descomposición de Iwasawa

En matemáticas , la descomposición de Iwasawa (también conocida como KAN por su expresión) de un grupo de Lie semisimple generaliza la forma en que se puede escribir una matriz real cuadrada como producto de una matriz ortogonal y una matriz triangular superior ( descomposición QR , una consecuencia de Gram-Schmidt ortogonalización ). Lleva el nombre de Kenkichi Iwasawa , el matemático japonés que desarrolló este método. ^[1]

Definición

• G es un grupo de Lie real semisimple conexo .
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$es el álgebra de Lie de G
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ es la complejización de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• θ es una involución de Cartan de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}}$es la descomposición de Cartan correspondiente
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$es una subálgebra abeliana máxima de ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$
• Σ es el conjunto de raíces restringidas de , correspondientes a valores propios de actuar sobre . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• Σ ⁺ es una elección de raíces positivas de Σ
• ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$es un álgebra de Lie nilpotente dada como la suma de los espacios de raíces de Σ ⁺
• K , A , N , son los subgrupos de Lie de G generados por y . ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{0},{\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$

Entonces la descomposición de Iwasawa es ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus {\mathfrak {n}}_{0}}$

y la descomposición de Iwasawa de G es

${\displaystyle G=KAN}$

lo que significa que hay un difeomorfismo analítico (pero no un homomorfismo de grupo) de la variedad al grupo de Lie , enviando . ${\displaystyle K\times A\times N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (k,a,n)\mapsto kan}$

La dimensión de A (o equivalente de ) es igual al rango real de G . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$

Las descomposiciones de Iwasawa también son válidas para algunos grupos semisimples G desconectados , donde K se convierte en un subgrupo compacto máximo (desconectado) siempre que el centro de G sea finito.

La descomposición del espacio raíz restringido es

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {m}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus _{\lambda \in \Sigma }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

donde es el centralizador de in y es el espacio raíz. El número se llama multiplicidad de . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{X\in {\mathfrak {g}}_{0}:[H,X]=\lambda (H)X\;\;\forall H\in {\mathfrak {a}}_{0}\}}$ ${\displaystyle m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Ejemplos

Si G = SL _n ( R ), entonces podemos tomar K como las matrices ortogonales, A como las matrices diagonales positivas con determinante 1 y N como el grupo unipotente que consta de matrices triangulares superiores con unos en la diagonal.

Para el caso de n = 2 , la descomposición de Iwasawa de G = SL(2, R ) es en términos de

${\displaystyle \mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.}$

Para el grupo simpléctico G = Sp(2n , R ) , una posible descomposición de Iwasawa es en términos de

${\displaystyle \mathbf {K} =Sp(2n,\mathbb {R} )\cap SO(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ A+iB\in U(n)\right\}\cong U(n),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ D{\text{ positive, diagonal}}\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}N&M\\0&N^{-T}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ N{\text{ upper triangular with diagonal elements = 1}},\ NM^{T}=MN^{T}\right\}.}$

Descomposición de Iwasawa no arquimediana

Hay una analogía a la descomposición de Iwasawa anterior para un campo no de Arquímedes : en este caso, el grupo se puede escribir como un producto del subgrupo de matrices triangulares superiores y el subgrupo (compacto máximo) , donde está el anillo de números enteros. de . ^[2] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle GL_{n}(F)}$ ${\displaystyle GL_{n}(O_{F})}$ ${\displaystyle O_{F}}$ ${\displaystyle F}$

Ver también

• Descomposiciones de grupos de mentiras.
• Sistema de raíces de un álgebra de Lie semisimple

Referencias

1. Iwasawa, Kenkichi (1949). "Sobre algunos tipos de grupos topológicos". Anales de Matemáticas . 50 (3): 507–558. doi :10.2307/1969548. JSTOR  1969548.
2. Bump, Daniel (1997), Formas y representaciones automórficas , Cambridge: Cambridge University Press, doi :10.1017/CBO9780511609572, ISBN 0-521-55098-X, Proposición 4.5.2

• Fedenko, AS; Shtern, AI (2001) [1994], "Descomposición de Iwasawa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Knapp, AW (2002). Grupos de mentiras más allá de una introducción (2ª ed.). ISBN 9780817642594.