudo se denota como o Ϝ ^[6] (la forma mayúscula de la consonante griega arcaica digamma que significa doble gamma ). ${\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)}$

Relación con los números armónicos

La función gamma obedece a la ecuación

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,}$

Tomando el logaritmo en ambos lados y utilizando la propiedad de ecuación funcional de la función log-gamma se obtiene:

${\displaystyle \log \Gamma (z+1)=\log(z)+\log \Gamma (z),}$

Diferenciando ambos lados con respecto a z obtenemos:

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

Dado que los números armónicos se definen para números enteros positivos n como

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

La función digamma está relacionada con ellos por

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

donde H ₀ = 0, y γ es la constante de Euler-Mascheroni . Para argumentos semienteros la función digamma toma los valores

${\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.}$

Representaciones integrales

Si la parte real de z es positiva entonces la función digamma tiene la siguiente representación integral debido a Gauss: ^[7]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.}$

Combinando esta expresión con una identidad integral para la constante de Euler-Mascheroni se obtiene: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.}$

La integral es el número armónico de Euler , por lo que la fórmula anterior también puede escribirse ${\displaystyle H_{z}}$

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.}$

Una consecuencia es la siguiente generalización de la relación de recurrencia:

${\displaystyle \psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.}$

Una representación integral debida a Dirichlet es: ^[7]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.}$

La representación integral de Gauss se puede manipular para dar el inicio de la expansión asintótica de . ^[8] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.}$

Esta fórmula es también una consecuencia de la primera integral de Binet para la función gamma. La integral puede reconocerse como una transformada de Laplace .

La segunda integral de Binet para la función gamma da una fórmula diferente que también da los primeros términos de la expansión asintótica: ^[9] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

De la definición y la representación integral de la función gamma, se obtiene ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,}$

con . ^[10] ${\displaystyle \Re z>0}$

Representación infinita de productos

La función es una función entera, ^[11] y puede representarse mediante el producto infinito ${\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}$

${\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.}$

Aquí está el k -ésimo cero de (ver abajo), y es la constante de Euler-Mascheroni . ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma }$

Nota: Esto también es igual a debido a la definición de la función digamma: . ${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ ${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$

Representación en serie

Fórmula de la serie

La fórmula del producto de Euler para la función gamma, combinada con la ecuación funcional y una identidad para la constante de Euler-Mascheroni, produce la siguiente expresión para la función digamma, válida en el plano complejo fuera de los números enteros negativos (Abramowitz y Stegun 6.3.16): ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}}$

De manera equivalente,

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots .\end{aligned}}}$

Evaluación de sumas de funciones racionales

La identidad anterior se puede utilizar para evaluar sumas de la forma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},}$

donde p ( n ) y q ( n ) son polinomios de n .

Realizando fracciones parciales sobre u _n en el cuerpo complejo, en el caso en que todas las raíces de q ( n ) sean raíces simples,

${\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.}$

Para que la serie converja,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,}$

De lo contrario, la serie será mayor que la serie armónica y, por lo tanto, divergirá.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}}$

Con la expansión en serie de la función poligamma de rango superior , se puede obtener una fórmula generalizada como

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),}$

siempre que la serie de la izquierda converja.

Serie de Taylor

La digamma tiene una serie zeta racional , dada por la serie de Taylor en z = 1. Esto es

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,\zeta (k+1)\,z^{k},}$

que converge para | z | < 1 . Aquí, ζ ( n ) es la función zeta de Riemann . Esta serie se deriva fácilmente de la serie de Taylor correspondiente para la función zeta de Hurwitz .

Serie de Newton

La serie de Newton para la digamma, a veces denominada serie de Stern , derivada por Moritz Abraham Stern en 1847, ^{[12] [13] [14]} se lee

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (s)&=-\gamma +(s-1)-{\frac {(s-1)(s-2)}{2\cdot 2!}}+{\frac {(s-1)(s-2)(s-3)}{3\cdot 3!}}\cdots ,\quad \Re (s)>0,\\&=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s-1}{k}}\cdots ,\quad \Re (s)>0.\end{aligned}}}$

dónde (^es
_​) es elcoeficiente binomial. También se puede generalizar a

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,}$

donde m = 2, 3, 4, ... ^[13]

