elemento coxeter

Concepto en geometría

En matemáticas , un elemento de Coxeter es un elemento de un grupo de Coxeter irreducible que es producto de todas las reflexiones simples. El producto depende del orden en que se toman, pero diferentes ordenamientos producen elementos conjugados , que tienen el mismo orden . Este orden se conoce como número de Coxeter . Llevan el nombre del geómetra británico-canadiense HSM Coxeter , quien introdujo los grupos en 1934 como abstracciones de grupos de reflexión . ^[1]

Definiciones

Tenga en cuenta que este artículo supone un grupo Coxeter finito . Para grupos infinitos de Coxeter, existen múltiples clases de conjugación de elementos de Coxeter y tienen un orden infinito.

Hay muchas formas diferentes de definir el número de Coxeter h de un sistema de raíces irreducible.

• El número de Coxeter es el orden de cualquier elemento de Coxeter; .
• El número de Coxeter es donde n es el rango y m es el número de reflexiones. En el caso cristalográfico, m es la mitad del número de raíces ; y 2 m + n es la dimensión del álgebra de Lie semisimple correspondiente . ${\displaystyle {\tfrac {2m}{n}},}$
• Si la raíz más alta es para raíces simples α _i , entonces el número de Coxeter es ${\displaystyle \sum m_{i}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle 1+\sum m_{i}.}$
• El número de Coxeter es el grado más alto de un invariante fundamental del grupo de Coxeter que actúa sobre polinomios.

El número de Coxeter para cada tipo de Dynkin se proporciona en la siguiente tabla:

Los invariantes del grupo de Coxeter que actúan sobre polinomios forman un álgebra polinomial cuyos generadores son los invariantes fundamentales; sus grados se dan en la tabla anterior. Observe que si m es un grado de una invariante fundamental, entonces también lo es h + 2 − m .

Los valores propios de un elemento de Coxeter son los números cuando m recorre los grados de las invariantes fundamentales. Dado que esto comienza con m = 2 , estos incluyen la primitiva h -ésima raíz de la unidad , que es importante en el plano de Coxeter, a continuación. ${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {m-1}{h}}}}$ ${\displaystyle \zeta _{h}=e^{2\pi i{\frac {1}{h}}},}$

El número dual de Coxeter es 1 más la suma de los coeficientes de las raíces simples en la raíz corta más alta del sistema de raíces duales .

Orden de grupo

Existen relaciones entre el orden g del grupo de Coxeter y el número de Coxeter h : ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}[p]:&\quad {\frac {2h}{g_{p}}}=1\\[4pt][p,q]:&\quad {\frac {8}{g_{p,q}}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2}{q}}-1\\[4pt][p,q,r]:&\quad {\frac {64h}{g_{p,q,r}}}=12-p-2q-r+{\frac {4}{p}}+{\frac {4}{r}}\\[4pt][p,q,r,s]:&\quad {\frac {16}{g_{p,q,r,s}}}={\frac {8}{g_{p,q,r}}}+{\frac {8}{g_{q,r,s}}}+{\frac {2}{ps}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}+1\\[4pt]\vdots \qquad &\qquad \vdots \end{aligned}}}$$

Por ejemplo, [3,3,5] tiene h = 30 :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {64\times 30}{g_{3,3,5}}}=12-3-6-5+{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}={\frac {2}{15}},\\[4pt]&\therefore g_{3,3,5}={\frac {1920\times 15}{2}}=960\times 15=14400.\end{aligned}}}$$

elementos coxeter

Los distintos elementos de Coxeter corresponden a orientaciones del diagrama de Coxeter (es decir, a los temblores de Dynkin ): las reflexiones simples correspondientes a los vértices de origen se escriben primero, los vértices descendentes después y los sumideros al final. (La elección del orden entre los vértices no adyacentes es irrelevante, ya que corresponden a reflexiones conmutantes). Una elección especial es la orientación alterna, en la que las reflexiones simples se dividen en dos conjuntos de vértices no adyacentes y todos los bordes están orientados. del primer al segundo set. ^[4] La orientación alterna produce un elemento Coxeter especial w que satisface donde w ₀ es el elemento más largo , siempre que el número de Coxeter h sea par. ${\displaystyle w^{h/2}=w_{0},}$

Para el grupo simétrico de n elementos, los elementos de Coxeter son ciertos n -ciclos: el producto de reflexiones simples es el elemento de Coxeter . ^[5] Para n par, el elemento Coxeter de orientación alterna es: ${\displaystyle A_{n-1}\cong S_{n},}$ ${\displaystyle (1,2)(2,3)\cdots (n-1,n)}$ ${\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)}$

$${\displaystyle (1,2)(3,4)\cdots (2,3)(4,5)\cdots =(2,4,6,\ldots ,n{-}2,n,n{-}1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).}$$

n ${\displaystyle 2^{n-2}}$ ${\displaystyle (n{-}1)!}$

El grupo diédrico Dih _p se genera por dos reflexiones que forman un ángulo de y por lo tanto los dos elementos de Coxeter son su producto en cualquier orden, que es una rotación de ${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{2p}},}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {2\pi }{p}}.}$

avión coxeter

Proyección del sistema radicular E ₈ en el plano de Coxeter, que muestra una simetría de 30 veces.

