Desigualdad de Vysochanskij-Petunin

En teoría de la probabilidad , la desigualdad de Vysochanskij– Petunin proporciona un límite inferior para la probabilidad de que una variable aleatoria con varianza finita se encuentre dentro de un cierto número de desviaciones estándar de la media de la variable , o equivalentemente, un límite superior para la probabilidad de que se encuentre más lejos. Las únicas restricciones de la distribución son que sea unimodal y tenga varianza finita ; aquí, unimodal implica que es una distribución de probabilidad continua excepto en la moda , que puede tener una probabilidad distinta de cero.

Teorema

Sea una variable aleatoria con distribución unimodal, y . Si definimos entonces para cualquier , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\mathbb {E} [(X-\alpha )^{2}]}}}$ ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\begin{cases}{\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}}&r\geq {\sqrt {8/3}}\rho \\{\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}&r\leq {\sqrt {8/3}}\rho .\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Relación con la desigualdad de Gauss

Tomando igual a un modo de se obtiene el primer caso de la desigualdad de Gauss . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X}$

Estrechez del límite

Sin pérdida de generalidad, supongamos y . ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \rho =1}$

• Si , el lado izquierdo puede ser igual a uno, por lo que el límite es inútil. ${\displaystyle r<1}$

• Si , el límite es estrecho cuando hay probabilidad y en caso contrario se distribuye uniformemente en el intervalo . ${\displaystyle r\geq {\sqrt {8/3}}}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle 1-{\frac {4}{3r^{2}}}}$ ${\displaystyle \left[-{\frac {3r}{2}},{\frac {3r}{2}}\right]}$

• Si , el límite es estrecho cuando hay probabilidad y en caso contrario se distribuye uniformemente en el intervalo . ${\displaystyle 1\leq r\leq {\sqrt {8/3}}}$ ${\displaystyle X=r}$ ${\displaystyle {\frac {4}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle \left[-{\frac {r}{2}},r\right]}$

Especialización en media y varianza

Si tiene media y varianza finita y distinta de cero , entonces tomando y da que para cualquier ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =\mu }$ ${\displaystyle r=\lambda \sigma }$ ${\textstyle \lambda >{\sqrt {\frac {8}{3}}}=1.63299...,}$

${\displaystyle \operatorname {Pr} (\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma )\leq {\frac {4}{9\lambda ^{2}}}.}$

Bosquejo de prueba

Para una prueba relativamente elemental, véase. ^[1] La idea básica detrás de la prueba es que hay dos casos: uno donde el modo de está cerca de comparado con , en cuyo caso podemos demostrar , y otro donde el modo de está lejos de comparado con , en cuyo caso podemos demostrar . Combinando estos dos casos obtenemos Cuando , los dos casos dan el mismo valor. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq \max \left({\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}},{\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}\right).}$ ${\displaystyle {\frac {r}{\rho }}={\sqrt {\frac {8}{3}}}}$

Propiedades

El teorema refina la desigualdad de Chebyshev al incluir el factor 4/9, que es posible gracias a la condición de que la distribución sea unimodal.

Es común, en la construcción de gráficos de control y otras heurísticas estadísticas, establecer λ = 3 , correspondiente a un límite de probabilidad superior de 4/81 = 0,04938..., y construir límites de 3 sigma para limitar casi todos (es decir, el 95 %) los valores de salida de un proceso. Sin unimodalidad, la desigualdad de Chebyshev daría un límite más flexible de 1/9 = 0,11111... .

Versión de una sola cara

Existe una versión mejorada de la desigualdad de Vysochanskij-Petunin para cotas de cola unilaterales. Para una variable aleatoria unimodal con media y varianza , y , la desigualdad de Vysochanskij-Petunin unilateral ^[2] se cumple de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle r\geq 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} (X-\mu \geq r)\leq {\begin{cases}{\dfrac {4}{9}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{r^{2}+\sigma ^{2}}}&{\mbox{for }}r^{2}\geq {\dfrac {5}{3}}\sigma ^{2},\\{\dfrac {4}{3}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{r^{2}+\sigma ^{2}}}-{\dfrac {1}{3}}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

La desigualdad unilateral de Vysochanskij-Petunin, así como la desigualdad de Cantelli relacionada , pueden ser relevantes, por ejemplo, en el área financiera, en el sentido de "qué tan malas pueden llegar a ser las pérdidas".

Prueba

La prueba es muy similar a la de la desigualdad de Cantelli . Para cualquier , ${\displaystyle u\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (X-\mu \geq r)&=\mathbb {P} ((X+u)-\mu \geq r+u)\\&\leq \mathbb {P} (|(X+u)-\mu )|\geq r+u).\\\end{aligned}}}$

Luego podemos aplicar la desigualdad de Vysochanskij-Petunin. Con , tenemos: ${\displaystyle \rho ^{2}=\mathbb {E} [((X+u)-\mu )^{2}]=u^{2}+\sigma ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (|(X+u)-\mu )|\geq r+u)&\leq {\begin{cases}{\frac {4}{9}}{\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}&r+u\geq {\sqrt {8/3}}\rho \\{\frac {4}{3}}{\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}-{\frac {1}{3}}&r+u\leq {\sqrt {8/3}}\rho \end{cases}}.\end{aligned}}}$

Al igual que en la prueba de la desigualdad de Cantelli, se puede demostrar que el mínimo de en general se alcanza en . Sustituyendo este valor de y simplificando se obtiene la desigualdad deseada. ${\displaystyle {\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}}$ ${\displaystyle u\geq 0}$ ${\displaystyle u=\sigma ^{2}/r}$ ${\displaystyle u}$

Generalización

Dharmadhikari y Joag-Dev ^[3] generalizaron la desigualdad VP a desviaciones de un punto arbitrario y momentos de orden distintos de ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(|X-\alpha |\geq r)\leq \max \left\{{\frac {s\tau _{k}-r^{k}}{(s-1)r^{k}}},\left[{\frac {k}{k+1}}\right]^{k}{\frac {\tau _{k}}{r^{k}}}\right\}\\\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{k}=E\left(|X-\alpha |^{k}\right),s>(k+1),s(s-k-1)^{k}=k^{k}\end{aligned}}}$

La forma estándar de la desigualdad se puede recuperar estableciendo que conduce a un valor único de . ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle s=4}$

Véase también

• Desigualdad de Gauss , un resultado similar para la distancia desde la moda en lugar de la media
• Regla de tres (estadística) , un resultado similar para la distribución de Bernoulli

Referencias

1. Pukelsheim, F., 1994. La regla de las tres sigmas. The American Statistician, 48(2), pp.88-91
2. Mercadier, Mathieu; Strobel, Frank (16 de noviembre de 2021). "Una desigualdad unilateral de Vysochanskii-Petunin con aplicaciones financieras" (PDF) . Revista Europea de Investigación Operativa . 295 (1): 374–377. doi :10.1016/j.ejor.2021.02.041. ISSN  0377-2217.
3. Dharmadhikari, SW y Joag-Dev, K., 1986. La desigualdad de Gauss-Tchebyshev para distribuciones unimodales. Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, 30(4), págs. 867-871.

• DF Vysochanskij, YI Petunin (1980). "Justificación de la regla 3σ para distribuciones unimodales". Teoría de la probabilidad y estadística matemática . 21 : 25–36.
• Informe (sobre el diagnóstico del cáncer) de Petunin y otros que enuncia el teorema en inglés