Series con coeficientes de Gregory, números de Cauchy y polinomios de Bernoulli de segundo tipo

Existen varias series para el digamma que contienen coeficientes racionales sólo para los argumentos racionales. En particular, la serie con coeficientes de Gregory G _n es

${\displaystyle \psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

donde ( v ) _n es el factorial ascendente ( v ) _n = v ( v +1)( v +2) ... ( v + n -1) , G _n ( k ) son los coeficientes de Gregory de orden superior con G _n (1) = G _n , Γ es la función gamma y ζ es la función zeta de Hurwitz . ^{[15] [13]} Serie similar con los números de Cauchy de segundo tipo C _n se lee ^{[15] [13]}

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>1,}$

Una serie con los polinomios de Bernoulli del segundo tipo tiene la siguiente forma ^[13]

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,}$

donde ψ _n ( a ) son los polinomios de Bernoulli de segundo tipo definidos por la ecuación generadora

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,}$

Se puede generalizar a

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots }$

donde los polinomios N _n,r ( a ) están dados por la siguiente ecuación generatriz

${\displaystyle {\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,}$

de modo que N _n,1 ( a ) = ψ _n ( a ) . ^[13] Expresiones similares con el logaritmo de la función gamma involucran estas fórmulas ^[13]

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,}$

y

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},}$

donde y . ${\displaystyle \Re (v)>-a}$ ${\displaystyle r=2,3,4,\ldots }$

Fórmula de reflexión

Las funciones digamma y poligamma satisfacen fórmulas de reflexión similares a la de la función gamma :

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}$.

${\displaystyle \psi '(-x)+\psi '(x)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {1}{x^{2}}}}$.

Fórmula de recurrencia y caracterización

La función digamma satisface la relación de recurrencia

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}$

Por lo tanto, se puede decir que tiene un "telescopio" .1/incógnita⁠ , porque uno tiene

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

donde Δ es el operador de diferencia hacia adelante . Esto satisface la relación de recurrencia de una suma parcial de la serie armónica , lo que implica la fórmula

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni .

En realidad, ψ es la única solución de la ecuación funcional

${\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}$

que es monótona en R ⁺ y satisface F (1) = − γ . Este hecho se desprende inmediatamente de la unicidad de la función Γ dada su ecuación de recurrencia y restricción de convexidad. Esto implica la útil ecuación diferencial:

${\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}$

Algunas sumas finitas que involucran la función digamma

Existen numerosas fórmulas de suma finita para la función digamma. Fórmulas de suma básicas, como

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

se deben a Gauss. ^{[16] [17]} Fórmulas más complicadas, como

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

se deben a obras de ciertos autores modernos (véase, por ejemplo, el Apéndice B en Blagouchine (2014) ^[18] ).

También tenemos ^[19]

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k-1}}-\gamma ={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(1+{\frac {n}{k}}\right),k=2,3,...}$

Teorema de Gauss

Para los números enteros positivos r y m ( r < m ), la función digamma puede expresarse en términos de la constante de Euler y un número finito de funciones elementales ^[20]

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

lo cual es válido, debido a su ecuación de recurrencia, para todos los argumentos racionales.

Teorema de multiplicación

El teorema de multiplicación de la función es equivalente a ^[21] ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \psi (nz)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\psi \left(z+{\frac {k}{n}}\right)+\ln n.}$

Expansión asintótica

La función digamma tiene la expansión asintótica

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-n)}{z^{n}}}=\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}},}$

donde B _k es el k-ésimo número de Bernoulli y ζ es la función zeta de Riemann . Los primeros términos de esta expansión son:

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .}$

Aunque la suma infinita no converge para ningún z , cualquier suma parcial finita se vuelve cada vez más precisa a medida que z aumenta.

