Teorema de la utilidad de Von Neumann-Morgenstern

Cualquier individuo cuyas preferencias satisfagan cuatro axiomas tiene una función de utilidad.

En la teoría de la decisión , el teorema de utilidad de von Neumann-Morgenstern ( VNM ) muestra que, bajo ciertos axiomas de comportamiento racional , quien toma decisiones frente a resultados riesgosos (probabilísticos) de diferentes elecciones se comportará como si estuviera maximizando el valor esperado de alguna. Función definida sobre los resultados potenciales en algún punto específico en el futuro. Esta función se conoce como función de utilidad de von Neumann-Morgenstern. El teorema es la base de la teoría de la utilidad esperada .

En 1947, John von Neumann y Oskar Morgenstern demostraron que cualquier individuo cuyas preferencias satisfagan cuatro axiomas tiene una función de utilidad ; ^[1] las preferencias de dicho individuo se pueden representar en una escala de intervalo y el individuo siempre preferirá acciones que maximicen la utilidad esperada. Es decir, demostraron que un agente es (VNM-)racional si y sólo si existe una función de valor real u definida por resultados posibles tales que cada preferencia del agente se caracteriza por maximizar el valor esperado de u , que luego puede definirse como la utilidad VNM del agente (es única hasta sumar una constante y multiplicarla por un escalar positivo). No se afirma que el agente tenga un "deseo consciente" de maximizar u , sólo que u existe.

La hipótesis de la utilidad esperada es que la racionalidad se puede modelar maximizando un valor esperado , lo que, dado el teorema, se puede resumir como " la racionalidad es racionalidad VNM ". Sin embargo, los axiomas mismos han sido criticados por diversos motivos, lo que ha dado como resultado una mayor justificación. ^[2]

La utilidad VNM es una utilidad de decisión en el sentido de que se utiliza para describir preferencias de decisión . Está relacionado, pero no es equivalente, a las llamadas E-utilities ^[3] (utilidades experimentadas), nociones de utilidad destinadas a medir la felicidad como la del Principio de la Mayor Felicidad de Bentham .

Configuración

En el teorema, un agente individual se enfrenta a opciones llamadas loterías . Dados algunos resultados mutuamente excluyentes , una lotería es un escenario en el que cada resultado ocurrirá con una probabilidad determinada , y todas las probabilidades suman uno. Por ejemplo, para dos resultados A y B ,

${\displaystyle L=0.25A+0.75B}$

denota un escenario donde P ( A ) = 25% es la probabilidad de que A ocurra y P ( B ) = 75% (y exactamente uno de ellos ocurrirá). De manera más general, para una lotería con muchos resultados posibles Ai _, escribimos:

${\displaystyle L=\sum p_{i}A_{i},}$

siendo la suma de las s igual a 1. ${\displaystyle p_{i}}$

Los resultados de una lotería pueden ser en sí mismos loterías entre otros resultados, y la expresión expandida se considera una lotería equivalente: 0,5(0,5 A  + 0,5 B ) + 0,5 C = 0,25 A  + 0,25 B  + 0,50 C .

Si se prefiere la lotería M a la lotería L , escribimos , o equivalentemente ,. Si el agente es indiferente entre L y  M , escribimos la relación de indiferencia ^[4] Si M es preferido o visto con indiferencia en relación con L , escribimos ${\displaystyle M\succ L}$ ${\displaystyle L\prec M}$ ${\displaystyle L\sim M.}$ ${\displaystyle L\preceq M.}$

los axiomas

Los cuatro axiomas de la racionalidad VNM son entonces completitud , transitividad , continuidad e independencia .

La integridad supone que un individuo tiene preferencias bien definidas:

Axioma 1 (Integridad) Para cualquier lotería L,M , se cumple al menos uno de los siguientes:

${\displaystyle \,L\succeq M}$, ${\displaystyle \,M\succeq L}$

(el individuo debe expresar alguna preferencia o indiferencia ^[5] ). Tenga en cuenta que esto implica reflexividad .

