Semidiferenciabilidad

En cálculo , las nociones de diferenciabilidad unilateral y semidiferenciabilidad de una función f de valor real de una variable real son más débiles que la de diferenciabilidad . En concreto, se dice que la función f es diferenciable por la derecha en un punto a si, en términos generales, una derivada puede definirse como el argumento x de la función se mueve a a desde la derecha, y diferenciable por la izquierda en a si la derivada puede definirse como el argumento x de la función se mueve a a desde la izquierda.

Caso unidimensional

Esta función no tiene derivada en el punto marcado, ya que la función no es continua en ese punto. Sin embargo, tiene derivada derecha en todos los puntos, siendo siempre igual a 0. ${\displaystyle \partial _{+}f(a)}$

En matemáticas , una derivada izquierda y una derivada derecha son derivadas (tasas de cambio de una función) definidas para el movimiento en una sola dirección (izquierda o derecha; es decir, hacia valores más bajos o más altos) por el argumento de una función.

Definiciones

Sea f una función de valor real definida en un subconjunto I de los números reales.

Si a  ∈  I es un punto límite de I  ∩  [ a ,∞) y el límite unilateral

${\displaystyle \partial _{+}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{+} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$

existe como un número real, entonces f se llama diferenciable por la derecha en a y el límite ∂ ₊ f ( a ) se llama derivada por la derecha de f en a .

Si a  ∈  I es un punto límite de I  ∩  (–∞, a ] y el límite unilateral

${\displaystyle \partial _{-}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{-} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$

existe como un número real, entonces f se llama diferenciable por la izquierda en a y el límite ∂ _– f ( a ) se llama derivada por la izquierda de f en a .

Si a  ∈  I es un punto límite de I  ∩  [ a ,∞) e I  ∩  (–∞, a ] y si f es diferenciable por izquierda y derecha en a , entonces f se llama semidiferenciable en a .

Si las derivadas izquierda y derecha son iguales, entonces tienen el mismo valor que la derivada habitual ("bidireccional"). También se puede definir una derivada simétrica , que es igual a la media aritmética de las derivadas izquierda y derecha (cuando ambas existen), por lo que la derivada simétrica puede existir cuando la derivada habitual no. ^[1]

Observaciones y ejemplos

• Una función es diferenciable en un punto interior a de su dominio si y sólo si es semidiferenciable en a y la derivada izquierda es igual a la derivada derecha.
• Un ejemplo de una función semidiferenciable, que no es diferenciable, es la función de valor absoluto , en a  = 0. Encontramos fácilmente ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle \partial _{-}f(0)=-1,\partial _{+}f(0)=1.}$
• Si una función es semidiferenciable en un punto a , implica que es continua en a .
• La función indicadora 1 _[0,∞) es diferenciable por la derecha en cada real a , pero discontinua en cero (nótese que esta función indicadora no es diferenciable por la izquierda en cero).

Solicitud

Si una función diferenciable de valor real f , definida en un intervalo I de la recta real, tiene derivada cero en todas partes, entonces es constante, como lo demuestra una aplicación del teorema del valor medio . El supuesto de diferenciabilidad puede debilitarse a la continuidad y la diferenciabilidad unilateral de f . La versión para funciones diferenciables por la derecha se da a continuación; la versión para funciones diferenciables por la izquierda es análoga.

Teorema  —  Sea f una función continua de valor real , definida en un intervalo arbitrario I de la recta real. Si f es derivable por la derecha en cada punto a  ∈  I , que no es el supremo del intervalo, y si esta derivada por la derecha es siempre cero, entonces f es constante .

