Desigualdad de Hitchin-Thorpe

En geometría diferencial, la desigualdad de Hitchin-Thorpe es una relación que restringe la topología de 4-variedades que llevan una métrica de Einstein .

Enunciado de la desigualdad de Hitchin-Thorpe

Sea M una variedad lisa , cerrada , orientada y de cuatro dimensiones . Si existe una métrica de Riemann en M que sea una métrica de Einstein , entonces

${\displaystyle \chi (M)\geq {\frac {3}{2}}|\tau (M)|,}$

donde χ( M ) es la característica de Euler de M y τ( M ) es la firma de M .

Esta desigualdad fue enunciada por primera vez por John Thorpe en una nota a pie de página de un artículo de 1969 centrado en variedades de mayor dimensión. ^[1] Nigel Hitchin luego redescubrió la desigualdad y dio una caracterización completa del caso de igualdad en 1974; ^[2] encontró que si ( M , g ) es una variedad de Einstein para la cual se obtiene la igualdad en la desigualdad de Hitchin-Thorpe, entonces la curvatura de Ricci de g es cero; si la curvatura seccional no es idénticamente igual a cero, entonces ( M , g ) es una variedad de Calabi–Yau cuya cubierta universal es una superficie K3 .

Ya en 1961, Marcel Berger demostró que la característica de Euler es siempre no negativa. ^{[3] [4]}

Prueba

Sea ( M , g ) una variedad riemanniana suave de cuatro dimensiones que es Einstein. Dado cualquier punto p de M , existe una base g _p -ortonormal e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ del espacio tangente T _p M tal que el operador de curvatura Rm _p , que es una función lineal simétrica de ∧ ² T _p M en sí misma, tiene matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0&\mu _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0&0&\mu _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}&0&0&\mu _{3}\\\mu _{1}&0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&\mu _{2}&0&0&\lambda _{2}&0\\0&0&\mu _{3}&0&0&\lambda _{3}\end{pmatrix}}}$

relativo a la base e ₁ ∧ e ₂ , e ₁ ∧ e ₃ , e ₁ ∧ e ₄ , e ₃ ∧ e _​​4 , e ₄ ∧ e ₂ , e ₂ ∧ e ₃ . Se tiene que μ ₁ + μ ₂ + μ ₃ es cero y que λ ₁ + λ ₂ + λ ₃ es un cuarto de la curvatura escalar de g en p . Además, bajo las condiciones λ ₁ ≤ λ ₂ ≤ λ ₃ y μ ₁ ≤ μ ₂ ≤ μ ₃ , cada una de estas seis funciones está determinada de forma única y define una función continua de valor real en M .

Según la teoría de Chern-Weil , si M está orientada, entonces la característica de Euler y la firma de M se pueden calcular mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (M)&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{M}{\big (}\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}+\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}+\mu _{3}^{2}{\big )}\,d\mu _{g}\\\tau (M)&={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\int _{M}{\big (}\lambda _{1}\mu _{1}+\lambda _{2}\mu _{2}+\lambda _{3}\mu _{3}{\big )}\,d\mu _{g}.\end{aligned}}}$

Equipada con estas herramientas, la desigualdad de Hitchin-Thorpe equivale a la observación elemental

${\displaystyle \lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}+\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}+\mu _{3}^{2}=\underbrace {(\lambda _{1}-\mu _{1})^{2}+(\lambda _{2}-\mu _{2})^{2}+(\lambda _{3}-\mu _{3})^{2}} _{\geq 0}+2{\big (}\lambda _{1}\mu _{1}+\lambda _{2}\mu _{2}+\lambda _{3}\mu _{3}{\big )}.}$

Fallo de lo inverso

Una pregunta natural que se plantea es si la desigualdad de Hitchin-Thorpe proporciona una condición suficiente para la existencia de métricas de Einstein. En 1995, Claude LeBrun y Andrea Sambusetti demostraron de forma independiente que la respuesta es no: existen infinitas variedades de 4-variedades M no homeomórficas, compactas, suaves y orientadas que no tienen métricas de Einstein pero que, sin embargo, satisfacen

${\displaystyle \chi (M)>{\frac {3}{2}}|\tau (M)|.}$

Los ejemplos de LeBrun están en realidad simplemente conectados, y la obstrucción relevante depende de la estructura suave de la variedad. ^[5] Por el contrario, la obstrucción de Sambusetti sólo se aplica a 4-variedades con grupo fundamental infinito, pero la estimación de volumen-entropía que utiliza para demostrar la no existencia sólo depende del tipo de homotopía de la variedad. ^[6]

Notas al pie

1. Thorpe, J. (1969). "Algunas observaciones sobre la fórmula de Gauss-Bonnet". J. Math. Mech . 18 (8): 779–786. JSTOR  24893137.
2. Hitchin, N. (1974). "Variedades de Einstein compactas de cuatro dimensiones". J. Diff. Geom . 9 (3): 435–442. doi : 10.4310/jdg/1214432419 .
3. Berger, Marcel (1961). "Sur quelques variétés d'Einstein compactes". Annali di Matematica Pura ed Applicata (en francés). 53 (1): 89–95. doi : 10.1007/BF02417787 . ISSN  0373-3114. S2CID  117985766.
4. Besse, Arthur L. (1987). Variedades de Einstein . Clásicos de las matemáticas. Berlín: Springer. ISBN 3-540-74120-8.
5. LeBrun, C. (1996). "Cuatro variedades sin métricas de Einstein". Math. Res. Lett . 3 (2): 133–147. doi : 10.4310/MRL.1996.v3.n2.a1 .
6. Sambusetti, A. (1996). "Una obstrucción a la existencia de métricas de Einstein en 4-variedades". CR Acad. Sci. París . 322 (12): 1213–1218. ISSN  0764-4442.

Referencias

• Besse, Arthur L. (1987). Variedades de Einstein . Clásicos de las matemáticas. Berlín: Springer. ISBN 3-540-74120-8.