Ecuación del cohete Tsiolkovsky

Ecuación matemática que describe el movimiento de un cohete.

La relación de masa requerida de un cohete en función de la relación de velocidad de escape efectiva

La ecuación clásica del cohete , o ecuación del cohete ideal, es una ecuación matemática que describe el movimiento de los vehículos que siguen el principio básico de un cohete : un dispositivo que puede aplicarse aceleración a sí mismo utilizando empuje expulsando parte de su masa con alta velocidad puede así moverse. debido a la conservación del impulso . Se le atribuye a Konstantin Tsiolkovsky , quien lo derivó y publicó de forma independiente en 1903, ^{[1] [2] aunque} William Moore lo obtuvo y publicó de forma independiente en 1810, ^[3] y luego lo publicó en un libro separado en 1813 ^{. 4]} Robert Goddard también lo desarrolló de forma independiente en 1912, y Hermann Oberth lo derivó de forma independiente alrededor de 1920.

El cambio máximo de velocidad del vehículo (sin que actúen fuerzas externas) es: ${\displaystyle \Delta v}$

$${\displaystyle \Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}=I_{\text{sp}}g_{0}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}$$

• ${\displaystyle v_{\text{e}}=I_{\text{sp}}g_{0}}$es la velocidad efectiva de escape ;
  • ${\displaystyle I_{\text{sp}}}$es el impulso específico en dimensión de tiempo;
  • ${\displaystyle g_{0}}$es la gravedad estándar ;
• ${\displaystyle \ln }$es la función logaritmo natural ;
• ${\displaystyle m_{0}}$es la masa total inicial, incluido el propulsor , también conocido como masa húmeda;
• ${\displaystyle m_{f}}$es la masa total final sin propulsor, también conocida como masa seca.

Dada la velocidad de escape efectiva determinada por el diseño del motor del cohete, el delta-v deseado (por ejemplo, velocidad orbital o velocidad de escape ) y una masa seca dada , la ecuación se puede resolver para obtener la masa del propulsor requerida : ${\displaystyle m_{f}}$ ${\displaystyle m_{0}-m_{f}}$

$${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta v/v_{\text{e}}}.}$$

La masa húmeda necesaria crece exponencialmente con el delta-v deseado.

Historia

La ecuación lleva el nombre del científico ruso Konstantin Tsiolkovsky , quien la derivó de forma independiente y la publicó en su trabajo de 1903. ^{[5] [2]}

La ecuación había sido derivada anteriormente por el matemático británico William Moore en 1810, ^[3] y posteriormente publicada en un libro separado en 1813. ^[4]

El estadounidense Robert Goddard desarrolló de forma independiente la ecuación en 1912 cuando comenzó su investigación para mejorar los motores de cohetes para posibles vuelos espaciales. El ingeniero alemán Hermann Oberth derivó la ecuación de forma independiente alrededor de 1920 mientras estudiaba la viabilidad de los viajes espaciales.

Si bien la derivación de la ecuación del cohete es un ejercicio de cálculo sencillo , Tsiolkovsky tiene el honor de ser el primero en aplicarla a la cuestión de si los cohetes podrían alcanzar las velocidades necesarias para los viajes espaciales .

Experimento del barco de Tsiolkovsky

Para comprender el principio de propulsión de los cohetes, Konstantin Tsiolkovsky propuso el famoso experimento "del barco". Una persona está en un bote alejado de la orilla sin remos. Quieren llegar a esta orilla. Se dan cuenta de que el barco está cargado con una determinada cantidad de piedras y tienen la idea de tirarlas, una a una y lo más rápido posible, en dirección contraria a la orilla. Efectivamente, la cantidad de movimiento de las piedras lanzadas en una dirección corresponde a una cantidad igual de movimiento del barco en la otra dirección.

Derivación

Derivación más popular

Considere el siguiente sistema:

El cohete teórico de Tsiolkovsky de t = 0 a t = delta_t

En la siguiente derivación, se entiende que "el cohete" significa "el cohete y todo su propulsor no gastado".

