Descomposición en valores singulares de orden superior

En álgebra multilineal , la descomposición en valores singulares de orden superior ( HOSVD ) de un tensor es una descomposición de Tucker ortogonal específica . Puede considerarse como un tipo de generalización de la descomposición en valores singulares de la matriz . Tiene aplicaciones en visión por computadora , gráficos por computadora , aprendizaje automático , computación científica y procesamiento de señales . Algunos aspectos se pueden rastrear hasta FL Hitchcock en 1928, ^[1] pero fue LR Tucker quien desarrolló para tensores de tercer orden la descomposición general de Tucker en la década de 1960, ^[2]^[3]^[4] defendida además por L. De Lathauwer et al. ^[5] en su trabajo de SVD multilineal que emplea el método de potencia, o defendida por Vasilescu y Terzopoulos que desarrollaron SVD en modo M, un algoritmo paralelo que emplea la SVD matricial.

El término descomposición en valores singulares de orden superior (HOSVD) fue acuñado por DeLathauwer, pero el algoritmo al que se hace referencia comúnmente en la literatura como HOSVD y que se atribuye a Tucker o DeLathauwer fue desarrollado por Vasilescu y Terzopoulos. ^[6]^[7]^[8] También se han propuesto variantes robustas y basadas en la norma L1 de HOSVD. ^[9]^[10]^[11]^[12]

Definición

Para los fines de este artículo, se supone que el tensor abstracto se da en coordenadas con respecto a alguna base como una matriz de M vías , también denotada por , donde M es el número de modos y el orden del tensor. son los números complejos e incluye tanto los números reales como los números imaginarios puros. ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

Sea el aplanamiento estándar del modo- m de , de modo que el índice izquierdo de corresponde al 'ésimo índice y el índice derecho de corresponde a todos los demás índices de combinados. Sea una matriz unitaria que contiene una base de los vectores singulares izquierdos de tal que la j -ésima columna de corresponde al j -ésimo valor singular más grande de . Observe que la matriz de modo/factor no depende del particular de la definición específica del aplanamiento del modo m . Por las propiedades de la multiplicación multilineal , tenemos donde denota la transpuesta conjugada . La segunda igualdad es porque las son matrices unitarias. Definamos ahora el tensor central Entonces, la HOSVD ^[5] de es la descomposición La construcción anterior muestra que cada tensor tiene una HOSVD. ${\mathcal {A}}_{[m]}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times (I_{1}I_{2}\cdots I_{m-1}I_{m+1}\cdots I_{M})}$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ ${\estilo de visualización m}$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ ${\mathcal {A}}$ ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times I_{m}}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ $\mathbf {u}_{j}$ ${\bf {U}}_{m}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ ${\bf {U}}_{m}$ ${\begin{array}{rcl}{\mathcal {A}}&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {I}},{\bf {I}},\ldots ,{\bf {I}})\\&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}{\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}{\bf {U}}_{M}^{H})\\&=&\left({\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H})\right)\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}),\end{array}}$ $\cdot ^{H}$ ${\bf {U}}_{m}$ ${\mathcal {S}}:={\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H}).$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}={\mathcal {S}}\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}).$

HOSVD compacto

Al igual que en el caso de la descomposición compacta en valores singulares de una matriz, donde se eliminan las filas y columnas correspondientes a los valores singulares que desaparecen, también es posible considerar una HOSVD compacta , que es muy útil en aplicaciones.

Supongamos que es una matriz con columnas unitarias que contienen una base de los vectores singulares izquierdos correspondientes a los valores singulares distintos de cero del factor estándar- m aplanamiento de . Dejemos que las columnas de se ordenen de modo que la ésima columna de corresponda al ésimo valor singular distinto de cero más grande de . Dado que las columnas de forman una base para la imagen de , tenemos donde la primera igualdad se debe a las propiedades de las proyecciones ortogonales (en el producto interno hermítico) y la última igualdad se debe a las propiedades de la multiplicación multilineal. Como los aplanamientos son mapas biyectivos y la fórmula anterior es válida para todos los , encontramos como antes que donde el tensor central ahora tiene un tamaño . ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ ${\mathcal {A}}$ ${\bf {U}}_{m}$ $estilo de visualización r_{m}$ ${\bf {u}}_{r_{m}}$ ${\bf {U}}_{m}$ $estilo de visualización r_{m}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ ${\bf {U}}_{m}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}{\mathcal {A}}_{[m]}={\bigl (}{\mathcal {A}}\times _{m}({\bf {U}}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}){\bigr )}_{[m]},$ $m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M$ ${\begin{array}{rcl}{\mathcal {A}}&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}{\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}{\bf {U}}_{M}^{H})\\&=&\left({\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H})\right)\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M})\\&=&{\mathcal {S}}\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}),\end{array}}$ ${\mathcal {S}}$ $R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}$