La transitividad supone que las preferencias son consistentes entre tres opciones cualesquiera:

Axioma 2 (Transitividad) Si y , entonces . ${\displaystyle \,L\succeq M}$ ${\displaystyle \,M\succeq N}$ ${\displaystyle \,L\succeq N}$

La continuidad supone que existe un "punto de inflexión" entre ser mejor y peor que una opción intermedia determinada:

Axioma 3 (Continuidad): Si , entonces existe una probabilidad tal que ${\displaystyle \,L\preceq M\preceq N}$ ${\displaystyle \,p\in [0,1]}$

${\displaystyle \,pL+(1-p)N\,\sim \,M}$

donde la notación del lado izquierdo se refiere a una situación en la que L se recibe con probabilidad p y N se recibe con probabilidad (1– p ).

En lugar de continuidad, se puede asumir un axioma alternativo que no implica una igualdad precisa, llamado propiedad de Arquímedes . ^[4] Dice que cualquier separación en preferencia se puede mantener bajo una desviación suficientemente pequeña en las probabilidades:

Axioma 3′ (propiedad de Arquímedes): Si , entonces existe una probabilidad tal que ${\displaystyle \,L\prec M\prec N}$ ${\displaystyle \,\varepsilon \in (0,1)}$

${\displaystyle \,(1-\varepsilon )L+\varepsilon N\,\prec \,M\,\prec \,\varepsilon L+(1-\varepsilon )N.}$

Sólo es necesario asumir uno de (3) o (3′), y el otro estará implícito en el teorema.

La independencia de alternativas irrelevantes supone que una preferencia se mantiene independientemente de la posibilidad de otro resultado:

Axioma 4 (Independencia): Para cualquiera y , ${\displaystyle \,N}$ ${\displaystyle \,p\in (0,1]}$

${\displaystyle \,L\preceq M\qquad {\text{iff}}\qquad pL+(1-p)N\preceq pM+(1-p)N.}$

Tenga en cuenta que la dirección "sólo si" es necesaria para que el teorema funcione. Sin eso, tenemos este contraejemplo: solo hay dos resultados y el agente es indiferente y los prefiere estrictamente a todos . Con la dirección "sólo si", podemos argumentar que implica , excluyendo así este contraejemplo. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \{pA+(1-p)B:p\in [0,1)\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}A+{\frac {1}{2}}B\succeq {\frac {1}{2}}B+{\frac {1}{2}}B}$ ${\displaystyle A\succeq B}$

El axioma de independencia implica el axioma de reducción de loterías compuestas: ^[6]

Axioma 4′ (Reducción de loterías compuestas): Para cualquier lotería y cualquier , ${\displaystyle L,L',N,N'}$ ${\displaystyle p,q\in [0,1]}$

${\displaystyle {\text{if}}\qquad L\sim qL'+(1-q)N',}$

${\displaystyle {\text{then}}\quad pL+(1-p)N\sim pqL'+p(1-q)N'+(1-p)N.}$

Para ver cómo el Axioma 4 implica el Axioma 4', establezca la expresión en el Axioma 4 y expanda. ${\displaystyle M=qL'+(1-q)N'}$

el teorema

Para cualquier agente racional VNM (es decir, que satisface los axiomas 1 a 4), existe una función u que asigna a cada resultado A un número real u(A) tal que para dos loterías cualesquiera,

${\displaystyle L\prec M\qquad \mathrm {if\,and\,only\,if} \qquad E(u(L))<E(u(M)),}$

donde E(u(L)) , o más brevemente Eu ( L ), viene dado por

${\displaystyle Eu(p_{1}A_{1}+\cdots +p_{n}A_{n})=p_{1}u(A_{1})+\cdots +p_{n}u(A_{n}).}$

Como tal, u puede determinarse de forma única (hasta sumar una constante y multiplicar por un escalar positivo) mediante preferencias entre loterías simples , es decir, aquellas de la forma pA  + (1 −  p ) B que tienen solo dos resultados. Por el contrario, cualquier agente que actúe para maximizar la expectativa de una función u obedecerá los axiomas 1 a 4. Esta función se denomina utilidad von Neumann-Morgenstern (VNM) del agente .