La segunda ley del movimiento de Newton relaciona las fuerzas externas ( ) con el cambio en el momento lineal de todo el sistema (incluidos el cohete y el escape) de la siguiente manera: ${\displaystyle {\vec {F_{i}}}}$

$${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F_{i}}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {P_{2}}}-{\vec {P_{1}}}}{\Delta t}}}$$

${\displaystyle {\vec {P_{1}}}}$ ${\displaystyle t=0}$

$${\displaystyle {\vec {P_{1}}}=m{\vec {V}}}$$

${\displaystyle {\vec {P_{2}}}}$ ${\displaystyle t=\Delta t}$

$${\displaystyle {\vec {P_{2}}}=\left(m-\Delta m\right)\left({\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}\right)+\Delta m{\vec {V_{\text{e}}}}}$$

• ${\displaystyle {\vec {V}}}$es la velocidad del cohete en el tiempo ${\displaystyle t=0}$
• ${\displaystyle {\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}}$es la velocidad del cohete en el tiempo ${\displaystyle t=\Delta t}$
• ${\displaystyle {\vec {V_{\text{e}}}}}$es la velocidad de la masa agregada al escape (y perdida por el cohete) durante el tiempo ${\displaystyle \Delta t}$
• ${\displaystyle m}$es la masa del cohete en el tiempo ${\displaystyle t=0}$
• ${\displaystyle \left(m-\Delta m\right)}$es la masa del cohete en el tiempo ${\displaystyle t=\Delta t}$

La velocidad del escape en el marco del observador está relacionada con la velocidad del escape en el marco del cohete mediante: ${\displaystyle {\vec {V_{\text{e}}}}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$

$${\displaystyle {\vec {v_{\text{e}}}}={\vec {V_{\text{e}}}}-{\vec {V}}}$$

de este modo,

$${\displaystyle {\vec {V_{\text{e}}}}={\vec {V}}+{\vec {v_{\text{e}}}}}$$

Resolviendo esto se obtiene:

$${\displaystyle {\vec {P_{2}}}-{\vec {P_{1}}}=m\Delta {\vec {V}}+{\vec {v_{\text{e}}}}\Delta m-\Delta m\Delta {\vec {V}}}$$

${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {v_{\text{e}}}}}$ ${\displaystyle {\vec {F_{\text{i}}}}}$ ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle \Delta m\Delta {\vec {V}}}$ ${\displaystyle dmd{\vec {v}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle dm=-\Delta m}$ ${\displaystyle \Delta m}$

$${\displaystyle \sum _{i}F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$$

Si no hay fuerzas externas entonces ( conservación del momento lineal ) y ${\textstyle \sum _{i}F_{i}=0}$

$${\displaystyle -m{\frac {dV}{dt}}=v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$$

Suponiendo que es constante (conocida como hipótesis de Tsiolkovsky ^[2] ), por lo que no está sujeta a integración, entonces la ecuación anterior se puede integrar de la siguiente manera: ${\displaystyle v_{\text{e}}}$

$${\displaystyle -\int _{V}^{V+\Delta V}\,dV={v_{e}}\int _{m_{0}}^{m_{f}}{\frac {dm}{m}}}$$

Esto entonces produce

$${\displaystyle \Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}}$$

$${\displaystyle m_{f}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}}$$

$${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta V/v_{\text{e}}}}$$

$${\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}\left(e^{\Delta V/v_{\text{e}}}-1\right)}$$

donde es la masa total inicial, incluido el propulsor, la masa final y la velocidad del escape del cohete con respecto al cohete (el impulso específico o, si se mide en el tiempo, el multiplicado por la aceleración de la gravedad en la Tierra). Si NO es constante, es posible que no tengamos ecuaciones de cohetes que sean tan simples como las formas anteriores. Muchas investigaciones sobre la dinámica de los cohetes se basaron en la hipótesis constante de Tsiolkovsky. ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m_{f}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$

El valor es la masa de trabajo total de propulsor gastado. ${\displaystyle m_{0}-m_{f}}$

${\displaystyle \Delta V}$( delta v ) es la integración en el tiempo de la magnitud de la aceleración producida al usar el motor del cohete (cuál sería la aceleración real si no hubiera fuerzas externas). En el espacio libre, para el caso de aceleración en la dirección de la velocidad, este es el aumento de la velocidad. En el caso de una aceleración en sentido contrario (desaceleración) es la disminución de la velocidad. Por supuesto, la gravedad y la resistencia también aceleran el vehículo y pueden sumar o restar al cambio de velocidad experimentado por el vehículo. Por lo tanto, es posible que delta-v no siempre sea el cambio real en la velocidad del vehículo.