Rango multilineal

El rango multilineal ^[1] de se denota con rango- . El rango multilineal es una tupla en donde . No todas las tuplas en son rangos multilineales. ^[13] Los rangos multilineales están limitados por y satisfacen la restricción debe cumplirse. ^[13] ${\mathcal {A}}$ $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $\mathbb {N} ^{M}$ $R_{m}:=\mathrm {rank} ({\mathcal {A}}_{[m]})$ $\mathbb {N} ^{M}$ $1\leq R_{m}\leq I_{m}$ ${\textstyle R_{m}\leq \prod _{i\neq m}R_{i}}$

La HOSVD compacta es una descomposición que revela rango en el sentido de que las dimensiones de su tensor central corresponden con los componentes del rango multilineal del tensor.

Interpretación

La siguiente interpretación geométrica es válida tanto para la HOSVD completa como para la compacta. Sea el rango multilineal del tensor . Como es una matriz multidimensional, podemos expandirla de la siguiente manera donde es el ésimo vector base estándar de . Por definición de la multiplicación multilineal, se cumple que donde son las columnas de . Es fácil verificar que es un conjunto ortonormal de tensores. Esto significa que la HOSVD puede interpretarse como una forma de expresar el tensor con respecto a una base ortonormal elegida específicamente con los coeficientes dados como la matriz multidimensional . $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {S}}\in {\mathbb {C} }^{R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}}$ ${\mathcal {S}}=\sum _{r_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{r_{2}=1}^{R_{2}}\cdots \sum _{r_{M}=1}^{R_{M}}s_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}\mathbf {e} _{r_{1}}\otimes \mathbf {e} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{r_{M}},$ $\mathbf {e} _{r_{m}}$ $r_{m}$ ${\mathbb {C} }^{I_{m}}$ ${\mathcal {A}}=\sum _{r_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{r_{2}=1}^{R_{2}}\cdots \sum _{r_{M}=1}^{R_{M}}s_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}},$ $\mathbf {u} _{r_{m}}$ ${\bf {U}}_{m}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times R_{m}}$ $B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}$ ${\mathcal {A}}$ $B$ ${\mathcal {S}}$

Cálculo

Sea un tensor con rango , donde contiene los números reales como un subconjunto. ${\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}$ $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

Computación clásica

La estrategia para calcular la SVD multilineal y la SVD de modo M fue introducida en la década de 1960 por LR Tucker ^[3] , defendida posteriormente por L. De Lathauwer et al. [ ^5] y por Vasilescu y Terzopulous. ^[8]^[6] El término HOSVD fue acuñado por Lieven De Lathauwer, pero el algoritmo al que normalmente se hace referencia en la literatura como HOSVD fue introducido por Vasilescu y Terzopoulos ^[6]^[8] con el nombre de SVD de modo M. Es un cálculo paralelo que emplea la SVD matricial para calcular las matrices de modo ortonormal.

SVD en modo M

Fuentes: ^[6]^[8]

Para , haga lo siguiente: $m=1,\ldots ,M$

Construir el modelo de aplanamiento ; ${\mathcal {A}}_{[m]}$
Calcular la descomposición en valores singulares (compactos) y almacenar los vectores singulares de la izquierda ; ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {\Sigma }}_{m}{\bf {V}}_{m}^{T}$ ${\bf {U}}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$

Calcular el tensor central mediante la multiplicación multilineal ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$

Cálculo de entrelazado

Una estrategia que es significativamente más rápida cuando parte o la totalidad consiste en entrelazar el cálculo del tensor central y las matrices factoriales, como sigue: ^[14]^[15]^[16] $R_{m}\ll I_{m}$

Colocar ; ${\mathcal {A}}^{0}={\mathcal {A}}$
Para realizar lo siguiente: $m=1,2\ldots ,M$
1. Construir el modelo estándar m aplanamiento ; ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}$
2. Calcular la descomposición en valores singulares (compactos) y almacenar los vectores singulares de la izquierda ; ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times R_{m}}$
3. Establecer , o, equivalentemente, . ${\mathcal {A}}^{m}=U_{m}^{H}\times _{m}{\mathcal {A}}^{m-1}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m}=\Sigma _{m}V_{m}^{T}$

Computación in situ

El HOSVD se puede calcular en el lugar a través del algoritmo de descomposición en valores singulares de orden superior truncado secuencialmente fusionado en el lugar (FIST-HOSVD) ^[16] sobrescribiendo el tensor original con el tensor central del HOSVD, lo que reduce significativamente el consumo de memoria en el cálculo del HOSVD.

