Problema del triángulo de Kobon

Triángulos de Kobon generados con 3, 4 y 5 segmentos de línea recta.

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Cuántos triángulos no superpuestos se pueden formar en una disposición de líneas? ${\displaystyle k}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

El problema del triángulo de Kobon es un problema no resuelto en geometría combinatoria planteado por primera vez por Kobon Fujimura (1903-1983). El problema pide el mayor número N ( k ) de triángulos no superpuestos cuyos lados se encuentren en una disposición de k líneas . Las variaciones del problema consideran el plano proyectivo en lugar del plano euclidiano y requieren que los triángulos no sean atravesados ​​por ninguna otra línea de la disposición. ^[1]

Límites superiores conocidos

Saburo Tamura demostró que el número de triángulos no superpuestos realizables por líneas es como máximo . G. Clément y J. Bader demostraron con mayor contundencia que este límite no se puede lograr cuando es congruente con 0 o 2 (mod 6). ^[2] Por lo tanto, el número máximo de triángulos es como máximo uno menos en estos casos. Los mismos límites se pueden establecer de forma equivalente, sin el uso de la función de suelo , como: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lfloor k(k-2)/3\rfloor }$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{3}}k(k-2)&{\text{when }}k\equiv 3,5{\pmod {6}};\\{\frac {1}{3}}(k+1)(k-3)&{\text{when }}k\equiv 0,2{\pmod {6}};\\{\frac {1}{3}}(k^{2}-2k-2)&{\text{when }}k\equiv 1,4{\pmod {6}}.\end{cases}}}$$

Se conocen soluciones que dan este número de triángulos cuando es 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 25 o 29. ^{[3] [4] [5]} Para k = 10, 11 y 12, las mejores soluciones conocidas alcanzan un número de triángulos uno menos que este límite superior. ${\displaystyle k}$

Además, el límite superior para valores pares se puede mejorar: . ^[4] Este límite se puede alcanzar para 10, 12 y 16. ^[3] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lfloor k(k-7/3)/3\rfloor }$

Construcciones conocidas

Se conocen los siguientes límites:

En el plano proyectivo

Cinco líneas que forman un pentagrama , con una línea horizontal más debajo de ellas, forman siete triángulos: cinco en el pentagrama, y ​​dos más formados por pares de rayos que emanan de las esquinas del pentagrama. Si la línea horizontal inferior se mueve a la línea en el infinito del plano proyectivo , los cinco pares de rayos que emanan del pentagrama formarían triángulos con ella.

La versión del problema en el plano proyectivo permite más triángulos. En esta versión, es conveniente incluir la línea en el infinito como una de las líneas dadas, después de lo cual los triángulos aparecen en tres formas:

• triángulos ordinarios entre las líneas restantes, delimitados por tres segmentos de línea finitos,
• triángulos delimitados por dos rayos que se encuentran en un vértice común y por un segmento de línea en el infinito, y
• triángulos delimitados por un segmento de recta finito y por dos semirrectas paralelas que se encuentran en un vértice de la recta en el infinito.

Por ejemplo, una disposición de cinco líneas finitas que forman un pentagrama , junto con una sexta línea en el infinito, tiene diez triángulos: cinco en el pentagrama y cinco más delimitados por pares de rayos.

D. Forge y JL Ramirez Alfonsin proporcionaron un método para pasar de un arreglo en el plano proyectivo con líneas y triángulos (el máximo posible para ), con ciertas propiedades adicionales, a otra solución con líneas y triángulos (de nuevo máxima), con las mismas propiedades adicionales. Como observan, es posible iniciar este método con el arreglo proyectivo de seis líneas y diez triángulos descrito anteriormente, produciendo arreglos proyectivos óptimos cuyos números de líneas son ${\displaystyle k>3}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}k(k-1)}$ ${\displaystyle k>3}$ ${\displaystyle K=2k-1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}K(K-1)}$

6, 11, 21, 41, 81, ... .

Por lo tanto, en el caso proyectivo, hay un número infinito de líneas diferentes para las que se conoce una solución óptima. ^[1]

Ejemplos

• 
  3 líneas, 1 triángulo
• 
  4 líneas, 2 triángulos
• 
  5 líneas, 5 triángulos
• 
  6 líneas, 7 triángulos
• 
  7 líneas, 11 triángulos

Véase también

• Teorema del triángulo de Roberts , sobre el número mínimo de triángulos que pueden formar las líneas ${\displaystyle n}$

Referencias

1. Forge, D.; Ramírez Alfonsín, JL (1998), "Disposiciones de líneas rectas en el plano proyectivo real", Geometría discreta y computacional , 20 (2): 155–161, doi : 10.1007/PL00009373.
2. "G. Clément y J. Bader. Límite superior más estricto para el número de triángulos de Kobon. Versión preliminar, 2007" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2017-11-11 . Consultado el 2008-03-03 .
3. Ed Pegg Jr. sobre juegos de matemáticas
4. Bartholdi, Nicolas; Blanc, Jérémy; Loisel, Sébastien (2008), "Sobre arreglos simples de líneas y pseudo-líneas en P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} y R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} con el máximo número de triángulos" (PDF) , en Goodman, Jacob E. ; Pach, János ; Pollack, Richard (eds.), Encuestas sobre geometría discreta y computacional: Actas de la 3.ª Conferencia de investigación conjunta de verano AMS–IMS–SIAM "Geometría discreta y computacional: veinte años después", celebrada en Snowbird, UT, del 18 al 22 de junio de 2006 , Contemporary Mathematics, vol. 453, Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 105–116, arXiv : 0706.0723 , doi :10.1090/conm/453/08797, ISBN 978-0-8218-4239-3, Sr.  2405679
5. A006066

Enlaces externos

• Johannes Bader, "Triángulos de Kobon"