Otras derivaciones

Basado en impulsos

La ecuación también se puede derivar de la integral básica de la aceleración en forma de fuerza (empuje) sobre la masa. Representando la ecuación delta-v de la siguiente manera:

$${\displaystyle \Delta v=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\frac {|T|}{{m_{0}}-{t}\Delta {m}}}~dt}$$

donde T es empuje, es la masa inicial (húmeda) y es la masa inicial menos la masa final (seca), ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \Delta m}$

y al darse cuenta de que la integral de una fuerza resultante en el tiempo es el impulso total, asumiendo que el empuje es la única fuerza involucrada,

$${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}F~dt=J}$$

La integral resulta ser:

$${\displaystyle J~{\frac {\ln({m_{0}})-\ln({m_{f}})}{\Delta m}}}$$

Al darse cuenta de que el impulso sobre el cambio de masa es equivalente a la fuerza sobre el caudal másico del propulsor (p), que a su vez es equivalente a la velocidad de escape,

$${\displaystyle {\frac {J}{\Delta m}}={\frac {F}{p}}=V_{\text{exh}}}$$

$${\displaystyle \Delta v=V_{\text{exh}}~\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}$$

Basado en aceleración

Imagine un cohete en reposo en el espacio sin que se ejerzan fuerzas sobre él ( Primera Ley del Movimiento de Newton ). Desde el momento en que se arranca su motor (el reloj está puesto en 0), el cohete expulsa masa de gas a un caudal másico constante R (kg/s) y a una velocidad de escape relativa al cohete v _e (m/s). Esto crea una fuerza constante F que impulsa el cohete que es igual a R × v _e . El cohete está sujeto a una fuerza constante, pero su masa total disminuye constantemente porque está expulsando gas. Según la Segunda Ley del Movimiento de Newton , su aceleración en cualquier momento t es su fuerza propulsora F dividida por su masa actual m :

$${\displaystyle ~a={\frac {dv}{dt}}=-{\frac {F}{m(t)}}=-{\frac {Rv_{\text{e}}}{m(t)}}}$$

Ahora, la masa de combustible que el cohete tiene inicialmente a bordo es igual a m ₀ – m _f . Por lo tanto , para un caudal másico constante R , se necesitará un tiempo T = ( m ₀ – m _f )/ R para quemar todo este combustible. Integrando ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo de 0 a T (y observando que R = dm/dt permite una sustitución a la derecha) se obtiene:

$${\displaystyle ~\Delta v=v_{f}-v_{0}=-v_{\text{e}}\left[\ln m_{f}-\ln m_{0}\right]=~v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right).}$$

Límite de expulsión de "pellets" de masa finita

La ecuación del cohete también se puede derivar como el caso límite del cambio de velocidad para un cohete que expulsa su combustible en forma de pellets consecutivamente, como , con una velocidad de escape efectiva tal que la energía mecánica ganada por unidad de masa de combustible está dada por . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle v_{\text{eff}}}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{\text{eff}}^{2}}$

En el marco del centro de masa del cohete, si se expulsa una bolita de masa a una velocidad y la masa restante del cohete es , la cantidad de energía convertida para aumentar la energía cinética del cohete y de la bolita es ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{p}v_{\text{eff}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m_{p}u^{2}+{\tfrac {1}{2}}m(\Delta v)^{2}.}$$

