Desigualdad de FKG

Desigualdad de correlación

En matemáticas, la desigualdad de Fortuin–Kasteleyn–Ginibre (FKG) es una desigualdad de correlación , una herramienta fundamental en la mecánica estadística y la combinatoria probabilística (especialmente los grafos aleatorios y el método probabilístico ), debida a Cees M. Fortuin, Pieter W. Kasteleyn y Jean Ginibre  (1971). De manera informal, dice que en muchos sistemas aleatorios, los eventos crecientes están correlacionados positivamente, mientras que un evento creciente y uno decreciente están correlacionados negativamente. Se obtuvo estudiando el modelo de conglomerados aleatorios .

Una versión anterior, para el caso especial de variables iid , llamada desigualdad de Harris , se debe a Theodore Edward Harris  (1960), véase más abajo. Una generalización de la desigualdad de FKG es la desigualdad de Holley (1974) que aparece más abajo, y una generalización aún mayor es el teorema de las "cuatro funciones" de Ahlswede-Daykin (1978) . Además, tiene la misma conclusión que las desigualdades de Griffiths , pero las hipótesis son diferentes.

La desigualdad

Sea una red distributiva finita , y μ una función no negativa en ella, que se supone que satisface la condición de red ( FKG ) (a veces una función que satisface esta condición se llama log supermodular ), es decir, ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (x\wedge y)\mu (x\vee y)\geq \mu (x)\mu (y)}$

para todos los x , y en la red . ${\displaystyle X}$

La desigualdad FKG dice entonces que para dos funciones monótonamente crecientes ƒ y g en , se cumple la siguiente desigualdad de correlación positiva: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left(\sum _{x\in X}f(x)g(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}\mu (x)\right)\geq \left(\sum _{x\in X}f(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}g(x)\mu (x)\right).}$

La misma desigualdad (correlación positiva) es cierta cuando tanto ƒ como g son decrecientes. Si uno es creciente y el otro es decreciente, entonces están correlacionados negativamente y la desigualdad anterior se invierte.

De manera más general, se aplican afirmaciones similares cuando no es necesariamente finito, ni siquiera contable. En ese caso, μ tiene que ser una medida finita y la condición reticular tiene que definirse utilizando eventos cilíndricos ; véase, por ejemplo, la Sección 2.2 de Grimmett (1999). ${\displaystyle X}$

Para demostraciones, véase Fortuin, Kasteleyn y Ginibre (1971) o la desigualdad de Ahlswede-Daykin (1978) . Además, a continuación se ofrece un esbozo aproximado, obra de Holley (1974), utilizando un argumento de acoplamiento de cadenas de Markov .

Variaciones sobre la terminología

La condición reticular para μ también se denomina positividad total multivariada y, a veces , condición FKG fuerte ; el término condición FKG ( multiplicativa ) también se utiliza en la literatura más antigua.

La propiedad de μ de que las funciones crecientes están correlacionadas positivamente también se denomina tener asociaciones positivas o condición FKG débil .

Por tanto, el teorema FKG puede reformularse como "la condición FKG fuerte implica la condición FKG débil".

Un caso especial: la desigualdad de Harris

Si la red está totalmente ordenada , entonces la condición de red se satisface trivialmente para cualquier medida μ . En caso de que la medida μ sea uniforme, la desigualdad FKG es la desigualdad de suma de Chebyshev : si las dos funciones crecientes toman valores y , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}}$

${\displaystyle {\frac {a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}{n}}\geq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\;{\frac {b_{1}+\cdots +b_{n}}{n}}.}$

De manera más general, para cualquier medida de probabilidad μ en y funciones crecientes ƒ y g , ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)\,d\mu (x)\geq \int _{\mathbb {R} }f(x)\,d\mu (x)\,\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\mu (x),}$

lo cual se sigue inmediatamente de

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]\,d\mu (x)\,d\mu (y)\geq 0.}$

La condición de red se satisface trivialmente también cuando la red es el producto de redes totalmente ordenadas, y es una medida de producto. A menudo, todos los factores (tanto las redes como las medidas) son idénticos, es decir, μ es la distribución de probabilidad de variables aleatorias iid . ${\displaystyle X=X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{1}\otimes \cdots \otimes \mu _{n}}$

La desigualdad FKG para el caso de una medida de producto también se conoce como desigualdad de Harris en honor a Harris (Harris 1960), quien la encontró y la utilizó en su estudio de la percolación en el plano. Una prueba de la desigualdad de Harris que utiliza el truco de la doble integral anterior se puede encontrar, por ejemplo, en la Sección 2.2 de Grimmett (1999). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ejemplos sencillos