Bosquejo de prueba

La prueba es constructiva: muestra cómo se puede construir la función deseada. Aquí describimos el proceso de construcción para el caso en el que el número de resultados seguros es finito. ^{[7] : 132-134} ${\displaystyle u}$

Supongamos que hay n resultados seguros . Tenga en cuenta que todo resultado seguro puede verse como una lotería: es una lotería degenerada en la que el resultado se selecciona con probabilidad 1. Por lo tanto, según los axiomas de integridad y transitividad, es posible ordenar los resultados de peor a mejor: ${\displaystyle A_{1}\dots A_{n}}$

${\displaystyle A_{1}\preceq A_{2}\preceq \cdots \preceq A_{n}}$

Suponemos que al menos una de las desigualdades es estricta (de lo contrario, la función de utilidad es trivial: una constante). Entonces . Usamos estos dos resultados extremos (el peor y el mejor) como unidad de escala de nuestra función de utilidad y definimos: ${\displaystyle A_{1}\prec A_{n}}$

${\displaystyle u(A_{1})=0}$y ${\displaystyle u(A_{n})=1}$

Para cada probabilidad , defina una lotería que seleccione el mejor resultado con probabilidad y el peor resultado en caso contrario: ${\displaystyle p\in [0,1]}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle L(p)=p\cdot A_{n}+(1-p)\cdot A_{1}}$

Tenga en cuenta que y . ${\displaystyle L(0)\sim A_{1}}$ ${\displaystyle L(1)\sim A_{n}}$

Según el axioma de continuidad, para cada resultado seguro , existe una probabilidad tal que: ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle L(q_{i})\sim A_{i}}$

y

${\displaystyle 0=q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq q_{n}=1}$

Para cada , la función de utilidad para el resultado se define como ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle u(A_{i})=q_{i}}$

entonces la utilidad de cada lotería es la expectativa de u : ${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$

${\displaystyle u(M)=u\left(\sum _{i}p_{i}A_{i}\right)=\sum _{i}p_{i}u(A_{i})=\sum _{i}p_{i}q_{i}}$

Para ver por qué esta función de utilidad tiene sentido, consideremos una lotería , que selecciona el resultado con probabilidad . Pero, según nuestra suposición, quien toma las decisiones es indiferente entre el resultado seguro y la lotería . Entonces, según el axioma de la reducción, es indiferente entre la lotería y la siguiente lotería: ${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M'=\sum _{i}p_{i}[q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}]}$

${\displaystyle M'=\left(\sum _{i}p_{i}q_{i}\right)\cdot A_{n}+\left(\sum _{i}p_{i}(1-q_{i})\right)\cdot A_{1}}$

${\displaystyle M'=u(M)\cdot A_{n}+(1-u(M))\cdot A_{1}}$

La lotería es, en efecto, una lotería en la que el mejor resultado se gana con probabilidad y el peor resultado en caso contrario. ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle u(M)}$

Por lo tanto, si , quien toma decisiones racionales preferiría la lotería a la lotería , porque le da una mayor posibilidad de ganar el mejor resultado. ${\displaystyle u(M)>u(L)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

Por eso:

${\displaystyle L\prec M\;}$si y solo si ${\displaystyle E(u(L))<E(u(M)).}$

Reacción

Von Neumann y Morgenstern anticiparon la sorpresa ante la solidez de su conclusión. Pero según ellos, la razón por la que su función de utilidad funciona es que está construida precisamente para cumplir el papel de algo cuya expectativa se maximiza:

"Muchos economistas sentirán que estamos suponiendo demasiado... ¿No hemos demostrado demasiado?... Hasta donde podemos ver, nuestros postulados [son] plausibles... Prácticamente hemos definido la utilidad numérica como aquella que cosa para la cual el cálculo de expectativas matemáticas es legítimo." – VNM 1953, § 3.1.1 p.16 y § 3.7.1 p. 28 ^[1]

Por tanto, el contenido del teorema es que la construcción de u es posible y afirman poco sobre su naturaleza.

Consecuencias

Consideración automática de la aversión al riesgo

A menudo ocurre que una persona, que se enfrenta a apuestas de dinero en el mundo real, no actúa para maximizar el valor esperado de sus activos en dólares. Por ejemplo, una persona que sólo posee $1000 en ahorros puede ser reacia a arriesgarlo todo por una probabilidad del 20% de ganar $10,000, aunque

${\displaystyle 20\%(\$10\,000)+80\%(\$0)=\$2000>100\%(\$1000)}$

Sin embargo, si la persona es racional VNM, dichos hechos se contabilizan automáticamente en su función de utilidad u . En este ejemplo, podríamos concluir que

${\displaystyle 20\%u(\$10\,000)+80\%u(\$0)<u(\$1000)}$

donde las cantidades en dólares aquí realmente representan resultados (cf. " valor "), las tres situaciones posibles que el individuo podría enfrentar. En particular, u puede exhibir propiedades como u ($1)+ u ($1) ≠ u ($2) sin contradecir en absoluto la racionalidad VNM. Esto conduce a una teoría cuantitativa de la aversión al riesgo monetario.