Usando la conservación del momento en la estructura del cohete justo antes de la eyección, de donde encontramos ${\textstyle u=\Delta v{\tfrac {m}{m_{p}}}}$

$${\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}{\frac {m_{p}}{\sqrt {m(m+m_{p})}}}.}$$

Sea la fracción de masa de combustible inicial a bordo y la masa inicial de combustible del cohete. Divida la masa total de combustible en bolitas discretas, cada una de ellas de masa . La masa restante del cohete después de expulsar los perdigones es entonces . El cambio de velocidad general después de expulsar los pellets es la suma ^[6] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \phi m_{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{p}=\phi m_{0}/N}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m=m_{0}(1-j\phi /N)}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{\sqrt {(1-j\phi /N)(1-j\phi /N+\phi /N)}}}}$$

Observe que para grandes el último término en el denominador y puede omitirse para dar ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi /N\ll 1}$

$${\displaystyle \Delta v\approx v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{1-j\phi /N}}=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\Delta x}{1-x_{j}}}}$$

${\textstyle \Delta x={\frac {\phi }{N}}}$ ${\textstyle x_{j}={\frac {j\phi }{N}}}$

Como esta suma de Riemann se convierte en la integral definida ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\Delta v=v_{\text{eff}}\int _{0}^{\phi }{\frac {dx}{1-x}}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {1}{1-\phi }}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}$$

${\displaystyle m_{f}=m_{0}(1-\phi )}$

Relatividad especial

Si se tiene en cuenta la relatividad especial , se puede derivar la siguiente ecuación para un cohete relativista , ^[7] representando nuevamente la velocidad final del cohete (después de expulsar toda su masa de reacción y reducirse a una masa en reposo de ) en el marco inercial. de referencia donde el cohete comenzó en reposo (con la masa en reposo incluido el combustible inicialmente ), y representa la velocidad de la luz en el vacío: ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{\text{e}}}}}$$

Escribir as permite reorganizar esta ecuación como ${\textstyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}+1}}}$$

Luego, usando la identidad (aquí "exp" denota la función exponencial ; ver también Logaritmo natural así como la identidad "potencia" en Identidades logarítmicas ) y la identidad ( ver Función hiperbólica ), esto es equivalente a ${\textstyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]}$ ${\textstyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$

$${\displaystyle \Delta v=c\tanh \left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}$$

Términos de la ecuación

Delta- v

Delta- v (literalmente " cambio de velocidad "), simbolizado como Δ v y pronunciado delta-ve , tal como se usa en la dinámica de vuelo de las naves espaciales , es una medida del impulso que se necesita para realizar una maniobra como el lanzamiento o aterrizaje en un planeta o una luna, o una maniobra orbital en el espacio . Es un escalar que tiene las unidades de velocidad . Tal como se usa en este contexto, no es lo mismo que el cambio físico en la velocidad del vehículo.

Delta- v es producido por motores de reacción, como los motores de cohetes , y es proporcional al empuje por unidad de masa y al tiempo de combustión, y se utiliza para determinar la masa de propulsor necesaria para la maniobra dada a través de la ecuación del cohete.

Para maniobras múltiples, delta- v suma linealmente.

Para las misiones interplanetarias, el delta- v a menudo se traza en un diagrama de chuleta que muestra el delta- v requerido para la misión en función de la fecha de lanzamiento.

Fracción de masa

En ingeniería aeroespacial , la fracción de masa del propulsor es la porción de la masa de un vehículo que no llega a su destino, normalmente utilizada como medida del rendimiento del vehículo. En otras palabras, la fracción de masa del propulsor es la relación entre la masa del propulsor y la masa inicial del vehículo. En una nave espacial, el destino suele ser una órbita, mientras que en el caso de un avión es el lugar de aterrizaje. Una fracción de masa más alta representa menos peso en un diseño. Otra medida relacionada es la fracción de carga útil , que es la fracción del peso inicial que es carga útil.

