Ejemplos coloreados según el número de lados de cada cara: triángulos amarillos, cuadrados rojos y pentágonos verdes .Un teseracto proyectado en un espacio tridimensional como un diagrama de Schlegel. Se ven ocho celdas cúbicas : la celda exterior en la que se proyectan las demás, una debajo de cada una de las seis caras exteriores y una en el centro.
En geometría , un diagrama de Schlegel es una proyección de un politopo desde dentro a través de un punto justo fuera de una de sus facetas . La entidad resultante es una subdivisión politópica de la faceta en la que, junto con la faceta original, es combinatoriamente equivalente al politopo original. El diagrama recibe su nombre de Victor Schlegel , quien en 1886 introdujo esta herramienta para estudiar las propiedades combinatorias y topológicas de los politopos. En dimensión 3, un diagrama de Schlegel es una proyección de un poliedro en una figura plana ; en dimensión 4, es una proyección de un 4-politopo en un espacio 3-dimensional . Como tal, los diagramas de Schlegel se utilizan comúnmente como un medio para visualizar politopos de cuatro dimensiones .
Construcción
El diagrama de Schlegel más elemental, el de un poliedro, fue descrito por Duncan Sommerville de la siguiente manera: [1]
Un método muy útil para representar un poliedro convexo es la proyección plana. Si se proyecta desde cualquier punto externo, como cada rayo lo corta dos veces, se representará como un área poligonal dividida dos veces en polígonos. Siempre es posible, mediante la elección adecuada del centro de proyección, hacer que la proyección de una cara contenga completamente las proyecciones de todas las demás caras. Esto se llama diagrama de Schlegel del poliedro. El diagrama de Schlegel representa completamente la morfología del poliedro. A veces es conveniente proyectar el poliedro desde un vértice; este vértice se proyecta al infinito y no aparece en el diagrama, las aristas que lo atraviesan se representan mediante líneas dibujadas hacia afuera.
Sommerville también considera el caso de un símplex en cuatro dimensiones: [2] "El diagrama de Schlegel del símplex en S 4 es un tetraedro dividido en cuatro tetraedros". De manera más general, un politopo en n-dimensiones tiene un diagrama de Schlegel construido mediante una proyección en perspectiva vista desde un punto fuera del politopo, sobre el centro de una faceta. Todos los vértices y aristas del politopo se proyectan sobre un hiperplano de esa faceta. Si el politopo es convexo, existirá un punto cerca de la faceta que mapea la faceta hacia afuera y todas las demás facetas hacia adentro, por lo que no es necesario que las aristas se crucen en la proyección.
Ejemplos
Véase también
Red (poliedro) : un enfoque diferente para la visualización que reduce la dimensión de un politopo consiste en construir una red, desconectando las facetas y desplegándolas hasta que las facetas puedan existir en un único hiperplano. Esto mantiene la escala y la forma geométricas, pero hace que las conexiones topológicas sean más difíciles de ver.
Victor Schlegel (1883) Theorie der homogene zusammengesetzten Raumgebilde , Nova Acta, Ksl. Leop.-Carol. Deutsche Akademie der Naturforscher, Banda XLIV, nr. 4, Druck von E. Blochmann & Sohn en Dresde. [1]
Victor Schlegel (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper , Waren.
