Descomposición escalar-vectorial-tensor

En teoría de perturbaciones cosmológicas , la descomposición escalar-vector-tensor es una descomposición de las perturbaciones linealizadas más generales de la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker en componentes según sus transformaciones bajo rotaciones espaciales. Fue descubierta por primera vez por EM Lifshitz en 1946. Se desprende del teorema de Helmholtz (ver Descomposición de Helmholtz ). La perturbación métrica general tiene diez grados de libertad. La descomposición establece que las ecuaciones de evolución para las perturbaciones linealizadas más generales de la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker se pueden descomponer en cuatro escalares, dos campos vectoriales espaciales libres de divergencia (es decir, con un índice espacial que va de 1 a 3 ), y un campo tensor espacial simétrico y sin rastro con componentes longitudinales dobles y simples que se desvanecen. Los campos vectorial y tensorial tienen cada uno dos componentes independientes, por lo que esta descomposición codifica los diez grados de libertad en la perturbación métrica general. Usando la invariancia de calibre, cuatro de estos componentes (dos escalares y un campo vectorial) se pueden establecer en cero.

Si la métrica perturbada es la perturbación, entonces la descomposición es la siguiente: ${\displaystyle g'_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle h_{00}=-2\psi }$$

$${\displaystyle h_{0i}=w_{i}}$$

$${\displaystyle h_{ij}=2(\phi g_{ij}+S_{ij})}$$

ijes decir ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle g^{ij}S_{ij}=0}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle S_{ij}}$

$${\displaystyle w_{i}=w^{||}{}_{i}+w^{\perp }{}_{i},}$$

derivada covarianteel espacio de Fourier ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {w} ^{||}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {w} ^{\perp }=0}$ ${\displaystyle \nabla _{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle w^{||}{}_{i}=\nabla _{i}A}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

Finalmente, se puede realizar una descomposición análoga en el campo tensorial sin rastro . ^[1] Se puede escribir ${\displaystyle S_{ij}}$

$${\displaystyle S_{ij}=S^{||}{}_{ij}+S_{ij}^{\perp }+S^{T}{}_{ij},}$$

$${\displaystyle S^{||}{}_{ij}=(\nabla _{i}\nabla _{j}-{\frac {1}{3}}g_{ij}\nabla ^{2})B,}$$

${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle S^{\perp }{}_{ij}=\nabla _{i}S^{\perp }{}_{j}+\nabla _{j}S^{\perp }{}_{i},}$$

polarizacioneslas ondas gravitacionales ${\displaystyle S^{\perp }{}_{i}}$ ${\displaystyle S^{T}{}_{ij}}$

La ventaja de esta formulación es que las ecuaciones de evolución escalar, vectorial y tensorial están desacopladas. En la teoría de la representación , esto corresponde a la descomposición de perturbaciones bajo el grupo de rotaciones espaciales . Además, se pueden eliminar dos componentes escalares y un componente vectorial mediante transformaciones de calibre . Sin embargo, los componentes del vector generalmente se ignoran, ya que se conocen pocos procesos físicos en los que puedan generarse. Como se indicó anteriormente, los componentes tensoriales corresponden a ondas gravitacionales. El tensor es invariante de calibre: no cambia bajo transformaciones de coordenadas infinitesimales. ${\displaystyle S^{T}{}_{ij}}$

Ver también

• Descomposición de Helmholtz

Notas

1. JM Stewart (1990). "Perturbaciones de los modelos cosmológicos de Friedmann-Robertson-Walker". Gravedad clásica y cuántica . 7 (7): 1169-1180. Código bibliográfico : 1990CQGra...7.1169S. doi :10.1088/0264-9381/7/7/013. S2CID  250864898.

Referencias

• E. Bertschinger (2001). "Teoría de la perturbación cosmológica y formación de estructuras". arXiv : astro-ph/0101009 . Código Bib : 2001astro.ph..1009B. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
• EM Lifshitz (1946). "Sobre la estabilidad gravitacional del universo en expansión". J. Física. URSS . 10 : 116.
• Eanna E. Flanagan, Scott A. Hughes (2005). "Los fundamentos de la teoría de las ondas gravitacionales". Nueva Revista de Física . 7 : 204. arXiv : gr-qc/0501041 . Código Bib : 2005NJPh....7..204F. doi :10.1088/1367-2630/7/1/204. S2CID  9530657.
• E. Poisson, CM Will (2014). Gravedad: newtoniana, posnewtoniana, relativista . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 257.