Para un elemento de Coxeter dado w , existe un plano único P en el que w actúa por rotación. Esto se llama plano de Coxeter ^[6] y es el plano en el que P tiene valores propios y ^[7] Este plano se estudió sistemáticamente por primera vez en ( Coxeter 1948), ^[8] y posteriormente utilizado en (Steinberg 1959) para proporcionar pruebas uniformes sobre las propiedades de los elementos de Coxeter. ^[8] ${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{h}}.}$ ${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {1}{h}}}}$ ${\displaystyle e^{-2\pi i{\frac {1}{h}}}=e^{2\pi i{\frac {h-1}{h}}}.}$

El plano de Coxeter se usa a menudo para dibujar diagramas de politopos y sistemas de raíces de dimensiones superiores: los vértices y bordes del politopo, o raíces (y algunos bordes que los conectan) se proyectan ortogonalmente en el plano de Coxeter, lo que produce un polígono de Petrie con h . pliegue de simetría rotacional. ^[9] Para los sistemas de raíces, no hay mapas de raíces a cero, lo que corresponde al elemento de Coxeter que no fija ninguna raíz o más bien eje (que no tiene valor propio 1 o −1), por lo que las proyecciones de las órbitas bajo w forman arreglos circulares de pliegue h ^{[9 ]} y hay un centro vacío, como en el diagrama E ₈ arriba a la derecha. Para politopos, un vértice puede asignarse a cero, como se muestra a continuación. A continuación se muestran proyecciones sobre el plano de Coxeter para los sólidos platónicos .

En tres dimensiones, la simetría de un poliedro regular , { p , q }, _con un polígono de Petrie dirigido marcado, definido como un compuesto de 3 reflexiones, tiene simetría de rotoinversión Sh , [2 ⁺ , h ⁺ ] , orden h . Al agregar un espejo, la simetría se puede duplicar a simetría antiprismática, D _{h d} , [2 ⁺ , h ] , orden 2 h . En proyección ortogonal 2D, esto se convierte en simetría diédrica , Dih _h , [ h ] , orden 2 h .

En cuatro dimensiones, la simetría de un policorón regular , { p , q , r }, con un polígono de Petrie dirigido marcado es una doble rotación , definida como un compuesto de 4 reflexiones, con simetría + ¹ / _h [C _h ×C _h ] ^[10] ( John H. Conway ), (C _2h /C ₁ ;C _2h /C ₁ ) (#1', Patrick du Val (1964) ^[11] ), orden h .

En cinco dimensiones, la simetría de un politopo regular de 5 , { p , q , r , s }, con un polígono de Petrie dirigido marcado, está representada por la combinación de 5 reflexiones.

En las dimensiones 6 a 8 hay 3 grupos Coxeter excepcionales; un politopo uniforme de cada dimensión representa las raíces de los grupos de Lie excepcionales E _n . Los elementos Coxeter son 12, 18 y 30 respectivamente.

Ver también

• Elemento más largo de un grupo Coxeter

Notas

1. Coxeter, Harold Scott Macdonald; Chandler Davis; Erlich W. Ellers (2006), El legado de Coxeter: reflexiones y proyecciones, Librería AMS, pág. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1
2. Coxeter , Politopos regulares , §12.6 El número de reflexiones, ecuación 12.61
3. Politopos regulares, pag. 233
4. George Lusztig, Introducción a los grupos cuánticos , Birkhauser (2010)
5. (Humphreys 1992, pag.75)
6. Aviones Coxeter Archivado el 10 de febrero de 2018 en Wayback Machine y más aviones Coxeter Archivado el 21 de agosto de 2017 en Wayback Machine John Stembridge
7. (Humphreys 1992, Sección 3.17, "Acción en un avión", págs. 76–78)
8. (Lectura 2010, p.2)
9. (Stembridge 2007)
10. Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, John Horton Conway y Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5 
11. Patrick Du Val, Homografías, cuaterniones y rotaciones , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press , Oxford , 1964.

Referencias

• Coxeter, HSM (1948), Politopos regulares , Methuen and Co.
• Steinberg, R. (junio de 1959), "Finite Reflection Groups", Transactions of the American Mathematical Society , 91 (3): 493–504, doi : 10.1090/S0002-9947-1959-0106428-2 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993261
• Hiller, Howard Geometría de grupos de Coxeter. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Programa de publicación avanzada), Boston, Mass.-Londres, 1982. iv+213 págs. ISBN 0-273-08517-4 
• Humphreys, James E. (1992), Grupos de reflexión y grupos Coxeter, Cambridge University Press , págs. 74–76 (Sección 3.16, Elementos de Coxeter ), ISBN 978-0-521-43613-7
• Stembridge, John (9 de abril de 2007), Coxeter Planes, archivado desde el original el 10 de febrero de 2018 , consultado el 21 de abril de 2010
• Stekolshchik, R. (2008), Notas sobre las transformaciones de Coxeter y la correspondencia de McKay , Monografías de Springer en Matemáticas, arXiv : math/0510216 , doi :10.1007/978-3-540-77399-3, ISBN 978-3-540-77398-6, S2CID  117958873
• Reading, Nathan (2010), "Particiones no cruzadas, grupos y el plano de Coxeter", Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B63b : 32
• Bernšteĭn, IN; Gelfand, IM; Ponomarev, VA, "Functores de Coxeter y teorema de Gabriel" (ruso), Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973), núm. 2(170), 19–33. Traducción en el sitio web de Bernstein.