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Ecuación de sistemas bioquímicos

La ecuación de sistemas bioquímicos es una ecuación compacta de ecuaciones diferenciales no lineales para describir un modelo cinético para cualquier red de reacciones bioquímicas acopladas y procesos de transporte. [1] [2]

La ecuación se expresa de la siguiente forma:

La notación de la variable dependiente x varía entre los distintos autores. Por ejemplo, algunos autores utilizan s , que indica la especie. [2] Aquí se utiliza x para que coincida con la notación del espacio de estados que se utiliza en la teoría de control, pero cualquiera de las dos notaciones es aceptable.

es la matriz de estequiometría , que es una matriz de coeficientes de estequiometría. es el número de especies y el número de reacciones bioquímicas. La notación para también es variable. En el modelado basado en restricciones, el símbolo tiende a usarse para indicar "estequiometría". Sin embargo, en el modelado dinámico bioquímico [3] y el análisis de sensibilidad , tiende a usarse más comúnmente para indicar "número". En el dominio de la química, el símbolo utilizado para la matriz de estequiometría es muy variable, aunque los símbolos S y N se han utilizado en el pasado. [4] [5]

es un vector columna n-dimensional de velocidades de reacción, y es un vector columna p-dimensional de parámetros.

Ejemplo

Dada la red bioquímica:

donde y son especies fijas para garantizar que el sistema sea abierto. La ecuación del sistema se puede escribir como: [1] [6]

De modo que:

Los elementos del vector de velocidad serán ecuaciones de velocidad que son funciones de una o más especies y parámetros, p. En el ejemplo, podrían ser leyes de velocidad de acción de masas simples, como donde es el parámetro de la constante de velocidad. Las leyes particulares elegidas dependerán del sistema específico en estudio. Suponiendo una cinética de acción de masas, la ecuación anterior se puede escribir en forma completa como:

Análisis

La ecuación del sistema se puede analizar observando la respuesta lineal de la ecuación alrededor del estado estable con respecto al parámetro . [7] En el estado estable, la ecuación del sistema se establece en cero y se expresa mediante:

Diferenciando la ecuación con respecto a y reordenando se obtiene:

Esta derivación supone que la matriz estequiométrica tiene rango completo. Si no es así, la inversa no existiría.

Ejemplo

Por ejemplo, considere el mismo problema de la sección anterior de una cadena lineal. La matriz es la matriz de elasticidad sin escalar :

En este problema específico hay 3 especies ( ) y 4 pasos de reacción ( ), por lo tanto, la matriz de elasticidad es una matriz. Sin embargo, un número de entradas en la matriz será cero. Por ejemplo será cero ya que no tiene efecto sobre . La matriz, por lo tanto, contendrá las siguientes entradas:

La matriz de parámetros depende de los parámetros que se consideren. En el análisis de control metabólico , un conjunto común de parámetros son las actividades enzimáticas. A modo de argumento, podemos equiparar las constantes de velocidad con los parámetros de actividad enzimática. También asumimos que cada enzima, , solo puede afectar su propio paso y ningún otro. La matriz es la matriz de elasticidad sin escalar con respecto a los parámetros. Dado que hay 4 pasos de reacción y 4 parámetros correspondientes, la matriz será una matriz de 4 por 4. Dado que cada parámetro solo afecta a una reacción, la matriz será una matriz diagonal:

Como hay 3 especies y 4 reacciones, la matriz resultante será una matriz de 3 por 4.

Cada expresión de la matriz describe cómo un parámetro determinado influye en la concentración en estado estacionario de una especie determinada. Nótese que esta es la derivada sin escalar. Suele ocurrir que la derivada se escala según el parámetro y la concentración para eliminar unidades y convertir la medida en un cambio relativo.