Velocidad de escape efectiva

La velocidad efectiva de escape a menudo se especifica como un impulso específico y están relacionados entre sí por:

$${\displaystyle v_{\text{e}}=g_{0}I_{\text{sp}},}$$

• ${\displaystyle I_{\text{sp}}}$es el impulso específico en segundos,
• ${\displaystyle v_{\text{e}}}$es el impulso específico medido en m/s , que es lo mismo que la velocidad efectiva de escape medida en m/s (o pies/s si g está en pies/s ² ),
• ${\displaystyle g_{0}}$es la gravedad estándar , 9,80665  m/s ² (en unidades imperiales 32,174  pies/s ² ).

Aplicabilidad

La ecuación del cohete captura los elementos esenciales de la física del vuelo de un cohete en una única ecuación breve. También es válido para vehículos de reacción tipo cohete siempre que la velocidad efectiva de escape sea constante, y puede sumarse o integrarse cuando la velocidad efectiva de escape varía. La ecuación del cohete sólo tiene en cuenta la fuerza de reacción del motor del cohete; no incluye otras fuerzas que puedan actuar sobre un cohete, como las fuerzas aerodinámicas o gravitacionales . Como tal, cuando se utiliza para calcular el requisito de propulsor para el lanzamiento desde (o descenso motorizado hacia) un planeta con atmósfera, los efectos de estas fuerzas deben incluirse en el requisito delta-V (ver ejemplos a continuación). En lo que se ha llamado "la tiranía de la ecuación del cohete", existe un límite a la cantidad de carga útil que el cohete puede transportar, ya que mayores cantidades de propulsor incrementan el peso total y, por tanto, también aumentan el consumo de combustible. ^[8] La ecuación no se aplica a sistemas que no son cohetes, como el aerofrenado , los lanzamientos de armas , los ascensores espaciales , los bucles de lanzamiento , la propulsión mediante correas o las velas ligeras .

La ecuación del cohete se puede aplicar a maniobras orbitales para determinar cuánto propulsor se necesita para cambiar a una nueva órbita particular, o para encontrar la nueva órbita como resultado de un consumo de propulsor particular. Cuando se aplica a maniobras orbitales, se supone una maniobra impulsiva , en la que el propulsor se descarga y se aplica delta-v instantáneamente. Esta suposición es relativamente precisa para quemaduras de corta duración, como correcciones a mitad de camino y maniobras de inserción orbital. A medida que aumenta la duración de la combustión, el resultado es menos preciso debido al efecto de la gravedad sobre el vehículo durante la duración de la maniobra. Para la propulsión de bajo empuje y larga duración, como la propulsión eléctrica , se utilizan análisis más complicados basados ​​en la propagación del vector de estado de la nave espacial y la integración del empuje para predecir el movimiento orbital.

Ejemplos

Suponga una velocidad de escape de 4.500 metros por segundo (15.000 pies/s) y una de 9.700 metros por segundo (32.000 pies/s) (de la Tierra a LEO , incluso para superar la gravedad y la resistencia aerodinámica). ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle \Delta v}$

• Cohete de una sola etapa en órbita : = 0,884, por lo tanto el 88,4% de la masa total inicial tiene que ser propulsor. El 11,6% restante corresponde a los motores, el tanque y la carga útil. ${\displaystyle 1-e^{-9.7/4.5}}$
• Dos etapas en órbita : supongamos que la primera etapa debería proporcionar una velocidad de 5.000 metros por segundo (16.000 pies/s); = 0,671, por lo tanto el 67,1% de la masa total inicial tiene que ser propulsor de la primera etapa. La masa restante es del 32,9%. Después de eliminar la primera etapa, queda una masa igual a este 32,9%, menos la masa del tanque y de los motores de la primera etapa. Supongamos que esto es el 8% de la masa total inicial, entonces queda el 24,9%. La segunda etapa debería proporcionar una velocidad de 4.700 metros por segundo (15.000 pies/s); = 0,648, por lo tanto el 64,8% de la masa restante tiene que ser propulsor, que es el 16,2% de la masa total original, y queda el 8,7% para el tanque y motores de la segunda etapa, la carga útil, y en el caso de un transbordador espacial. , también el orbitador. Así, en conjunto, el 16,7% de la masa de lanzamiento original está disponible para todos los motores, los tanques y la carga útil. ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle 1-e^{-5.0/4.5}}$ ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle 1-e^{-4.7/4.5}}$

Etapas

En el caso de etapas de cohetes de empuje secuencial , la ecuación se aplica para cada etapa, donde para cada etapa la masa inicial en la ecuación es la masa total del cohete después de descartar la etapa anterior, y la masa final en la ecuación es la masa total. del cohete justo antes de descartar la etapa en cuestión. Para cada etapa el impulso específico puede ser diferente.

