Función de densidad de energía de deformación

Una función de densidad de energía de deformación o función de densidad de energía almacenada es una función de valor escalar que relaciona la densidad de energía de deformación de un material con el gradiente de deformación .

${\displaystyle W={\hat {W}}({\boldsymbol {C}})={\hat {W}}({\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})={\bar {W}}({\boldsymbol {F}})={\bar {W}}({\boldsymbol {B}}^{1/2}\cdot {\boldsymbol {R}})={\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})}$

De manera equivalente,

${\displaystyle W={\hat {W}}({\boldsymbol {C}})={\hat {W}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}})={\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})}$

donde es el tensor de gradiente de deformación (de dos puntos) , es el tensor de deformación de Cauchy-Green derecho , es el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo , ^{[1] [2]} y es el tensor de rotación de la descomposición polar de . ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

Para un material anisotrópico, la función de densidad de energía de deformación depende implícitamente de los vectores de referencia o tensores (como la orientación inicial de las fibras en un compuesto) que caracterizan la textura interna del material. La representación espacial debe depender además explícitamente del tensor de rotación polar para proporcionar información suficiente para conveccionar los vectores o tensores de textura de referencia en la configuración espacial. ${\displaystyle {\hat {W}}({\boldsymbol {C}})}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

Para un material isotrópico , la consideración del principio de indiferencia del marco del material lleva a la conclusión de que la función de densidad de energía de deformación depende sólo de las invariantes de (o, equivalentemente, de las invariantes de ya que ambos tienen los mismos valores propios). En otras palabras, la función de densidad de energía de deformación se puede expresar únicamente en términos de los estiramientos principales o en términos de las invariantes del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo o del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho y tenemos: ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

Para materiales isotrópicos,

${\displaystyle W={\hat {W}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})={\tilde {W}}(I_{1},I_{2},I_{3})={\bar {W}}({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J)=U(I_{1}^{c},I_{2}^{c},I_{3}^{c})}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1}~;~~I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2}~;~~I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}}$

Para materiales isotrópicos lineales que sufren deformaciones pequeñas, la función de densidad de energía de deformación se especializa en

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sigma _{ij}\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}\epsilon _{x}+\sigma _{y}\epsilon _{y}+\sigma _{z}\epsilon _{z}+2\sigma _{xy}\epsilon _{xy}+2\sigma _{yz}\epsilon _{yz}+2\sigma _{xz}\epsilon _{xz})}$^[3]

Se utiliza una función de densidad de energía de deformación para definir un material hiperelástico postulando que la tensión en el material se puede obtener tomando la derivada de con respecto a la deformación . Para un material hiperelástico isotrópico, la función relaciona la energía almacenada en un material elástico y, por lo tanto, la relación tensión-deformación, solo con los tres componentes de deformación (alargamiento), sin tener en cuenta el historial de deformación, la disipación de calor, la relajación de tensiones , etc. ${\displaystyle W}$

Para procesos elásticos isotérmicos, la función de densidad de energía de deformación se relaciona con la función de energía libre específica de Helmholtz , ^[4] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle W=\rho _{0}\psi \;.}$

Para procesos elásticos isentrópicos, la función de densidad de energía de deformación se relaciona con la función de energía interna , ${\displaystyle u}$

${\displaystyle W=\rho _{0}u\;.}$

Ejemplos

Algunos ejemplos de ecuaciones constitutivas hiperelásticas son: ^[5]

• San Venant-Kirchhoff
• Neo-hookeano
• Rivlin generalizado
• Mooney-Rivlin
• Ogden
• Sí
• Modelo Arruda-Boyce
• Caballero

Ver también

• Teoría de la deformación finita
• Energía libre de Helmholtz y Gibbs en termoelasticidad
• Material hiperelástico
• Modelo de Ogden-Roxburgh

Referencias

1. Bower, Allan (2009). Mecánica Aplicada de Sólidos. Prensa CRC. ISBN 978-1-4398-0247-2. Consultado el 23 de enero de 2010 .
2. Ogden, RW (1998). Deformaciones elásticas no lineales . Dover. ISBN 978-0-486-69648-5.
3. Sadd, Martín H. (2009). Teoría de la elasticidad, aplicaciones y numéricas . Elsevier. ISBN 978-0-12-374446-3.
4. Wriggers, P. (2008). Métodos de elementos finitos no lineales . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-71000-4.
5. Muhr, AH (2005). Modelado del comportamiento tensión-deformación del caucho. Química y tecnología del caucho, 78(3), 391–425. [1]