Prueba

Para una prueba por contradicción , supongamos que existe a  <  b en I tal que f ( a ) ≠ f ( b ) . Entonces

${\displaystyle \varepsilon :={\frac {|f(b)-f(a)|}{2(b-a)}}>0.}$

Defina c como el ínfimo de todos aquellos x en el intervalo ( a , b ] para los cuales el cociente de diferencias de f excede a ε en valor absoluto, es decir

${\displaystyle c=\inf\{\,x\in (a,b]\mid |f(x)-f(a)|>\varepsilon (x-a)\,\}.}$

Debido a la continuidad de f , se sigue que c  <  b y | f ( c ) – f ( a ) | = ε ( c  – a ) . En c la derivada derecha de f es cero por suposición, por lo tanto existe d en el intervalo ( c , b ] con | f ( x ) – f ( c ) | ≤ ε ( x  – c ) para todo x en ( c , d ] . Por lo tanto, por la desigualdad triangular ,

${\displaystyle |f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(c)|+|f(c)-f(a)|\leq \varepsilon (x-a)}$

para todo x en [ c , d ) , lo que contradice la definición de c .

Operadores diferenciales que actúan hacia la izquierda o hacia la derecha

Otro uso común es describir las derivadas tratadas como operadores binarios en notación infija , en la que las derivadas se deben aplicar a los operandos izquierdo o derecho . Esto es útil, por ejemplo, al definir generalizaciones del corchete de Poisson . Para un par de funciones f y g, las derivadas izquierda y derecha se definen respectivamente como

${\displaystyle f{\stackrel {\leftarrow }{\partial _{x}}}g={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g}$

${\displaystyle f{\stackrel {\rightarrow }{\partial _{x}}}g=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.}$

En la notación corchete , el operador derivada puede actuar sobre el operando derecho como la derivada regular o sobre el izquierdo como la derivada negativa. ^[2]

Caso de dimensiones superiores

Esta definición anterior se puede generalizar a funciones de valor real f definidas en subconjuntos de R ⁿ utilizando una versión más débil de la derivada direccional . Sea a un punto interior del dominio de f . Entonces f se llama semidiferenciable en el punto a si para cada dirección u  ∈  R ⁿ el límite

${\displaystyle \partial _{u}f(a)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h\,u)-f(a)}{h}}}$

con R existe como un número real. ${\displaystyle h\in }$

La semidiferenciabilidad es, por tanto, más débil que la diferenciabilidad de Gateaux , para la cual se toma el límite por encima de h  → 0 sin restringir h solo a valores positivos.

Por ejemplo, la función es semidiferenciable en , pero no es diferenciable allí. De hecho, con ${\displaystyle f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle f(hx,hy)=|h|f(x,y){\text{ and for }}h\geq 0,f(hx,hy)=hf(x,y),f(hx,hy)/h=f(x,y),}$ ${\displaystyle a=0,u=(x,y),\partial _{u}f(0)=f(x,y)}$

(Nótese que esta generalización no es equivalente a la definición original para n = 1 ya que el concepto de puntos límite unilaterales se reemplaza por el concepto más fuerte de puntos interiores).

Propiedades

• Cualquier función convexa en un subconjunto abierto convexo de R ⁿ es semidiferenciable.
• Si bien toda función semidiferenciable de una variable es continua, esto ya no es cierto para varias variables.

Generalización

En lugar de funciones de valores reales, se pueden considerar funciones que toman valores en R ⁿ o en un espacio de Banach .

Véase también

• Derivado
• Derivada direccional
• Derivada parcial
• Gradiente
• Derivado de la tarta
• Derivada de Fréchet
• Derivada (generalizaciones)
• Formulación del espacio de fases § Producto estrella
• Derivados de Dini

Referencias

1. Peter R. Mercer (2014). Más cálculo de una sola variable . Springer. pág. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
2. Dirac, Paul (1982) [1930]. Los principios de la mecánica cuántica . Estados Unidos: Oxford University Press. ISBN 978-0198520115.

• Preda, V.; Chiţescu, I. (1999). "Sobre la calificación de restricciones en problemas de optimización multiobjetivo: caso semidiferenciable". J. Optim. Theory Appl . 100 (2): 417–433. doi :10.1023/A:1021794505701. S2CID  119868047.