En geometría , el boceto de curvas (o trazado de curvas ) son técnicas para producir una idea aproximada de la forma general de una curva plana dada su ecuación, sin calcular la gran cantidad de puntos necesarios para un trazado detallado. Es una aplicación de la teoría de curvas para encontrar sus características principales.
Los siguientes suelen ser fáciles de realizar y dan pistas importantes sobre la forma de una curva:
El diagrama de Newton (también conocido como paralelogramo de Newton , en honor a Isaac Newton ) es una técnica para determinar la forma de una curva algebraica cercana y alejada del origen. Consiste en trazar (α, β) para cada término Ax α y β en la ecuación de la curva. Luego se analiza el diagrama resultante para producir información sobre la curva.
Específicamente, dibuje una línea diagonal que conecte dos puntos en el diagrama de modo que todos los demás puntos estén encima o a la derecha y encima de él. Existe al menos una de esas líneas si la curva pasa por el origen. Sea la ecuación de la recta q α+ p β= r . Supongamos que la curva se aproxima mediante y = Cx p/q cerca del origen. Entonces el término Ax α y β es aproximadamente Dx α+βp/q . El exponente es r/q cuando (α, β) está en la recta y es mayor cuando está arriba y a la derecha. Por lo tanto, los términos significativos cerca del origen bajo este supuesto son sólo los que se encuentran en la línea y los demás pueden ignorarse; produce una ecuación aproximada simple para la curva. Puede haber varias líneas diagonales, cada una de las cuales corresponde a una o más ramas de la curva, y las ecuaciones aproximadas de las ramas se pueden encontrar aplicando este método a cada línea por turno.
Por ejemplo, el folio de Descartes está definido por la ecuación
Entonces el diagrama de Newton tiene puntos en (3, 0), (1, 1) y (0, 3). Se pueden dibujar dos líneas diagonales como se describió anteriormente, 2α+β=3 y α+2β=3. Estos producen
como ecuaciones aproximadas para las ramas horizontal y vertical de la curva donde se cruzan en el origen. [2]
De Gua amplió el diagrama de Newton para formar una técnica llamada triángulo analítico (o triángulo de De Gua ). Los puntos (α, β) se trazan como con el método del diagrama de Newton, pero se agrega la línea α+β= n , donde n es el grado de la curva, para formar un triángulo que contiene el diagrama. Este método considera todas las líneas que limitan el polígono convexo más pequeño que contiene los puntos trazados (ver casco convexo ). [3]