Implicaciones para la hipótesis de la utilidad esperada

En 1738, Daniel Bernoulli publicó un tratado ^[8] en el que postula que el comportamiento racional puede describirse como la maximización de la expectativa de una función u , que en particular no necesita tener un valor monetario, lo que explica la aversión al riesgo. Ésta es la hipótesis de la utilidad esperada . Como se ha dicho, la hipótesis puede parecer una afirmación audaz. El objetivo del teorema de la utilidad esperada es proporcionar "condiciones modestas" (es decir, axiomas) que describan cuándo se cumple la hipótesis de la utilidad esperada, que pueden evaluarse directa e intuitivamente:

"Los axiomas no deben ser demasiado numerosos, su sistema debe ser lo más simple y transparente posible, y cada axioma debe tener un significado intuitivo inmediato mediante el cual se pueda juzgar directamente su idoneidad. En una situación como la nuestra, este último requisito es particularmente vital , a pesar de su vaguedad: queremos hacer que un concepto intuitivo sea susceptible de tratamiento matemático y ver lo más claramente posible qué hipótesis requiere." – VNM 1953 § 3.5.2, pág. 25 ^[1]

Como tal, las afirmaciones de que la hipótesis de la utilidad esperada no caracteriza la racionalidad deben rechazar uno de los axiomas del VMN. Han surgido una variedad de teorías generalizadas de la utilidad esperada , la mayoría de las cuales abandonan o relajan el axioma de independencia.

Implicaciones para la ética y la filosofía moral

Debido a que el teorema no asume nada sobre la naturaleza de los posibles resultados de los juegos, podrían ser eventos moralmente significativos, que involucran, por ejemplo, la vida, la muerte, la enfermedad o la salud de otros. Un agente racional de von Neumann-Morgenstern es capaz de actuar con gran preocupación por tales eventos, sacrificando gran parte de su riqueza o bienestar personal, y todas estas acciones influirán en la construcción/definición de la función de utilidad VNM del agente. En otras palabras, tanto lo que se percibe naturalmente como "beneficio personal" como lo que se percibe naturalmente como "altruismo" están implícitamente equilibrados en la función de utilidad VNM de un individuo racional VNM. Por lo tanto, toda la gama de comportamientos centrados en el agente y neutrales es posible con varias funciones de utilidad VNM ^{[ aclaración necesaria ]} .

Si la utilidad de es , un agente racional de von Neumann-Morgenstern debe ser indiferente entre y . Por lo tanto, un agente racional de von Neumann-Morgenstern centrado en el agente no puede favorecer distribuciones de utilidad más equitativas o "justas" entre sus posibles yoes futuros. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle pM}$ ${\displaystyle 1N}$ ${\displaystyle pM+(1-p)0}$

Distinción de otras nociones de utilidad

Algunas teorías morales utilitaristas se ocupan de cantidades llamadas "utilidad total" y "utilidad promedio" de los colectivos, y caracterizan la moralidad en términos de favorecer la utilidad o la felicidad de los demás sin tener en cuenta la propia. Estas nociones pueden estar relacionadas con la utilidad VNM, pero son distintas de ella:

• 1) La utilidad VNM es una utilidad de decisión : ^[3] es aquello según lo cual uno decide y, por lo tanto, por definición no puede ser algo que uno ignora.
• 2) La utilidad VNM no es canónicamente aditiva entre varios individuos (consulte Limitaciones), por lo que la "utilidad VNM total" y la "utilidad VNM promedio" no tienen significado inmediato (se requiere algún tipo de suposición de normalización).

El término E-utilidad para "utilidad de la experiencia" ha sido acuñado ^[3] para referirse a los tipos de utilidad "hedonista" como la del principio de mayor felicidad de Bentham . Dado que la moral afecta las decisiones, la moral de un agente racional VNM afectará la definición de su propia función de utilidad (ver arriba). Por lo tanto, la moralidad de un agente racional VNM puede caracterizarse por la correlación de la utilidad VNM del agente con la utilidad VNM, la utilidad E o la "felicidad" de los demás, entre otros medios, pero no por el desprecio por la propia utilidad del agente. VNM-utility, una contradicción en los términos.

