En matemáticas , una suma de caracteres es una suma de valores de un carácter de Dirichlet χ módulo N , tomados en un rango dado de valores de n . Tales sumas son básicas en una serie de preguntas, por ejemplo en la distribución de residuos cuadráticos , y en particular en la pregunta clásica de encontrar un límite superior para el módulo N sin residuos menos cuadrático . Las sumas de caracteres suelen estar estrechamente vinculadas a las sumas exponenciales mediante las sumas de Gauss (esto es como una transformada finita de Mellin ).
Supongamos que χ es un carácter de Dirichlet no principal del módulo N.
La suma de todas las clases de residuos mod N es entonces cero. Esto significa que los casos de interés serán sumas en rangos relativamente cortos, de longitud R < N digamos,
Una mejora fundamental con respecto a la estimación trivial es la desigualdad de Pólya-Vinogradov , establecida de forma independiente por George Pólya e IM Vinogradov en 1918, [1] [2] afirmando en notación O grande que
Asumiendo la hipótesis generalizada de Riemann , Hugh Montgomery y RC Vaughan han demostrado [3] que existe una mejora adicional
Otro tipo significativo de suma de caracteres es el formado por
para alguna función F , generalmente un polinomio . Un resultado clásico es el caso de una cuadrática, por ejemplo,
y χ un símbolo de Legendre . Aquí la suma se puede evaluar (como −1), un resultado que está relacionado con la función zeta local de una sección cónica .
De manera más general, tales sumas para el símbolo de Jacobi se relacionan con funciones zeta locales de curvas elípticas y curvas hiperelípticas ; esto significa que, según los resultados de André Weil , para N = p un número primo , existen límites no triviales
La constante implícita en la notación es lineal en el género de la curva en cuestión, por lo que (símbolo de Legendre o caso hiperelíptico) puede tomarse como el grado de F. ( A partir de ahí se pueden obtener resultados más generales, para otros valores de N ).
Los resultados de Weil también llevaron al límite de Burgess , [4] aplicando para dar resultados no triviales más allá de Pólya-Vinogradov, para R una potencia de N mayor que 1/4.
Supongamos que el módulo N es primo.
para cualquier número entero r ≥ 3. [5]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma &\ll p^{1/2}\log p,\\[6pt]\Sigma &\ll 2R^{1/2}p^{3/16}\ log p,\\[6pt]\Sigma &\ll rR^{1-1/r}p^{(r+1)/4r^{2}}(\log p)^{1/2r}\end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2019c847b7e537667da527a8837f634b851461a4)