Aproximación

En aplicaciones como las que se mencionan a continuación, un problema común consiste en aproximar un tensor dado por uno con un rango multilineal reducido. Formalmente, si el rango multilineal de se denota por , entonces calcular el óptimo que se aproxima para un reducido dado es un problema de optimización no lineal no convexa donde es el rango multilineal reducido con , y la norma es la norma de Frobenius . ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ ${\mathcal {A}}$ $\mathrm {rank-} (R_{1},R_{2},\ldots ,R_{m},\ldots ,R_{M})$ ${\mathcal {\bar {A}}}$ ${\mathcal {A}}$ $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ $\ell _{2}$ $\min _{{\mathcal {\bar {A}}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}}{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}\|_{F}^{2}\quad {\text{s.t.}}\quad \mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M}),$ $({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}$ $1\leq {\bar {R}}_{m}<R_{m}\leq I_{m}$ $\|.\|_{F}$

Una idea sencilla para intentar resolver este problema de optimización es truncar la SVD (compacta) en el paso 2 del cálculo clásico o entrelazado. Una HOSVD truncada clásicamente se obtiene reemplazando el paso 2 en el cálculo clásico por

Calcular un SVD truncado por rango y almacenar los vectores singulares superiores izquierdos ; ${\bar {R}}_{m}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ${\bar {R}}_{m}$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$

mientras que un HOSVD truncado secuencialmente (o un HOSVD truncado sucesivamente ) se obtiene reemplazando el paso 2 en el cálculo entrelazado por

Calcular un SVD truncado por rango y almacenar los vectores singulares superiores izquierdos . Desafortunadamente, el truncamiento no da como resultado una solución óptima para el mejor problema de optimización de rango multilineal bajo. ^[5]^[6]^[14]^[16] Sin embargo, tanto el HOSVD truncado clásicamente como el intercalado dan como resultado una solución cuasi óptima : ^[14]^[16]^[15]^[17] si denota el HOSVD truncado clásicamente o secuencialmente y denota la solución óptima para el mejor problema de aproximación de rango multilineal bajo, entonces en la práctica esto significa que si existe una solución óptima con un pequeño error, entonces un HOSVD truncado para muchos propósitos previstos también producirá una solución suficientemente buena. ${\bar {R}}_{m}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ${\bar {R}}_{m}$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ ${\mathcal {\bar {A}}}_{t}$ ${\mathcal {\bar {A}}}^{*}$ $\|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}_{t}\|_{F}\leq {\sqrt {M}}\|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}^{*}\|_{F};$

Aplicaciones

El HOSVD se aplica más comúnmente a la extracción de información relevante de matrices multidireccionales.

A principios de la década de 2000, Vasilescu abordó cuestiones causales al reformular los problemas de análisis, reconocimiento y síntesis de datos como problemas tensoriales multilineales. El poder del marco tensorial se mostró al descomponer y representar una imagen en términos de sus factores causales de formación de datos, en el contexto de las firmas de movimiento humano para el reconocimiento de la marcha ^[18] , el reconocimiento facial (TensorFaces) ^[19]^[20] y los gráficos por computadora (TensorTextures). ^[21]

El HOSVD se ha aplicado con éxito al procesamiento de señales y big data, por ejemplo, en el procesamiento de señales genómicas. ^[22]^[23]^[24] Estas aplicaciones también inspiraron un GSVD de orden superior (HO GSVD) ^[25] y un GSVD tensorial. ^[26]

También se ha aplicado una combinación de HOSVD y SVD para la detección de eventos en tiempo real a partir de flujos de datos complejos (datos multivariados con dimensiones espaciales y temporales) en la vigilancia de enfermedades . ^[27]

También se utiliza en el diseño de controladores basados en la transformación del modelo de producto tensorial . ^[28]^[29]

El concepto de HOSVD fue trasladado a las funciones por Baranyi y Yam a través de la transformación del modelo TP . ^[28]^[29] Esta extensión condujo a la definición de la forma canónica basada en HOSVD de las funciones de producto tensorial y los modelos de sistemas de variación de parámetros lineales ^[30] y a la teoría de optimización de control basada en la manipulación de la envoltura convexa, consulte la transformación del modelo TP en las teorías de control .

Se propuso aplicar HOSVD al análisis de datos de múltiples vistas ^[31] y se aplicó con éxito al descubrimiento de fármacos in silico a partir de la expresión genética. ^[32]

Variante robusta de la norma L1

L1-Tucker es la variante robusta basada en la norma L1 de la descomposición de Tucker . ^[10]^[11] L1-HOSVD es el análogo de HOSVD para la solución de L1-Tucker. ^[10]^[12]

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