Un ejemplo típico es el siguiente. Colorea cada hexágono de la red infinita en forma de panal de abeja de negro con probabilidad y de blanco con probabilidad , independientemente uno del otro. Sean a, b, c, d cuatro hexágonos, no necesariamente distintos. Sean y los eventos de que exista un camino negro de a a b y un camino negro de c a d , respectivamente. Entonces la desigualdad de Harris dice que estos eventos están correlacionados positivamente: . En otras palabras, suponer la presencia de un camino solo puede aumentar la probabilidad del otro. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle a\leftrightarrow b}$ ${\displaystyle c\leftrightarrow d}$ ${\displaystyle \Pr(a\leftrightarrow b,\ c\leftrightarrow d)\geq \Pr(a\leftrightarrow b)\Pr(c\leftrightarrow d)}$

De manera similar, si coloreamos aleatoriamente los hexágonos dentro de un tablero hexagonal en forma de rombo , entonces los eventos de que haya un cruce negro del lado izquierdo del tablero al lado derecho están correlacionados positivamente con tener un cruce negro del lado superior al inferior. Por otro lado, tener un cruce negro de izquierda a derecha está correlacionado negativamente con tener un cruce blanco de arriba a abajo, ya que el primero es un evento creciente (en la cantidad de negrura), mientras que el segundo es decreciente. De hecho, en cualquier coloración del tablero hexagonal sucede exactamente uno de estos dos eventos; es por eso que el hex es un juego bien definido. ${\displaystyle n\times n}$

En el gráfico aleatorio de Erdős–Rényi , la existencia de un ciclo hamiltoniano está correlacionada negativamente con la 3-colorabilidad del gráfico , ya que el primero es un evento creciente, mientras que el último es decreciente.

Ejemplos de mecánica estadística

En mecánica estadística, la fuente habitual de medidas que satisfacen la condición reticular (y, por tanto, la desigualdad FKG) es la siguiente:

Si es un conjunto ordenado (como ), y es un grafo finito o infinito , entonces el conjunto de configuraciones con valores es un conjunto poset que es una red distributiva. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{-1,+1\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S^{\Gamma }}$ ${\displaystyle S}$

Ahora bien, si es un potencial submodular (es decir, una familia de funciones ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi _{\Lambda }:S^{\Lambda }\longrightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty \},}$

uno para cada finito , de modo que cada uno sea submodular ), entonces se definen los hamiltonianos correspondientes como ${\displaystyle \Lambda \subset \Gamma }$ ${\displaystyle \Phi _{\Lambda }}$

${\displaystyle H_{\Lambda }(\varphi ):=\sum _{\Delta \cap \Lambda \not =\emptyset }\Phi _{\Delta }(\varphi ).}$

Si μ es una medida de Gibbs extremal para este hamiltoniano en el conjunto de configuraciones , entonces es fácil demostrar que μ satisface la condición de red, véase Sheffield (2005). ${\displaystyle \varphi }$

Un ejemplo clave es el modelo de Ising en un gráfico . Sean , llamados espines, y . Consideremos el siguiente potencial: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$ ${\displaystyle \beta \in [0,\infty ]}$

${\displaystyle \Phi _{\Lambda }(\varphi )={\begin{cases}\beta 1_{\{\varphi (x)\not =\varphi (y)\}}&{\text{if }}\Lambda =\{x,y\}{\text{ is a pair of adjacent vertices of }}\Gamma ;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

La submodularidad es fácil de comprobar; intuitivamente, tomar el mínimo o el máximo de dos configuraciones tiende a disminuir el número de espines en desacuerdo. Entonces, dependiendo del gráfico y del valor de , podría haber una o más medidas de Gibbs extremas, véase, por ejemplo, Georgii, Häggström y Maes (2001) y Lyons (2000). ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \beta }$

Una generalización: la desigualdad de Holley

La desigualdad de Holley , debida a Richard Holley (1974), establece que las expectativas

${\displaystyle \langle f\rangle _{i}={\frac {\sum _{x\in X}f(x)\mu _{i}(x)}{\sum _{x\in X}\mu _{i}(x)}}}$

de una función monótonamente creciente ƒ en una red distributiva finita con respecto a dos funciones positivas μ ₁ , μ ₂ en la red satisfacen la condición ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2},}$

siempre que las funciones satisfagan la condición de Holley ( criterio )

${\displaystyle \mu _{2}(x\wedge y)\mu _{1}(x\vee y)\geq \mu _{1}(x)\mu _{2}(y)}$

para todos los x , y en la red.

Para recuperar la desigualdad de FKG: Si μ satisface la condición de red y ƒ y g son funciones crecientes en , entonces μ ₁ ( x ) =  g ( x ) μ ( x ) y μ ₂ ( x ) =  μ ( x ) satisfarán la condición de tipo red de la desigualdad de Holley. Entonces la desigualdad de Holley establece que ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\frac {\langle fg\rangle _{\mu }}{\langle g\rangle _{\mu }}}=\langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2}=\langle f\rangle _{\mu },}$

que es simplemente la desigualdad FKG.

En cuanto a FKG, la desigualdad de Holley se deriva de la desigualdad de Ahlswede-Daykin .