Limitaciones

Juegos de azar anidados

Dado que si L y M son loterías, entonces pL  + (1 −  p ) M simplemente se "expande" y se considera una lotería en sí misma, el formalismo VNM ignora lo que puede experimentarse como "apuestas anidadas". Esto está relacionado con el problema de Ellsberg, donde la gente elige evitar la percepción de riesgos sobre los riesgos . Von Neumann y Morgenstern reconocieron esta limitación:

"...conceptos como una utilidad específica del juego no pueden formularse libres de contradicciones en este nivel. Esto puede parecer una afirmación paradójica. Pero cualquiera que haya intentado seriamente axiomatizar ese concepto elusivo, probablemente estará de acuerdo con él." – VNM 1953 § 3.7.1, pág. 28 . ^[1]

Incomparabilidad entre agentes

Dado que para dos agentes VNM cualesquiera X e Y , sus funciones de utilidad VNM u _X y u _Y solo se determinan hasta constantes aditivas y escalares positivos multiplicativos, el teorema no proporciona ninguna forma canónica de comparar los dos. Por lo tanto, expresiones como u _X ( L ) + u _Y ( L ) y u _X ( L ) −  u _Y ( L ) no están definidas canónicamente, ni comparaciones como u _X ( L ) <  u _Y ( L ) canónicamente son verdaderas o falsas. . En particular, la "utilidad VNM total" y la "utilidad VNM promedio" antes mencionadas de una población no son canónicamente significativas sin supuestos de normalización.

Aplicabilidad a la economía

Se ha demostrado que la hipótesis de la utilidad esperada tiene una precisión predictiva limitada en un conjunto de experimentos empíricos de laboratorio, como la paradoja de Allais . Lo que lleva a algunas personas a interpretar como evidencia que

• los humanos no siempre son racionales, o
• La racionalidad VNM no es una caracterización apropiada de la racionalidad, o
• alguna combinación de ambos, o
• los humanos se comportan racionalmente VNM, pero la evaluación objetiva de u y la construcción de u son problemas intratables .

Referencias y lecturas adicionales

1. Neumann, John von y Morgenstern, Oskar , Teoría de los juegos y comportamiento económico . Princeton, Nueva Jersey. Prensa de la Universidad de Princeton, 1953.
2. Peterson, Capítulo 8.
3. Kahneman; despertador; Sarín (1997). "¿De vuelta a Bentham? Exploraciones de servicios públicos experimentados". Revista Trimestral de Economía . 112 (2): 375–406. doi :10.1162/003355397555235. hdl : 1765/23011 .
4. Kreps, David M. Notas sobre la teoría de la elección . Westview Press (12 de mayo de 1988), capítulos 2 y 5.
5. Implícitas en la denotación de indiferencia por igualdad están afirmaciones como si entonces . Para hacer explícitas tales relaciones en los axiomas, el capítulo 2 de Kreps (1988) denota indiferencia por , por lo que puede examinarse brevemente en busca de significado intuitivo. ${\displaystyle L\prec M=N}$ ${\displaystyle L\prec N}$ ${\displaystyle \,\sim }$
6. EconPort, "Teoría de la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern" http://www.econport.org/content/handbook/decisions-uncertainty/basic/von.html
7. Keeney, Ralph L.; Raiffa, Howard (1993). Decisiones con múltiples objetivos . ISBN 0-521-44185-4.
8. Specimen theoriae novae de mensura sortis o Exposición de una nueva teoría sobre la medición del riesgo

• Nash, John F. Jr. (1950). "El problema de la negociación". Econométrica . 18 (2): 155–162. doi :10.2307/1907266. JSTOR  1907266. S2CID  153422092.
• Anand, Pablo. Fundamentos de la elección racional bajo riesgo Oxford, Oxford University Press. 1993 reimpreso 1995, 2002
• Fishburn, Peter C. Teoría de la utilidad para la toma de decisiones . Huntington, Nueva York. Robert E. Krieger Publishing Co. 1970. ISBN 978-0-471-26060-8 
• Sixto Ríos (1998) Algunos problemas y desarrollos en la ciencia de la decisión, Revista Matemática Complutense 11(1):113–41.
• Peterson, Martín (2009). Introducción a la teoría de la decisión (Introducciones de Cambridge a la filosofía) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge.