El lema de Titu

Desigualdad matemática

En matemáticas , la siguiente desigualdad se conoce como lema de Titu , desigualdad de Bergström , forma de Engel o desigualdad de Sedrakyan , respectivamente, haciendo referencia al artículo About the applications of one useful inequality de Nairi Sedrakyan publicado en 1997, ^[1] al libro Problem-solving strategies de Arthur Engel publicado en 1998 y al libro Mathematical Olympiad Treasures de Titu Andreescu publicado en 2003. ^{[2] [3]} Es una consecuencia directa de la desigualdad de Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz . Sin embargo, en su artículo (1997) Sedrakyan ha notado que escrita en esta forma esta desigualdad puede usarse como una técnica de prueba y tiene nuevas aplicaciones muy útiles. En el libro Algebraic Inequalities (Sedrakyan) se proporcionan varias generalizaciones de esta desigualdad. ^[4]

Enunciado de la desigualdad

Para cualquier número real y real positivo tenemos ( Nairi Sedrakyan (1997), Arthur Engel (1998), Titu Andreescu (2003)) ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},}$ ${\displaystyle {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\frac {\left(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}}.}$

Declaración probabilística

De manera similar a la desigualdad de Cauchy-Schwarz , se puede generalizar la desigualdad de Sedrakyan a variables aleatorias . En esta formulación, sea una variable aleatoria real y sea una variable aleatoria positiva. X e Y no necesitan ser independientes , pero suponemos que y están definidos. Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E[|X|]}$ ${\displaystyle E[Y]}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}/Y]\geq \operatorname {E} [|X|]^{2}/\operatorname {E} [Y]\geq \operatorname {E} [X]^{2}/\operatorname {E} [Y].}$$

Aplicaciones directas

Ejemplo 1. Desigualdad de Nesbitt .

Para números reales positivos ${\displaystyle a,b,c:}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

Ejemplo 2. Olimpiada Internacional de Matemáticas (OMI) 1995.

Para números reales positivos , donde tenemos que ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle abc=1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a^{3}(b+c)}}+{\frac {1}{b^{3}(a+c)}}+{\frac {1}{c^{3}(a+b)}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

Ejemplo 3.

Para números reales positivos tenemos que ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle 8(a^{4}+b^{4})\geq (a+b)^{4}.}$

Ejemplo 4.

Para números reales positivos tenemos que ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {9}{2(a+b+c)}}.}$

Pruebas

Ejemplo 1.

Prueba : Utilice y para concluir: ${\displaystyle n=3,}$ ${\displaystyle \left(a_{1},a_{2},a_{3}\right):=(a,b,c),}$ ${\displaystyle \left(b_{1},b_{2},b_{3}\right):=(a(b+c),b(c+a),c(a+b))}$ $${\displaystyle {\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(c+a)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {(a+b+c)^{2}}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2(ab+bc+ca)}}+1\geq {\frac {1}{2}}(1)+1={\frac {3}{2}}.\blacksquare }$$

Ejemplo 2.

Nosotros tenemos eso ${\displaystyle {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}{\Big )}^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{b}}{\Big )}^{2}}{b(a+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{2(ab+bc+ac)}}={\frac {ab+bc+ac}{2a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq {\frac {3{\sqrt[{3}]{a^{2}b^{2}c^{2}}}}{2a^{2}b^{2}c^{2}}}={\frac {3}{2}}.}$

Ejemplo 3.

Tenemos para que ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{1}}+{\frac {b^{2}}{1}}\geq {\frac {(a+b)^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle a^{4}+b^{4}={\frac {\left(a^{2}\right)^{2}}{1}}+{\frac {\left(b^{2}\right)^{2}}{1}}\geq {\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{2}}\geq {\frac {\left({\frac {(a+b)^{2}}{2}}\right)^{2}}{2}}={\frac {(a+b)^{4}}{8}}.}$

Ejemplo 4.

Nosotros tenemos eso ${\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {(1+1+1)^{2}}{2(a+b+c)}}={\frac {9}{2(a+b+c)}}.}$

Referencias

1. Sedrakyan, Nairi (1997). "Acerca de las aplicaciones de una desigualdad útil". Kvant Journal. pp. 42–44, 97(2), Moscú.
2. Sedrakyan, Nairi (1997). Una desigualdad útil. Springer International Publishing. p. 107. ISBN 9783319778365.
3. "Enunciado de la desigualdad". Brilliant Math & Science. 2018.
4. Sedrakyan, Nairi (2018). Desigualdades algebraicas. Springer International Publishing. Págs. 107-109.