Descomposición de Tucker

Descomposición tensorial

En matemáticas, la descomposición de Tucker descompone un tensor en un conjunto de matrices y un tensor de núcleo pequeño. Recibe su nombre de Ledyard R. Tucker ^[1], aunque su origen se remonta a Hitchcock en 1927. ^[2] Inicialmente descrita como una extensión de tres modos del análisis factorial y del análisis de componentes principales, en realidad puede generalizarse al análisis de modos superiores, que también se denomina descomposición en valores singulares de orden superior (HOSVD).

Puede considerarse un modelo PARAFAC (análisis factorial paralelo) más flexible. En PARAFAC, el tensor central está restringido a ser "diagonal".

En la práctica, la descomposición de Tucker se utiliza como herramienta de modelado. Por ejemplo, se utiliza para modelar datos de tres vías (o más vías) mediante un número relativamente pequeño de componentes para cada uno de los tres o más modos, y los componentes están vinculados entre sí por una matriz de núcleo de tres vías (o más vías). Los parámetros del modelo se estiman de tal manera que, dada una cantidad fija de componentes, los datos modelados se asemejan óptimamente a los datos reales en el sentido de mínimos cuadrados. El modelo proporciona un resumen de la información de los datos, de la misma manera que lo hace el análisis de componentes principales para los datos de dos vías.

Para un tensor de tercer orden , donde es o , la descomposición de Tucker se puede denotar de la siguiente manera, donde es el tensor central , un tensor de tercer orden que contiene los valores singulares de 1-modo, 2-modo y 3-modo de , que se definen como la norma de Frobenius de las porciones de 1-modo, 2-modo y 3-modo del tensor respectivamente. son matrices unitarias en respectivamente. El producto de k -modo ( k = 1, 2, 3) de por se denota como con entradas como ${\displaystyle T\in F^{n_{1}\times n_{2}\times n_{3}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}\times _{3}U^{(3)}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}\in F^{d_{1}\times d_{2}\times d_{3}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle U^{(1)},U^{(2)},U^{(3)}}$ ${\displaystyle F^{d_{1}\times n_{1}},F^{d_{2}\times n_{2}},F^{d_{3}\times n_{3}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle U^{(k)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}\times U^{(k)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)})(i_{1},j_{2},j_{3})&=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})\\({\mathcal {T}}\times _{2}U^{(2)})(j_{1},i_{2},j_{3})&=\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(2)}(j_{2},i_{2})\\({\mathcal {T}}\times _{3}U^{(3)})(j_{1},j_{2},i_{3})&=\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(3)}(j_{3},i_{3})\end{aligned}}}$

En conjunto, la descomposición también puede escribirse de forma más directa como

${\displaystyle T(i_{1},i_{2},i_{3})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})U^{(2)}(j_{2},i_{2})U^{(3)}(j_{3},i_{3})}$

Tomar para todos siempre es suficiente para representar con exactitud, pero a menudo se puede comprimir o aproximar de manera eficiente eligiendo . Una opción común es , que puede ser efectiva cuando la diferencia en los tamaños de las dimensiones es grande. ${\displaystyle d_{i}=n_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle d_{i}<n_{i}}$ ${\displaystyle d_{1}=d_{2}=d_{3}=\min(n_{1},n_{2},n_{3})}$

Hay dos casos especiales de descomposición de Tucker:

Tucker1 : si y son identidad, entonces ${\displaystyle U^{(2)}}$ ${\displaystyle U^{(3)}}$ ${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}}$

Tucker2 : si es identidad, entonces . ${\displaystyle U^{(3)}}$ ${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}}$

La descomposición RESCAL ^[3] puede verse como un caso especial de Tucker donde es identidad y es igual a . ${\displaystyle U^{(3)}}$ ${\displaystyle U^{(1)}}$ ${\displaystyle U^{(2)}}$

Véase también

• Descomposición en valores singulares de orden superior
• Análisis de componentes principales multilineales

Referencias

1. Ledyard R. Tucker (septiembre de 1966). "Algunas notas matemáticas sobre el análisis factorial de tres modos". Psychometrika . 31 (3): 279–311. doi :10.1007/BF02289464. PMID  5221127.
2. FL Hitchcock (1927). "La expresión de un tensor o un poliádico como suma de productos". Journal of Mathematics and Physics . 6 : 164–189.
3. Nickel, Maximilian; Tresp, Volker; Kriegel, Hans-Peter (28 de junio de 2011). Un modelo de tres vías para el aprendizaje colectivo en datos multirrelacionales . ICML. Vol. 11. págs. 809–816.