La expansión se puede encontrar aplicando la fórmula de Euler-Maclaurin a la suma ^[22]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)}$

La expansión también se puede derivar de la representación integral que surge de la segunda fórmula integral de Binet para la función gamma. Al expandir como una serie geométrica y sustituir una representación integral de los números de Bernoulli se obtiene la misma serie asintótica que la anterior. Además, al expandir solo un número finito de términos de la serie se obtiene una fórmula con un término de error explícito: ${\displaystyle t/(t^{2}+z^{2})}$

${\displaystyle \psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

Desigualdades

Cuando x > 0 , la función

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)}$

es completamente monótona y en particular positiva. Esto es una consecuencia del teorema de Bernstein sobre funciones monótonas aplicado a la representación integral proveniente de la primera integral de Binet para la función gamma. Además, por la desigualdad de convexidad , el integrando en esta representación está acotado superiormente por . En consecuencia ${\displaystyle 1+t\leq e^{t}}$ ${\displaystyle e^{-tz}/2}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-\ln x+\psi (x)}$

también es completamente monótona. De ello se deduce que, para todo x > 0 ,

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \ln x-{\frac {1}{2x}}.}$

Esto recupera un teorema de Horst Alzer. ^[23] Alzer también demostró que, para s ∈ (0, 1) ,

${\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),}$

Elezovic, Giordano y Pecaric obtuvieron límites relacionados y demostraron que, para x > 0 ,

${\displaystyle \ln(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\ln(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni . ^[24] Las constantes ( y ) que aparecen en estos límites son las mejores posibles. ^[25] ${\displaystyle \gamma =-\psi (1)}$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle e^{-\gamma }\approx 0.56}$

El teorema del valor medio implica el siguiente análogo de la desigualdad de Gautschi : Si x > c , donde c ≈ 1,461 es la única raíz real positiva de la función digamma, y ​​si s > 0 , entonces

${\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).}$

Además, la igualdad se cumple si y sólo si s = 1. ^[26 ]

Inspirados por la desigualdad del valor medio armónico para la función gamma clásica, Horzt Alzer y Graham Jameson demostraron, entre otras cosas, una desigualdad del valor medio armónico para la función digamma:

${\displaystyle -\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}}$para ${\displaystyle x>0}$

La igualdad se cumple si y sólo si . ^[27] ${\displaystyle x=1}$

Cálculo y aproximación

La expansión asintótica proporciona una manera fácil de calcular ψ ( x ) cuando la parte real de x es grande. Para calcular ψ ( x ) para x pequeño , se utiliza la relación de recurrencia

${\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)}$

se puede utilizar para desplazar el valor de x a un valor mayor. Beal ^[28] sugiere utilizar la recurrencia anterior para desplazar x a un valor mayor que 6 y luego aplicar la expansión anterior con términos por encima de x ¹⁴ , lo que produce "precisión más que suficiente" (al menos 12 dígitos excepto cerca de los ceros).

A medida que x tiende al infinito, ψ ( x ) se acerca arbitrariamente a ambos ln( x − ⁠1/2⁠ ) ​​y ln x . Al descender de x + 1 a x , ψ disminuye en ⁠1/incógnita⁠ , ln( x − ⁠1/2⁠ ) ​​disminuye en ln( x + ⁠1/2⁠ ) ​​/ ( x − ⁠1/2) , que es más que ⁠1/incógnita⁠ , y ln x disminuye en ln(1 + ⁠1/incógnita⁠ ) ​​, que es menor que ⁠1/incógnita⁠ . De esto vemos que para cualquier x positivo mayor que ⁠1/2⁠ ,

${\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)}$

o, para cualquier x positivo ,

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).}$

La expresión exponencial ψ ( x ) es aproximadamente x − ⁠1/2⁠ para x grande, pero se acerca a x en x pequeño, acercándose a 0 en x = 0 .

Para x < 1 , podemos calcular límites basados ​​en el hecho de que entre 1 y 2, ψ ( x ) ∈ [− γ , 1 − γ ] , por lo que

${\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)}$

o

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).}$

A partir de la serie asintótica anterior para ψ , se puede derivar una serie asintótica para exp(− ψ ( x )) . La serie coincide bien con el comportamiento general, es decir, se comporta asintóticamente como debería para argumentos grandes y también tiene un cero de multiplicidad ilimitada en el origen.

${\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }$

Esto es similar a una expansión de Taylor de exp(− ψ (1 / y )) en y = 0 , pero no converge. ^[29] (La función no es analítica en el infinito). Existe una serie similar para exp( ψ ( x )) que comienza con ${\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}$

Si se calcula la serie asintótica para ψ ( x +1/2) resulta que no hay potencias impares de x (no hay término x ⁻¹ ). Esto conduce a la siguiente expansión asintótica, que ahorra el cálculo de términos de orden par.