Por ejemplo, si el 80% de la masa de un cohete es el combustible de la primera etapa, el 10% es la masa seca de la primera etapa y el 10% es el cohete restante, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta v\ &=v_{\text{e}}\ln {100 \over 100-80}\\&=v_{\text{e}}\ln 5\\&=1.61v_{\text{e}}.\\\end{aligned}}}$

Con tres etapas similares, posteriormente más pequeñas, con lo mismo para cada etapa, se obtiene: ${\displaystyle v_{\text{e}}}$

${\displaystyle \Delta v\ =3v_{\text{e}}\ln 5\ =4.83v_{\text{e}}}$

y la carga útil es 10% × 10% × 10% = 0,1% de la masa inicial.

Un cohete SSTO comparable , también con una carga útil del 0,1%, podría tener una masa del 11,1% para los tanques de combustible y los motores, y del 88,8% para el combustible. esto daría

${\displaystyle \Delta v\ =v_{\text{e}}\ln(100/11.2)\ =2.19v_{\text{e}}.}$

Si el motor de una nueva etapa se enciende antes de que se haya descartado la etapa anterior y los motores que funcionan simultáneamente tienen un impulso específico diferente (como suele ocurrir con los propulsores de cohetes sólidos y una etapa de combustible líquido), la situación se complica.

Ver también

• Portal de vuelos espaciales

• Presupuesto delta-v
• problema del jeep
• relación de masa
• Efecto Oberth : la aplicación delta-v en un pozo de gravedad aumenta la velocidad final
• Cohete relativista
• Reversibilidad de órbitas.
• Robert H. Goddard : términos añadidos para gravedad y resistencia en vuelo vertical
• Propulsión de naves espaciales
• Ley de eponimia de Stigler

Referencias

1. К. Ціолковскій, Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами, 1903 (disponible en línea aquí Archivado el 15 de agosto de 2011 en Wayback Machine en un PDF RARed )
2. Tsiolkovsky, K. "Máquinas voladoras reactivas" (PDF) .
3. Moore, William (1810). "Sobre el movimiento de los cohetes tanto en medios resistentes como no resistentes". Revista de Filosofía Natural, Química y Artes . 27 : 276–285.
4. Moore, William (1813). Un tratado sobre el movimiento de los cohetes: al que se añade un ensayo sobre artillería naval, en teoría y práctica, etc. G. & S. Robinson.
5. К. Ціолковскій, Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами, 1903 (disponible en línea aquí Archivado el 15 de agosto de 2011 en Wayback Machine en un PDF RARed )
6. Blanco, Philip (noviembre de 2019). "Un enfoque discreto y enérgico para la propulsión de cohetes". Educación Física . 54 (6): 065001. Bibcode : 2019PhyEd..54f5001B. doi :10.1088/1361-6552/ab315b. S2CID  202130640.
7. Adelante, Robert L. "Una derivación transparente de la ecuación relativista del cohete" (consulte el lado derecho de la ecuación 15 en la última página, con R como la relación entre la masa inicial y la final y w como la velocidad de escape, correspondiente a v _e en la notación de este artículo)
8. "La tiranía de la ecuación del cohete". NASA.gov . Archivado desde el original el 6 de marzo de 2022 . Consultado el 18 de abril de 2016 .

enlaces externos

• Cómo derivar la ecuación del cohete
• Calculadora de relatividad: aprenda las ecuaciones del cohete de Tsiolkovsky
• Gráfico y calculadora de ecuaciones de cohetes de Tsiolkovsky en WolframAlpha