Debilitamiento de la condición reticular: monotonía

Consideremos el caso habitual de ser un producto para algún conjunto finito . Se ve fácilmente que la condición reticular de μ implica la siguiente monotonía , que tiene la virtud de que a menudo es más fácil de comprobar que la condición reticular: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{V}}$ ${\displaystyle V}$

Siempre que uno fija un vértice y dos configuraciones ^{[ aclaración necesaria ]} φ y ψ fuera de v tales que para todo , la distribución μ -condicional de φ ( v ) dada domina estocásticamente la distribución μ -condicional de ψ ( v ) dada . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \varphi (w)\geq \psi (w)}$ ${\displaystyle w\not =v}$ ${\displaystyle \{\varphi (w):w\not =v\}}$ ${\displaystyle \{\psi (w):w\not =v\}}$

Ahora bien, si μ satisface esta propiedad de monotonía, eso ya es suficiente para que se cumpla la desigualdad FKG (asociaciones positivas).

Aquí hay un bosquejo aproximado de la prueba, debido a Holley (1974): comenzando desde cualquier configuración inicial ^{[ aclaración necesaria ]} en , uno puede ejecutar una cadena de Markov simple (el algoritmo Metropolis ) que usa variables aleatorias Uniform[0,1] independientes para actualizar la configuración en cada paso, de modo que la cadena tenga una medida estacionaria única, la μ dada . La monotonía de μ implica que la configuración en cada paso es una función monótona de variables independientes, por lo tanto, la versión de medida del producto de Harris implica que tiene asociaciones positivas. Por lo tanto, la medida estacionaria límite μ también tiene esta propiedad. ${\displaystyle V}$

La propiedad de monotonía tiene una versión natural para dos medidas, diciendo que μ ₁ domina condicionalmente puntualmente a μ ₂ . Nuevamente es fácil ver que si μ ₁ y μ ₂ satisfacen la condición de tipo reticular de la desigualdad de Holley, entonces μ ₁ domina condicionalmente puntualmente a μ ₂ . Por otro lado, un argumento de acoplamiento de cadena de Markov similar al anterior, pero ahora sin invocar la desigualdad de Harris, muestra que la dominación condicional puntual, de hecho, implica dominación estocásticamente . La dominación estocástica es equivalente a decir que para todo ƒ creciente , por lo tanto obtenemos una prueba de la desigualdad de Holley. (Y por lo tanto también una prueba de la desigualdad FKG, sin usar la desigualdad de Harris). ${\displaystyle \langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2}}$

Véase Holley (1974) y Georgii, Häggström & Maes (2001) para más detalles.

Véase también

• Desigualdad de Ahlswede-Daykin
• Desigualdad XYZ
• Desigualdad de BK

Referencias

• Eaton, Morris L. (1987), "La desigualdad y asociación de FKG", Lectures on Topics in Probability Inequalities , Ámsterdam, págs. 111-151, ISBN 90-6196-316-8{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Fishburn, PC (2001) [1994], "Desigualdad de FKG", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Fortuin, CM; Kasteleyn, PW; Ginibre, J. (1971), "Desigualdades de correlación en algunos conjuntos parcialmente ordenados", Communications in Mathematical Physics , 22 (2): 89–103, Bibcode :1971CMaPh..22...89F, doi :10.1007/BF01651330, MR  0309498, S2CID  1011815
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Mecánica estadística de sistemas reticulares: una introducción matemática concreta. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.
• Georgii, HO.; Häggström, O.; Maes, C. (2001), "La geometría aleatoria de las fases de equilibrio", Phase Transitions and Critical Phenomena , vol. 18, Academic Press, San Diego, CA, págs. 1–142, arXiv : math/9905031 , doi :10.1016/S1062-7901(01)80008-2, ISBN 9780122203183, MR  2014387, S2CID  119137791
• Grimmett, GR (1999), Percolación. Segunda edición , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 321, Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-03981-6, ISBN 3-540-64902-6, Sr.  1707339
• Harris, TE (1960), "Un límite inferior para la probabilidad crítica en un cierto proceso de percolación", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 56 (1): 13–20, Bibcode :1960PCPS...56...13H, doi :10.1017/S0305004100034241, MR  0115221, S2CID  122724783
• Holley, R. (1974), "Observaciones sobre las desigualdades de FKG", Communications in Mathematical Physics , 36 (3): 227–231, Bibcode :1974CMaPh..36..227H, doi :10.1007/BF01645980, MR  0341552, S2CID  73649690
• Lyons, R. (2000), "Transiciones de fase en grafos no nombrables", J. Math. Phys. , 41 (3): 1099–1126, arXiv : math/9908177 , Bibcode :2000JMP....41.1099L, doi :10.1063/1.533179, MR  1757952, S2CID  10350129
• Sheffield, S. (2005), "Superficies aleatorias", Astérisque , 304 , arXiv : math/0304049 , Bibcode :2003math......4049S, MR  2251117