${\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots }$

Similar en espíritu a la aproximación de Lanczos de la función es la aproximación de Spouge . ${\displaystyle \Gamma }$

Otra alternativa es utilizar la relación de recurrencia o la fórmula de multiplicación para desplazar el argumento de dentro del rango y evaluar allí la serie de Chebyshev. ^{[30] [31]} ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle 1\leq x\leq 3}$

Valores especiales

La función digamma tiene valores en forma cerrada para números racionales, como resultado del teorema de digamma de Gauss. A continuación se enumeran algunos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}}$

Además, al tomar la derivada logarítmica de o donde tiene un valor real, se puede deducir fácilmente que ${\displaystyle |\Gamma (bi)|^{2}}$ ${\displaystyle |\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).}$

Aparte del teorema de Gauss, no se conoce ninguna fórmula cerrada para la parte real en general. Tenemos, por ejemplo, en la unidad imaginaria la aproximación numérica

${\displaystyle \operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.}$

Raíces de la función digamma

Las raíces de la función digamma son los puntos de silla de la función gamma de valor complejo. Por lo tanto, todos se encuentran en el eje real . El único que se encuentra en el eje real positivo es el mínimo único de la función gamma de valor real en R ⁺ en x ₀ =1.461 632 144 968 362 341 26 ... . Todos los demás aparecen solos entre los polos del eje negativo:

x1 =_​−0,504 083 008 264 455 409 25 ...

x2 =_​−1.573 498 473 162 390 458 77 ...

x3 =_​−2.610 720 868 444 144 650 00 ...

x4 =_​−3.635 293 366 436 901 097 83 ...

${\displaystyle \vdots }$

Ya en 1881, Charles Hermite observó ^[32] que

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}$

se cumple asintóticamente. Una mejor aproximación de la ubicación de las raíces se da por

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2}$

Y usando un término adicional se vuelve aún mejor.

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1}$

que ambos surgen de la fórmula de reflexión a través de

${\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}$

y sustituyendo ψ ( x _n ) por su expansión asintótica no convergente. El segundo término correcto de esta expansión es ⁠1/2 n⁠ , donde el dado funciona bien para aproximar raíces con n pequeño .

Otra mejora de la fórmula de Hermite se puede dar: ^[11]

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).}$

Respecto a los ceros, las siguientes identidades de suma infinita fueron demostradas recientemente por István Mező y Michael Hoffman ^{[11] [33]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}}$

En general, la función

${\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}}$

se puede determinar y es estudiado en detalle por los autores citados.

Los siguientes resultados ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}}$

También es cierto.

Regularización

La función digamma aparece en la regularización de integrales divergentes

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},}$

Esta integral se puede aproximar mediante una serie armónica general divergente, pero se puede asignar el siguiente valor a la serie

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}$

Véase también

• Función poligamma
• Función trigamma
• Expansiones de Chebyshev de la función digamma en Wimp, Jet (1961). "Aproximaciones polinómicas a transformadas integrales". Math. Comp . 15 (74): 174–178. doi : 10.1090/S0025-5718-61-99221-3 .

Referencias

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3. Weisstein, Eric W. "Función Digama". MathWorld .
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5. "NIST. Biblioteca digital de funciones matemáticas (DLMF), 5.11".
6. Pairman, Eleanor (1919). Tablas de las funciones digamma y trigamma. Cambridge University Press. pág. 5.
7. Whittaker y Watson, 12.3.
8. Whittaker y Watson, 12.31.
9. Whittaker y Watson, 12.32, ejemplo.
10. "NIST. Biblioteca digital de funciones matemáticas (DLMF), 5.9".
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29. Si convergiera a una función f ( y ), entonces ln( f ( y ) / y ) tendría la misma serie de Maclaurin que ln(1 / y ) − φ (1 / y ) . Pero esto no converge porque la serie dada anteriormente para φ ( x ) no converge.
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Enlaces externos

• Secuencia OEIS A020759 (Expansión decimal de (-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2) donde Gamma(x) denota la función Gamma)—psi(1/2)

OEIS : A047787 psi(1/3), OEIS : A200064 psi(2/3),OEIS: A020777 psi(1/4) , OEIS : A200134 psi(3/4), OEIS : A200135 a OEIS : A200138 psi(1/5) a psi(4/5).