Supuestos

La ecuación de sistemas bioquímicos parte de dos supuestos clave:

  1. Las especies existen en un reactor bien agitado, por lo que no hay gradientes espaciales. [8] [9] [10]
  2. Las concentraciones de especies son lo suficientemente altas como para que los efectos estocásticos sean insignificantes [11] [12] [13]

Véase también

Referencias

  1. ^ ab Reder, Christine (noviembre de 1988). "Teoría del control metabólico: un enfoque estructural". Journal of Theoretical Biology . 135 (2): 175–201. Bibcode :1988JThBi.135..175R. doi :10.1016/S0022-5193(88)80073-0. PMID  3267767.
  2. ^ ab Hofmeyr, Jan-hendrik S. (2001). "Análisis del control metabólico, en pocas palabras". En Actas de la 2.ª Conferencia Internacional sobre Biología de Sistemas : 291–300. CiteSeerX 10.1.1.324.922 . 
  3. ^ Stucki, Jörg W. (1979). "Análisis de estabilidad de sistemas bioquímicos: una guía práctica". Progreso en biofísica y biología molecular . 33 (2): 99–187. doi :10.1016/0079-6107(79)90027-0. PMID  674688.
  4. ^ Fjeld, M.; Asbjørnsen, OA; Åström, KJ (septiembre de 1974). "Invariantes de reacción y su importancia en el análisis de vectores propios, observabilidad del estado y controlabilidad del reactor de tanque agitado continuo". Chemical Engineering Science . 29 (9): 1917–1926. Bibcode :1974ChEnS..29.1917F. doi :10.1016/0009-2509(74)85009-8.
  5. ^ Park, David JM (1 de septiembre de 1975). "SMISS, inversión de matriz estequiométrica para redes metabólicas en estado estacionario". Programas informáticos en biomedicina . 5 (1): 46–60. doi :10.1016/0010-468X(75)90026-4. PMID  1164840.
  6. ^ Cornish-Bowden, Athel; Hofmeyr, Jan-Hendrik S. (mayo de 2002). "El papel del análisis estequiométrico en los estudios del metabolismo: un ejemplo". Journal of Theoretical Biology . 216 (2): 179–191. Bibcode :2002JThBi.216..179C. doi :10.1006/jtbi.2002.2547. PMID  12079370.
  7. ^ Enrique, Reinhart; Schuster, Stefan (1996). La regulación de los sistemas celulares . Nueva York, Nueva York: Springer. ISBN 0412032619.
  8. ^ Cowan, Ann E.; Moraru, Ion I.; Schaff, James C.; Slepchenko, Boris M.; Loew, Leslie M. (2012). "Modelado espacial de redes de señalización celular". Métodos computacionales en biología celular . Vol. 110. págs. 195–221. doi :10.1016/B978-0-12-388403-9.00008-4. ISBN 9780123884039. PMC  3519356 . PMID  22482950.
  9. ^ Fell, David A. (mayo de 1980). "Análisis teóricos del funcionamiento de las fosfodiesterasas de nucleótidos cíclicos de Km alto y bajo en la regulación de la concentración de adenosina 3',5'-monofosfato cíclico en células animales". Journal of Theoretical Biology . 84 (2): 361–385. Bibcode :1980JThBi..84..361F. doi :10.1016/S0022-5193(80)80011-7. PMID  6251314.
  10. ^ Kholodenko, Boris N. (marzo de 2006). "Dinámica de la señalización celular en el tiempo y el espacio". Nature Reviews Molecular Cell Biology . 7 (3): 165–176. doi :10.1038/nrm1838. PMC 1679905 . PMID  16482094. 
  11. ^ Gillespie, Daniel T. (diciembre de 1977). "Simulación estocástica exacta de reacciones químicas acopladas". The Journal of Physical Chemistry . 81 (25): 2340–2361. doi :10.1021/j100540a008. S2CID  2606191.
  12. ^ Gillespie, Daniel T. (1 de mayo de 2007). "Simulación estocástica de la cinética química". Revista anual de química física . 58 (1): 35–55. Bibcode :2007ARPC...58...35G. doi :10.1146/annurev.physchem.58.032806.104637. PMID  17037977.
  13. ^ Andrews, Steven S; Bray, Dennis (septiembre de 2004). "Simulación estocástica de reacciones químicas con resolución espacial y detalle de moléculas individuales". Biología física . 1 (3): 137–151. Bibcode :2004PhBio...1..137A. doi :10.1088/1478-3967/1/3/001. PMID  16204833. S2CID  16394428.