Desigualdad de Bhatia-Davis

En matemáticas, la desigualdad de Bhatia-Davis , llamada así en honor a Rajendra Bhatia y Chandler Davis , es un límite superior de la varianza σ ² de cualquier distribución de probabilidad acotada en la línea real.

Declaración

Sean m y M los límites inferior y superior, respectivamente, para un conjunto de números reales a ₁ , ..., a _n , con una distribución de probabilidad particular . Sea μ el valor esperado de esta distribución.

Entonces la desigualdad de Bhatia-Davis establece:

${\displaystyle \sigma ^{2}\leq (M-\mu )(\mu -m).\,}$

La igualdad se cumple si y sólo si cada a _j en el conjunto de valores es igual a M o a m . ^[1]

Prueba

Desde , ${\displaystyle m\leq A\leq M}$

${\displaystyle 0\leq \mathbb {E} [(M-A)(A-m)]=-\mathbb {E} [A^{2}]-mM+(m+M)\mu }$.

De este modo,

${\displaystyle \sigma ^{2}=\mathbb {E} [A^{2}]-\mu ^{2}\leq -mM+(m+M)\mu -\mu ^{2}=(M-\mu )(\mu -m)}$.

Extensiones de la desigualdad de Bhatia-Davis

Si es una aplicación lineal positiva y unitaria de un álgebra C* en un álgebra C* , y A es un elemento autoadjunto que satisface m A M , entonces: ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \leq }$

${\displaystyle \Phi (A^{2})-(\Phi A)^{2}\leq (M-\Phi A)(\Phi A-m)}$.

Si es una variable aleatoria discreta tal que ${\displaystyle {\mathit {X}}}$

${\displaystyle P(X=x_{i})=p_{i},}$donde , entonces: ${\displaystyle i=1,...,n}$

${\displaystyle s_{p}^{2}=\sum _{1}^{n}p_{i}x_{i}^{2}-(\sum _{1}^{n}p_{i}x_{i})^{2}\leq (M-\sum _{1}^{n}p_{i}x_{i})(\sum _{1}^{n}p_{i}x_{i}-m)}$,

donde y . ${\displaystyle 0\leq p_{i}\leq 1}$ ${\displaystyle \sum _{1}^{n}p_{i}=1}$

Comparaciones con otras desigualdades

La desigualdad de Bhatia-Davis es más fuerte que la desigualdad de Popoviciu en cuanto a varianzas (nótese, sin embargo, que la desigualdad de Popoviciu no requiere conocimiento de la expectativa o la media), como se puede ver a partir de las condiciones de igualdad. La igualdad se cumple en la desigualdad de Popoviciu si y solo si la mitad de los a _j son iguales a los límites superiores y la mitad de los a _j son iguales a los límites inferiores. Además, Sharma ^[2] ha realizado mejoras adicionales en la desigualdad de Bhatia-Davis.

Véase también

• Límite Cramér–Rao
• Rumbo a Chapman-Robbins
• Desigualdad de Popoviciu sobre varianzas

Referencias

1. Bhatia, Rajendra; Davis, Chandler (2000). "Un límite mejor para la varianza". The American Mathematical Monthly . 107 (4): 353–357. doi :10.1080/00029890.2000.12005203. ISSN  0002-9890. S2CID  38818437.
2. Sharma, Rajesh (2008). "Algunas desigualdades más para la media aritmética, la media armónica y la varianza". Journal of Mathematical Inequalities (1): 109–114. doi : 10.7153/jmi-02-11 . ISSN  1846-579X.