En matemáticas , la idea de descendencia extiende la idea intuitiva de "pegado" en topología . Dado que el pegamento de los topólogos es el uso de relaciones de equivalencia en espacios topológicos , la teoría comienza con algunas ideas sobre identificación.
El caso de la construcción de haces vectoriales a partir de datos sobre una unión disjunta de espacios topológicos es un lugar sencillo para comenzar.
Supóngase que X es un espacio topológico cubierto por conjuntos abiertos X i . Sea Y la unión disjunta de los X i , de modo que exista una aplicación natural
Pensamos en Y como 'encima' de X , con la proyección de X i 'hacia abajo' sobre X . Con este lenguaje, la descendencia implica un fibrado vectorial en Y (por lo tanto, un fibrado dado en cada X i ), y nuestra preocupación es 'pegar' esos fibrados V i , para hacer un único fibrado V en X. Lo que queremos decir es que V debería, cuando se restringe a X i , devolver V i , hasta un isomorfismo de fibrado.
Los datos necesarios son entonces los siguientes: en cada superposición
intersección de X i y X j , necesitaremos asignaciones
para identificar V i y V j allí, fibra por fibra. Además, f ij debe satisfacer condiciones basadas en las propiedades reflexivas, simétricas y transitivas de una relación de equivalencia (condiciones de unión). Por ejemplo, la composición
para la transitividad (y la elección de una notación adecuada). Las f ii deberían ser aplicaciones identidad y, por lo tanto, la simetría se convierte en (de modo que es un isomorfismo en términos de fibras).
De hecho, estas son condiciones estándar en la teoría de haces de fibras (ver el mapa de transición ). Una aplicación importante que se debe tener en cuenta es el cambio de fibra : si los f ij son todo lo que se necesita para formar un haz, entonces hay muchas maneras de formar un haz asociado . Es decir, podemos tomar esencialmente el mismo f ij , actuando sobre varias fibras.
Otro punto importante es la relación con la regla de la cadena : la discusión sobre la forma de construir campos tensoriales se puede resumir como 'una vez que aprendes a descender el fibrado tangente , para el cual la transitividad es la regla de la cadena jacobiana , el resto es simplemente 'naturalidad de las construcciones tensoriales'.
Para acercarnos a la teoría abstracta necesitamos interpretar la unión disjunta de la
ahora como
el producto de fibra (aquí un ecualizador ) de dos copias de la proyección p. Los haces en X ij que debemos controlar son V ′ y V ", los pullbacks a la fibra de V a través de las dos aplicaciones de proyección diferentes a X .
Por lo tanto, si se pasa a un nivel más abstracto, se puede eliminar el aspecto combinatorio (es decir, dejar de lado los índices) y obtener algo que tenga sentido para p que no sea de la forma especial de recubrimiento con la que comenzamos. Esto permite entonces un enfoque de teoría de categorías : lo que queda por hacer es volver a expresar las condiciones de pegado.
Las ideas se desarrollaron en el período 1955-1965 (que fue aproximadamente el momento en el que se cumplieron los requisitos de la topología algebraica pero no los de la geometría algebraica ). Desde el punto de vista de la teoría de categorías abstractas, el trabajo de las comónadas de Beck fue una suma de esas ideas; véase el teorema de monadicidad de Beck .
Las dificultades de la geometría algebraica en el paso al cociente son agudas. La urgencia (por decirlo así) del problema para los geómetras explica el título del seminario de Grothendieck de 1959 TDTE sobre teoremas de descendencia y técnicas de existencia (véase FGA ), que conecta la cuestión de la descendencia con la cuestión del functor representable en la geometría algebraica en general, y el problema de los módulos en particular.
Sea . Cada haz F en X da lugar a un dato de descenso:
donde se satisface la condición de cociclo: [1]
La descendencia totalmente fiel dice: es totalmente fiel. La teoría de la descendencia indica las condiciones para que exista una descendencia totalmente fiel.
Otras posibles fuentes incluyen:
